VI. ESTIMASI PARAMETER Estimasi Parameter : Metode statistika yang berfungsi untuk mengestimasi/menduga/memperkirakan nilai karakteristik dari populasi atau parameter populasi berdasarkan nilai karakteristik sampel atau statistik sampel. Syarat : sampel harus dapat mewakili populasi  sampling dilakukan secara acak. Contoh : Hasil pemilu dihitung secara cepat (Quickcount) dengan sampel untuk tiap wilayah pemilihan, valid jika pengambilan sampel dilakukan secara acak. Cara estimasi : Estimasi Titik Parameter populasi diestimasi dengan karakteristik sampel (Statistik) Mean populasi =  = Variansi populasi = 2 = s2 standar deviasi =  = s

2. Estimasi Interval Nilai parameter populasi diestimasi pada kisaran tertentu. Misal X1,X2,X3,…Xn adalah sampel acak dari suatu populasi dengan  adalah parameter populasi maka estimasi interval untuk  adalah : P(B≤  ≤A) = 1- Disebut dengan Interval konfidensi/kepercayaan untuk  dari B sampai A yang dihitung pada probabilitas 1-. Bila parameter yang diestimasi adalah H dan distribusi populasi yang digunakan  (misal distribusi Z, t-student, chi-kuadrat, atau F), galat (error)=  dan statistik dari data sampel adalah k, maka kisaran parameter H pada suatu interval kepercayaan (1-) dapat diestimasi dengan persamaan probabilitas: P(h-  ≤ H ≤ h  )= 1- …….(1) Dengan : h-  = titik minimum (limit kepercayaan bawah) h   = titik maksimum (limit kepercayaan atas) 1- = koefisien kepercayaan (1-) 100% = interval kepercayaan  = tingkat kesalahan yang masih ditolerir atau persentase nilai yang tidak dapat diestimasi.

Parameter yang umum diestimasi: Ukuran pemusatan : mean=, Selisih mean = 1 - 2 =  Estimasi mean dan selisih mean dapat dilakukan dengan : Distribusi Z : Jika sampel yang diamati berasal dari populasi yang variansinya (2) dan standar deviasinya () diketahui. Jika sampel yang berasal dari populasi yang variansinya (2) dan standar deviasinya () tidak diketahui ukuran sampel besar (n30). Distribusi t-student (Distribusi t) Jika sampel berasal dari populasi yang tidak diketahui variansinya (2) dan standar deviasinya () ukuran sampel kecil (n30). 2. Ukuran penyebaran : Variansi = 2, Rasio variansi dua populasi = F Estimasi nilai variansi dilakukan dengan distribusi chi-kuadrat (X2), sedangkan estimasi nilai ratio variansi dua populasi dengan distribusi Fisher (F).

A. Estimasi Mean Populasi Estimasi mean populasi sampel besar dengan distribusi Z Misal x1,x2,x3….xn adalah sampel acak dari suatu populasi dengan mean  tidak diketahui dan variasi 2, dan = mean sampel maka : Mean ( )= Var (( )=2/n Menurut teorama limit pusat jika n besar variabel random mendekati distribusi normal Maka rumus 1 akan berubah menjadi : Jika nilai Z diganti menjadi : Biasanya 2 tidak diketahui, tetapi karena n besar maka 2 dapat diasumsikan sama dengan s2.

Sehingga: Contoh : Suatu sampel produk ikan dalam kaleng sebanyak 400 buah mempunyai rata-rata umur simpan 23,4 bulan dan standar deviasi s=6,2 bulan. Berapakah kisaran umur simpan produk ikan dalam kaleng tersebut pada interval kepercayaan 95%. Jawab : Diketahui : n besar maka digunakan distribusi Z dengan =s =23,4 bulan dan s=6,2 1-=95%=0,95  = 0,05 /2 = 0,025 Z0,025 = 1,96. Maka: Kesimpulan: pada tingkat kepercayaan 95% maka umur simpas produk ikan dalam kaleng adalah antara 22,79 – 24,01 bulan.

2. Estimasi mean populasi dengan sampel kecil. Digunakan untuk data sampel dengan variansinya (2) dan standar deviasinya () tidak diketahui dan ukuran sampel kecil (n<30). Jika adalah transformasi t dari sampel x1X1,X2,X3,…Xn. Jika sampel diambil dari populasi berdistribusi t dengan derajat bebas (n-1) ditulis t(n-1). Distribusi ini tidak tergantung pada µ dan  populasi. Grafik distribusi t lebih memencar dibanding distribusi Z jika n semakin besar semakin mendekati distribusi Z. P(-tα/2(v) ≤T ≤ t α/2(v))=1-α Jika nilai t diganti menjadi :

B. Estimasi interval proporsi p suatu populasi Jika X adalah variabel random binomial (n;p) maka variabel random X/n mempunyai mean = p dan varinasi untuk n besar harga Mendekati distribusi normal. Pada interval konfidensi 1-α untuk p adalah: Untuk estimasi proporsi jumlah sampel harus besar. C. Estimasi Variansi populasi normal Transformasi S2 dihitung dari suatu sampel random x1X1,X2,X3,…Xn yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan variansi 2 berdistribusi X2 dengan derajat bebas = n-1.

Tabel V : harga X2 (k;α) sehingga P(X2 >X2 (k;α) ) = α Untuk 0 < α < 1 maka : Untuk estimasi standar deviasi  digunakan :

Contoh : Ingin diteliti interval variansi (2) dan standar deviasinya () dari panjang buncis yang akan dikalengkan. Sampel acak sebanyak 20 buah dan diperoleh S2=0,01 inch dan S = 0,1 inch. Hitunglah interval variansi (2) dan standar deviasinya () yang sebenarnya dari buncis tersebut pada tingkat kepercayaan 95%. Jawab : Diketahui n=20 1-α=95% s2=0,01 α=5% s=0,1 α/2=0,025 Dari tabel V diperoleh : X2 (19;0,025)=32,85 dan X2 (19;0,975) =8,91 maka : P (0,0058 ≤ 2 ≤ 0,0213) = 95% Atau P (0,076 ≤  ≤0,146 ) = 95% Kesimpulan : Pada tingkat kepercayaan 95% variansi panjang buncis adalah 0,0058 sampai dengan 0,0213 inch sedangkan standar deviasinya berkisar antara 0,076 sampai 0,146 inch.

EVALUASI untuk materi DISTRIBUSI NORMAL dan ESTIMASI PARAMETER Petunjuk : Dikerjakan di kertas folio bergaris; tuliskanlah nama, no.mhs, dan tandatangan Saudara. Kumpulkanlah hasil pekerjaan Saudara disertai dengan menandatangani presensi kehadiran tgl 12/11/2014 ( sbg tanda terima/bukti pengumpulan tugas ). Hasil/pekerjaan mohon dikumpulkan di Bag.Pengajaran paling lambat Rabu 24/12/14.

SOAL - SOAL Sebuah perusahaan bergerak di bidang usaha memproduksi dan menjual bahan makanan dalam kardus. Berat kardus berisi bahan makanan tersebut menyebar normal dengan simpangan baku 4.5 kg. Suatu contoh acak terdiri atas 25 kardus yang rata-rata mempunyai berat 50 kg. Tentukanlah interval (selang) kepercayaan 95% dan 99% bagi rerata berat kardus berisi bahan makanan tersebut. Bandingkanlah keduanya.

SOAL - SOAL Direksi pabrik semen ingin mengetahui kualitas beton yang dibuat dari produknya. Diambillah contoh acak berukuran n=10. Rata-rata contoh adalah sebesar x= 312 kg/cm2 dengan ragam (variansi) sebesar s2 = 195 kg/cm2 . Tentukanlah interval (selang) kepercayaan 95% bagi rataan dan variansi kualitas beton yang dibuat dari produknya tersebut.

SOAL - SOAL Seorang pemimpin proyek menyatakan bahwa dia dapat menyelesaikan proyek dalam waktu sekitar 40 hari, paling cepat 35 hari paling lambat 45 hari ( μ = 40 dan σ = 5 ). Jika waktu penyelesaian proyek menyebar normal, ditanyakan : Peluang bahwa proyek akan selesai kurang dr 35 hari Peluang bahwa proyek selesai antara 35 dan 40 hari Penyelesaian 10% dari proyek memerlukan berapa hari? (untuk soal nomor 3c ini , carilah buku referensi Statistika –terserah pengarang siapa saja- pelajari cara menghitungnya ).

Pesan dari pengampu (b.Tyas)  Kerjakanlah dengan sungguh-sungguh dan pelajari baik-baik, semoga ilmu ini bermanfaat. Hasil dari tugas ini berkontribusi bagi nilai akhir mata kuliah Statistika yang Saudara tempuh sekarang. Selamat Mengerjakan dan Selamat Belajar.