Pertemuan 18 Geometri Projektif
Pengkajian tentang Koordinat-koordinat Luas (lanjutan) Sasaran Pengkajian tentang Koordinat-koordinat Luas (lanjutan)
Koordinat-koordinat Luas (lanjutan) Pokok Bahasan Koordinat-koordinat Luas (lanjutan)
Teorema Routh Teorema 11.5 Misalkan D, E, F berturut-turut adalah titik-titik pada sisi-sisi BC, AC, AB. Misalkan R = |BD| / |DC|, s = |AE| / |EC|, t = |AF| / |FB| adalah hasil bagi bertanda. Misalkan BE dan CF berpotongan di P, AD dan CF berpotongan di Q, AD dan BE berpotongan di R.
Lanjutan Maka luas segitiga PQR dapat dinyatakan sebagai ((rst-1)(rst-1) | segitiga ABC|) / (rs + r + 1) (st +s + 1) ( tr + t + 1).
Gambar Teorema 11.5 A E R F P Q B D C
Bukti Teorema 11.5 Garis besar Misalkan h adalah tinggi segitiga ABC. Luas segitiga ABC = |BC| h / 2. Diperoleh D = (0, 1/(r+1), r/(r+1)) atau dalam koordinat projektif D = (0, 1, r). Secara sama juga didapat E = (s, 0, 1) dan F = (1, t, 0). Akhirnya dengan membandingkan luas segitiga PQR dan luas segitiga ABC diperoleh hasil di atas.
Teorema Ceva Teorema 11.6 Misalkan D, E, F berturut-turut membagi segmen BC, CA, AB dengan rasio r : 1, s :1, t:1. Maka AD, BE, CF koinsiden bila dan hanya bila r s t = 1.
Bukti Teorema 11.6 Buktinya tidaklah sulit, hanya berdasar fakta bahwa tiga titik P, Q, R koinsiden bila dan hanya bila luas segitiga PQR adalah nol.