Pertemuan 1 Aturan Alin 2016 Bilqis By : Bilqis Amaliah

Tujuan Tujuan belajar Alin : 1. Alin itu seperti pisau 2. Pisau dapt digunakan untuk mengupas mangga 3. Pisau dapat digunakan untuk memotong sayur 4. Pisau juga dapat digunakan untuk kejahatan 5. Masing-masing kegunaan tersebut, cara memegang pisaupun berbeda-beda, tergantung penggunaannya 6. Cara memegang pisau untuk mengupas mangga pasti berbeda dengan cara pisau memotong sayur

Manfaat Manfaat Alin untuk Aplikasi pelajaran di semester atas : 1. Komputasi Numerik 2. Pemrograman Linier 3. Grafika Komputer 4. Pengenalan Pola 5. Pengolahan Citra Digital

Tujuan Pembelajaran Mahasiswa mampu mengimplementasikan dan memilih metode yang tepat untuk menyelesaikan berbagai persoalan aljabar linier

Kompetensi Mahasiswa mengetahui tujuan, proses perkuliahan, komponen dasar Aljabar linier Mahasiswa mampu menjelaskan perbedaan antar metode dalam SPL Mahasiswa mampu mengimplementasikan penggunaan Matrix dan operasinya, determinan, kofaktor, aturan cramer dan Invers matrix menggunakan tools

Kompetensi Mahasiswa mampu menghitung dan mengimplementasikan Ruang vektor Euclidean menggunakan tools Mahasiswa mampu menghitung dan mengimplementasikan ruang vector dan ruang inner product menggunakan tools Mahasiswa mampu memilih metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan dalam aplikasi Aljabar Linier

Buku Elementary Linear Algebra ; Howard Anton, Drexel University, John Wiley & Sons, Inc; ninth edition, 2005 atau yang terbaru Elementary Linear Algebra - applications version; Howard Anton, Chris Rorres; John Wiley & Sons, Inc; ninth edition, 2005

File (tanya asisten) Lihat di map file manager  10.151.20.50 Direktori 

Nilai (Fleksible) Evaluasi 1  22,5 % Evaluasi 2  22,5 % Maju ke depan  5 % PR  5 %

Penilaian Semua penilaian  jika terlambat, akan dipotong  25% Jika tidak ikut evaluasi 1,2,3 atau 4, otomatis tidak lulus

Aturan untuk Dosen : 1. Maksimal keterlambatan 30 menit, jika belum datang berarti diganti hari lain 2. Pertemuan minimal 90 % => 90 % x 18 = 17 pertemuan

Aturan untuk Mahasiswa 1. Maksimal keterlambatan 30 menit, + jika ingin masuk => harus membawa kue bagi seluruh teman (satu kelas) + Kue dapat dibawa hari itu juga atau pada minggu depan 2. HP harap di silent, jika terdengar bunyi HP, maka : + harus membawa kue bagi seluruh teman (satu kelas)

Aturan untuk Mahasiswa Tiap anak memakai keplek => bertulisakan nama panggilan+ NRP Ukuran ½ kertas A4  karton warna kuning dan tulisan hitam Jika lupa bawa keplek  denda kue Di kelas di larang berbicara dengan teman atau menerima telpon, jika ingin berbicara atau menerima telpon dapat ijin keluar Jika ingin keluar atau ke toilet ketika dosen sedang menerangkan, tidak perlu minta ijin, tapi langsung saja keluar

Buat kelompok yang terdiri dari 4 - 5 orang, dikumpulkan minggu depan

No Tanggal Materi 1 10 – 2 - 2016 Gauss – Jourdan + Matlab 2 Determinan 3 Invers 4 Evaluasi 1 5 Dot Product 6 Cross Product 7 Transformation 8 Evaluasi 2 9 Basis 10 General Solusi 11 Basis_baris_kolom 12 Evaluasi 3 13 Inner Product 14 Eigen 15 Diagonalisasi 16 Evaluasi 4

Contoh Penerapan Aljabar Linier Pada mata kuliah Pemrograman Linier:

Pertemuan 2 Metoda Simplex bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

Contoh Soal  berapa nilai x, y dan Z x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 2 orang mahasiswa maju ke depan, Untuk menyelesaikan contoh soal ini, Dikerjakan seperti ketika SMA bilqis

Sistem Persamaan Linier (SPL) bilqis

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Mengetahui definisi Sistem Persamaan Linier Dapat membentuk matriks yang merepresentasikan Sistem Persamaan Linier Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan menggunakan metode Gauss dan Gauss Jordan Dapat menggunakan Matlab untuk menyelesaikan permasalahan SPL bilqis

Contoh Soal  berapa nilai x, y dan Z x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 2 orang mahasiswa maju ke depan, Untuk menyelesaikan contoh soal ini, Dikerjakan seperti ketika SMA bilqis

Menjawab x,y,z SMA  Kuliah  subtitusi – eliminasi Matrix Gauss Gauss – jordan matlab bilqis

Himpunan solusi untuk persamaan contoh (1) di atas: Persamaan linier : Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1 atau 0 dan tidak terjadi perkalian antar variabelnya. Contoh: (1) x + y + 2z = 9 PL (2) 2x + y = 9 PL (3) 2xy – z = 9 Bukan PL Solusi PL (1) : berupa suatu “tripel” dengan masing-masing nilai sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi persamaan tersebut. Himpunan solusi untuk persamaan contoh (1) di atas: { … ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), …. } Himpunan solusi juga disebut Ruang Solusi (solution space) bilqis

Misal : atau terserah variable mana yang akan diumpamakan, rumus berbeda, tapi hasil akhir untuk x, y, dan z tetap sama bilqis

Sistem Persamaan Linier: Suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih) persamaan linier. Contoh: x + y = 3 3x – 5y = 1   Ruang Solusi: berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang harus memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut; untuk sistem ini ruang solusinya { (2, 1) } bilqis

PENYIMPANGAN PADA PENYELESAIAN SUATU SPL Pada beberapa SPL tertentu terdapat penyimpangan – penyimpangan dalam penyelesaiannya, misal : Diberikan SPL sebagai berikut : x1 + 1/2x2 + 1/3x3 = 1 1/2x1 + 1/3x2 + 1/4x3 = 0 1/3x1 + 1/4x2 + 1/5x3 = 0 Didapat penyelesaian x1 = 9, x2 = -36, dan x3 = 30 Jika SPL tersebut dituliskan dalam bentuk dua desimal : x1 + 0,5x2 + 0,33x3 = 1 0,5x1 + 0,33x2 + 0,25x3 = 0 0,33x1 + 0,25x2 + 0,2x3 = 0 Didapat penyelesaian x1 ≈ 55,55; x2 ≈ -277,778; dan x3 ≈ 255,556 bilqis

Interpretasi Geometrik: Sistem menggambarkan 2 garis lurus pada sebuah bidang datar. g1: x + y = 3 g2: 3x – 5y = 1   Solusi: g1 dan g2 berpotongan di (2, 1) Kemungkinan: Var => sama Konst => tidak Kelipatan X+y = 5 X+y = 7 X+y = 5 2X+2y = 10 tidak berpotongan berpotongan di 1 titik berimpit bilqis

Solusi Sistem Persamaan Linier a. Cara Biasa → Seperti SMA b. Eliminasi Gauss c. Eliminasi Gauss - Jordan   a. Cara Biasa (untuk mengingat kembali): I. x + y = 3  3x + 3y = 9 3x – 5y = 1  3x – 5y = 1 8y = 8  y = 1 3x – 5 = 1  3x = 6  x = 2 II. y = 3 – x 3x – 5(3 – x) = 1 atau 3x – 15 + 5x = 1  8x = 16  x = 2 y = 3 – x  y = 1 bilqis

b. Eliminasi Gauss (ringkasan): Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Substitusi Linier Augmented Gauss Balik OBE bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Eliminasi Gauss (lihat contoh 3, halaman 5) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1 3x + 6y – 5z = 0 3 6 -5 0 lalu diusahakan berbentuk 1 1 2 9 0 1 ? ? 0 0 1 ? dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE) (Elementary Row Operation - ERO) ditulis dalam bentuk matriks augmented bilqis

Matriks Augmented : (Matriks yang diperbesar) Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien-koefisien Sistem Persamaan Linier Contoh : x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0  Matriks Augmented-nya : 1 1 2 9 2 4 -3 1 3 6 -5 0 bilqis

sebuah baris dengan kostanta 0 O.B.E sebuah baris dengan kostanta 0 sebuah baris dengan konstanta 0 kemudian pada baris lain Menukar dua buah baris Ciri-ciri eliminasi Gauss (Bentuk Eselon Baris) Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama) Baris nol terletak paling bawah 1 utama baris berikutnya berada di kanan 1 utama baris di atasnya. Dibawah 1 utama harus 0 bilqis

bilqis

Ciri-ciri eliminasi Gauss Jordan (Bentuk Eselon Baris Tereduksi) Contoh : Ciri-ciri eliminasi Gauss Jordan (Bentuk Eselon Baris Tereduksi) Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama) Baris nol terletak paling bawah 1 utama baris berikutnya berada di kanan 1utama baris diatasnya.. Tiap kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain bilqis

* + = Eliminasi Gauss menggunakan O.B.E : * + = * + = Substitusi Balik * + = * + = * + = Substitusi Balik [baris 1 -2] + baris 2 [baris 1 -3] + baris 3 baris 2 * 1/2 [baris 2 -3] + baris 3 baris 3 -2 z = 3 bilqis

x y z 1 1 2 9 Substitusi Balik: 0 2 -7 -17 0 2 -7 -17 0 0 -½ -3/2 -1/2 z = -3/2 z = 3 1 1 2 9 0 2 -7 -17 2y – 7z = - 17 0 0 -½ -3/2 2y = 21 – 17 y = 2 1 1 2 9 x + y + 2z = 9 0 2 -7 -17 x = – 2 – 6 + 9 x = 1 0 0 -½ -3/2 z y z bilqis

c. Eliminasi Gauss-Jordan (ringkasan): Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Solusi Linier Augmented Gauss-Jordan (langsung) OBE bilqis

Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 dan diusahakan berbentuk 1 0 0 ? 0 1 0 ? 0 0 1 ? dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE) (Elementary Row Operation - ERO) bilqis

Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan O.B.E idem Gauss disambung dengan : * + = * + = baris 3 + baris 2 baris 3 -2 + baris 1 baris 2 -1 + baris 3 bilqis

Lihat contoh di halaman 5 dan 6 Lihat contoh di halaman 11 dan 12 bilqis

Halaman 5 Example 3. In the left column below we solve a system of equations by operating on the equations in the system, and in the right column we solve the same system by operating on the rows of the augmented matrix. x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y -5z = 0 Add -2 times the first equation to the second to obtain Add -2 times the first row to the second to obtain x + y + 2z = 9 2y – 7z = -17 3x + 6y -5z = 0 Add -3 times the first equation to the third to obtain Add -3 times the first row to the third to obtain x + y + 2z = 9 2y – 7z = -17 3y -11z = -27 bilqis

Multiply the second equation by ½ to obtain Multiply the second row by ½ to obtain Add -3 times the second equation to the third to obtain Add -3 times the second row to the third to obtain Multiply the third equation by -2 to obtain Multiply the third row by -2 to obtain bilqis

Add -1 times the second equation to the first to obtain Add -1 times the second row to the first to obtain Add -11/2 times the third equation to the first and 7/2 times the third equation to the second to obtain Add -11/2 times the third row to the first and 7/2 times the third row to the second to obtain The solution : x = 1, y = 2, z = 3 bilqis

Halaman 11 Step 1. Locate the leftmost column that does not consist entirely of zeros. Step 2. Interchange the top row with another row, if necessary, to bring a nonzero entry to the top of the column found in Step 1. Leftmost nonzero column The first and second rows in the preceding matrix were interchanged bilqis

a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1 Step 3 if the entry that is now at the top of the coloumn found in step 1 is a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1 The first row of the preceding matrix was multiplied by ½ step 4 add suitable multiples of the top row to the rows below so that all entries below the leading 1 to zeros -2 times the first row of the preceding matrix was added to the third row step 5 Now cover the top row in the matrix and begin again with step 1 applied to the submatrix that remains. Continue in this way until the entire matrix is in row-echelon form left most nonzero coloumn in the submatrix bilqis

The first row in the submatrix was multiplied by -1/2 to introduce a leading 1 -5 times the first row of the submatirx was added to the second row of the submatrix to introduce a zero below the leading 1 The top row in the submatrix was covered, and we returned again to the step 1 leftmost non zero coloumn in the new submatrix The first(and only) row in the submatrix was multiplied by 2 to introduce a leading 1 The entire matrix is now in row-echelonform. To find the reduce row-echelon form we need the following additional step bilqis

7/2 times the third row of the preceding matrix was added Step 6 Begining with the last nonzero row and working upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s 7/2 times the third row of the preceding matrix was added to the second row -6 times the third row was added to the first row 5 times the second row was added to the first row The last matrix is in reduced row echelon form bilqis

Sistem Persamaan Linier Homogen : Sistem Persamaan Linier dikatakan homogen jika semua suku di kanan tanda “=“ adalah 0. Solusi Sistem Persamaan Linier Homogen: Solusi Trivial ( semua xi = 0; i = 1 .. n ): pasti ada Solusi Non-trivial ( solusi trivial, plus solusi di mana ada xi ≠ 0 ) Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya 2 2 -1 0 1 0 -1 -1 2 -3 1 0 1 1 -2 0 -1 0 0 0 1 1 1 0 bilqis

Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya 2 2 -1 0 1 0 -1 -1 2 -3 1 0 1 1 -2 0 -1 0 0 0 1 1 1 0 Brs-1  (1/2) 1 1 -1/2 0 1/2 0 -1 -1 2 -3 1 0 1 1 -2 0 -1 0 0 0 1 1 1 0 Brs-2 + brs-1 Brs-3 – brs-1 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 3/2 -3 3/2 0 0 0 -3/2 0 -3/2 0 0 0 1 1 1 0 bilqis

Brs-2  (2/3) Brs-3  (– 2/3) 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 3/2 -3 3/2 0 0 0 -3/2 0 -3/2 0 0 0 1 1 1 0 Brs-2  (2/3) Brs-3  (– 2/3) 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 Brs-3 – brs-2 Brs-4 – brs-2 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 bilqis

Brs-3  (1/2) Brs-4  (1/3) 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 Brs-3  (1/2) Brs-4  (1/3) 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 1 0 0 Brs-4 – brs-3 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 bilqis

1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 baris-1 + (1/2)  baris-2 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 bilqis

Ruang solusinya = { (-t-s, t, -s, 0, s ) } 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 x1 + x2 + x5 = 0 x3 + x5 = 0 x4 = 0 x5 = s  x3 + x5 = 0  x3 = – x5 x2 = t  x1 + x2 + x5 = 0  x1 = – x2 – x5 Ruang solusinya = { (-t-s, t, -s, 0, s ) } Catt => yang diumpamakan dahulu adalah  index terbesar bilqis

Teorema: Sistem Persamaan Linier Homogen dengan variabel lebih banyak d/p. persamaan mempunyai tak berhingga banyak pemecahan. Ditinjau dari matriksnya: Sistem Persamaan Linier Homogen dengan kolom lebih banyak d/p. baris mempunyai tak berhingga banyak pemecahan. bilqis

Contoh menggunakan  Matlab Soal x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 Buat matrix pada Matlab bilqis

Matlab Mengenol-kan baris ke-2, kolom 1  Baris 2 = Baris 1 * -2 + baris 2 bilqis

Matlab Mengenol-kan baris ke-3, kolom 1  Baris 3 = Baris 1 * -3 + baris 3 bilqis

Matlab Membuat nilai 1 pada kolom 2 dan baris 2  Baris 2 = Baris 2 * 1/2 bilqis

Suatu SPL mempunyai 3 kemungkinan jawaban, yaitu : 1. Mempunyai jawaban tunggal 2. Mempunyai banyak jawaban 3. Tidak mempunyai jawaban Contoh : Tentukan nilai a agar SPL berikut: Mempunyai jawaban tunggal Mempunyai banyak jawaban Tidak mempunyai jawaban x – 2y + 3z = 1 2x – 3y + 9z = 4 x – 3y + (a2 - 4)z = 1 + a bilqis

Matriks Eselon SPL di atas adalah : Penyelesaian : Matriks Eselon SPL di atas adalah : Mempunyai jawaban tunggal a2 – 4 ≠ 0, a ≠ -2 dan a ≠ 2 Mempunyai banyak jawaban a2 – 4 = 0 dan a +2 = 0  a = -2 iii. Tidak mempunyai jawaban a2 – 4 = 0 dan a + 2 ≠ 0  a = 2 bilqis

Contoh soal Carilah nilai x, y dan z dengan menggunakan gauss-jordan   -5 x + 7 z = -32 3 y – 6 z = 48 2 x + y + 4 z = -24 bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

PR  Rubah menjadi Gauss-Jordan dengan menggunakan Matlab . Tukar baris pertama dengan baris kedua Carilah nilai X1, x2, x3, x4 dan x5 2 2 -1 0 1 0 -1 -1 2 -3 1 0 1 1 -2 0 -1 0 0 0 1 1 1 0 bilqis