TEORI PENDUGAAN (TEORI ESTIMASI)

Pendahuluan : Tujuan utama kita mengambil sampel dari suatu populasi adalah untuk memperoleh informasi mengenai parameter populasi. Oleh karena parameter populasi tidak diketahui, maka dalam statistika dipelajari bagaimana cara mengetahui parameter tersebut.

Dua cara ini didasarkan pada besaran yang dihitung dari sampel. Ada dua cara untuk mengetahui parameter populasi yang dipelajari dalam statistika, yaitu: Cara pendugaan (penaksiran/estimasi) Pengujian hipotesis Dua cara ini didasarkan pada besaran yang dihitung dari sampel.

Teori Pendugaan Pengujian Hipotesis Suatu proses menduga parameter populasi dengan menggunakan statistik sampel Pengujian Hipotesis Suatu proses untuk memutuskan apakah hasil dugaan tersebut diterima atau tidak

Teori Pendugaan dikenal dua jenis pendugaan (estimasi) yaitu : Pendugaan Titik (Estimasi Titik). Suatu pendugaan titik (point estimator) adalah suatu nilai (suatu titik) yang digunakan untuk menduga suatu parameter populasi. Bila nilai parameter  dari populasi hanya diduga dengan memakai satu nilai statistik  dari sampel yang diambil dari populasi tersebut. Pendugaan Interval (Estimasi Interval). Menunjukkan pada interval berapa suatu parameter populasi akan berada. Bila nilai parameter  dari populasi diduga dengan memakai beberapa nilai statistik  yang berada dalam suatu interval, misalnya 1 <  < 2.

Pendugaaan Titik penduga titik untuk  penduga titik untuk 2

Penduga yang baik Ciri - ciri Tidak Bias Efisien Konsisten

Tidak Bias Penduga titik dikatakan tidak bias (unbiased estimator) jika di dalam sampel random yang berasal dari populasi, rata-rata atau nilai harapan (expected value) dari statistik sampel sama dengan parameter populasi E ( ) = µ µ E ( )

Efisien Penduga yang efisien (efficient estimator) adalah penduga yang tidak bias dan mempunyai varian terkecil (sx2) dari penduga lainnya. sx12 Sx12 < sx22 sx22

Konsisten Penduga yang konsisten (consisten estimator) adalah nilai dugaan ( ) yang semakin mendekati nilai yang sebenarnya  dengan semakin bertambahnya jumlah sample (n). n besar n kecil n sangat besar n tak terhingga

Pendugaan Interval Menunjukkan pada interval berapa suatu parameter populasi akan berada. Pertimbangan bahwa suatu nilai dugaan tidak mungkin dapat dipercaya 100%. Interval keyakinan (confidence interval) yang dibatasi oleh 2 (dua) nilai yang disebut batas atas dan batas bawah (suatu parameter akan berada pada kisaran interval tersebut)

Bentuk Umum Interval Keyakinan (S – Zsx < P < S + Zsx) = C Nilai C berada pada kisaran 0 sampai 1 Semakin mendekati 1 semakin baik interval keyakinannya Dimana : S : Statistik penduga parameter populasi (P) P : Parameter Populasi yang tidak diketahui Sx : Standar deviasi distribusi sampel statistik Z : Probabilitas yang berhubungan dengan pendugaan interval C : Probabilitas keyakinan (ditentukan terlebih dahulu) S – Zsx : Nilai batas bawah keyakinan S + Zsx : Nilai batas atas keyakinan

C = 0,95 adalah µ ± 1,96 dan untuk C = 0,99 adalah µ ± 2,58 95% 99% Z = -2,58 Z = -1,96 Z = 1,96 Z = 2,58 Untuk interval keyakinan 95%, terhubung dengan nilai Z antara -1,96 sampai 1,96 (bahwa 95% dari rata-rata hitung sampel ( ) akan terletak di dalam ± 1,96 kali standar deviasinya) Untuk interval keyakinan 99%, maka rata-rata hitungnya akan terletak di dalam ± 2,58 kali standar deviasinya. C = 0,95 adalah µ ± 1,96 dan untuk C = 0,99 adalah µ ± 2,58

Menentukan Z (menggunakan kurva normal) 0,50 0,50 0,4750 (0,9/2) 0,4750 (0,9/2) 0,025 (0,50/2) 0,025 (0,50/2) Menentukan Z (menggunakan kurva normal) Luas kurva normal = 1 Kurva normal simetris (sisi kanan = sisi kiri = 0,5)

Contoh Buatlah rumus umum untuk interval keyakinan sebesar 80% dan 90%, apabila BPS merencanakan akan melakukan survei tingkat kematian bayi di Indonesia C= 0,8 (S – 1,28.sx < P < S + 1,28.sx) C= 0,9 (S – 1,64.sx < P < S + 1.64sx)

Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung Sampel (Standard Error of Sample Mean)

Dihitung dengan rumus berikut : Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung Sampel (Standard Error of Sample Mean) Kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel adalah standar deviasi distribusi sampel dari rata-rata hitung sampel. Dihitung dengan rumus berikut : Populasi yang tidak terbatas n/N < 0,05 Populasi yang terbatas n/N > 0,05 sx = sx = : Standar deviasi populasi sx : Standar error/kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel n : Jumlah atau ukuran sampel N : Jumlah atau ukuran populasi

Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung Sampel (Standard Error of Sample Mean) Contoh Sandar deviasi dari harga saham kelompok real estate pada bulan agustus 2013 adalah 232. Apabila diambil sampel sebanyak 33 perusahaan dari anggota real estate, berapa standar errornya ?

Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung Sampel (Standard Error of Sample Mean) Jawab Jumlah sampel 33 dan tidak ada jumlah N untuk populasi, sehingga termasuk populasi tidak terbatas sx = = = 40,38 Jika diketahui bahwa seluruh anggota real estate Indonesia sebanyak 508 Jawab Nilai n/N = 33/508 = 0,065 atau lebih besar dibandingkan 0,05, maka termasuk dalam populasi terbatas sx = = = 40,38 x 0,968 = 39,09

Menyusun Interval Keyakinan Rumus interval keyakinan rata-rata hitung X  Z /2s/n Untuk populasi yang terbatas, faktor koreksi menjadi  (N–n)/N-1. Nilai merupakan rata-rata dari sampel, sedangkan nilai Z untuk beberapa nilai C Nilai Z untuk beberapa C : Tingkat Keyakinan C/2 Nilai Terdekat Nilai Z 0,99 0,495 0,4951 2,58 0,98 0,490 0,4901 2,53 0,95 0,475 0,4750 1,96 0,90 0,450 0,4505 1,65 0,85 0,425 0,4251 1,44 0,80 0,400 0,3997 1,28

Populasi Tidak Terbatas Interval Keyakinan Untuk Rata-rata Proses penyusunan interval keyakinan Populasi Tidak Terbatas X  Z/2 s/n Identifikasi masalah Menentukan Sampel (n) nilai rata-rata Menentukan Keyakinan C atau  = (1 – C) dan Nilai Z Populasi Terbatas X  Z/2 s/(N - n)/N-1

soal  Berat badan rata-rata mahasiswa pria Universitas ABC adalah 81,6 kg. Anda akan menguji seberapa akurat Anda bisa memprediksi berat badan mahasiswa pria di Univeritas ABC dalam interval kepercayaan tertentu.sample diambil 1000 diketahui Xbar 180 dan standar deviasi 30

Distribusi & Standar Deviasi Populasi Distribusi Sampling : Normal Standar Deviasi Populasi : Diketahui Probabilitas ( – Z/2 x <  < (  Z/2 s/(N – n)/N – 1n sx ) = C atau Probabilitas (  Z/2 sx ) = C X X X : Rata-rata dari sampel Z/2 : Nilai Z dari tingkat kepercayaan   : Rata-rata populasi yang diduga x : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel C : Tingkat keyakinan  : (1 – C) X

Distribusi & Standar Deviasi Populasi Distribusi Sampling : Normal Standar Deviasi Populasi : Tidak Diketahui Standar error untuk populasi yang terbatas dan n/N > 0,05: Standar error untuk populasi tidak terbatas Distribusi t dengan n=25 Distribusi normal standar Distribusi t dengan n=15 Distribusi t dengan n=5

Distribusi & Standar Deviasi Populasi Distribusi Sampling : Mendekati Normal Standar Deviasi Populasi : Tidak Diketahui ( – t/2 sx<  < ( + t/2 sx ) X X : Rata-rata dari sampel t/2 : Nilai t dari tingkat kepercayaan  : Rata-rata populasi yang diduga sx : Standar error/kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel C : Tingkat keyakinan  : 1 – C X

soal Reksadana mempunyai hasil lebih dari bunga bank survey thd 9 perusahaan dari 59 perusahaan mampu memberikan hasil investasi 13,7 % dengan standar deviasi1,83% dengan tingkat kepercayaan 95% buat interval keyakinan rata rata hasil investasi reksa dana tsb

Distribusi & Standar Deviasi Populasi Untuk populasi yang tidak terbatas Untuk populasi yang terbatas Rumus pendugaan proporsi populasi Probabilitas (p - Z/2.Sp<P< p + Z/2.Sp) p : Proporsi sampel Z/2: Nilai Z dari tingkat keyakinan  P :Proporsi populasi yang diduga Sp : Standar error/kesalahan dari proporsi C :Tingkat keyakinan  :1 – C

Interval keyakinan untuk selisih Rata-rata Probabilitas (( - ) - Z/2. x1-x2) < ( - ) < ( - ) + Z/2. x1-x2) Di mana standar error dari nilai selisih rata-rata adalah: Apabila standar deviasi dari populasi tidak ada, maka dapat diduga dengan standar deviasi sampel yaitu: Di mana: x1-x2 : Standar deviasi selisih rata-rata populasi sx1-x2 : Standar error selisih rata-rata sx1, sx1: Standar deviasi sampel dari dua populasi n1, n2: Jumlah sampel setiap populasi X2 X1

Interval keyakinan untuk selisih Proporsi Probabilitas Probabilitas ((p1-p2) - Z/2. sp1-p2) <(P1-P2) < (p1-p2) + Z/2. sp1-p2) Di mana standar error dari nilai selisih proporsi adalah: p1, p2 : Proporsi sampel dari dua populasi Sp1, sp1: Standar error selisih proporsi dari dua populasi n1, n2 : Jumlah sampel setiap populasi

Faktor ukuran sampel Faktor yang memengaruhi jumlah sampel: Tingkat keyakinan yang dipilih Kesalahan maksimum yang diperbolehkan Variasi dari populasi

Rumus Jumlah Sampel untuk Menduga Rata-rata Populasi Rumus jumlah sampel dalam populasi dirumuskan sebagai berikut: Rumus tersebut diturunkan dari interval keyakinan sebagaimana diuraikan sebagai berikut: P (–Za/2 < Z < Za/2 ) = C = 1 – a (–Za/2 < ( – m)/(s/Ön) < Za/2) (–Za/2 (s/Ön) < ( – m) < Za/2(s/Ön)) (x – m) < Za/2(s/Ön); ingat bahwa error e = – m e < Za/2(s/Ön); e2 = (Za/2)2(s2/n); n = [(Za/2.s)/e]2 n = [(Za/2.s)/e]2

Rumus Jumlah Sampel untuk Menduga Rata-rata Populasi Untuk mendapatkan rumus jumlah sampel dalam pendugaan proporsi populasi dapat diturunkan sebagai berikut: P (–Za/2 < Z < Za/2 ) = C = 1 – a (–Za/2 < (p1 – p2)/(s/Ön) <Za/2) (–Za/2(Ö[(p(1 – p)]/n – 1) < (p1 – p2) < Za/2(Ö[p(1– p)]/n–1) (p1 – p2) < Za/2(Ö[(p(1 – p)]/n – 1); ingat bahwa error e = p1 – p2 e < Za/2(Ö[(p(1 – p)]/n – 1); dikuadratkan kedua sisi menjadi e2 = (Za/2)2[(p(1 – p)]/n – 1; dipindahkan n – 1 ke sisi kiri n –1 = (Za/2.)2 p(1 – p) sehingga n menjadi e2 n = (Za/2.)2 p(1 – p) + 1

TERIMAKASIH