INTEGRAL GARIS SKALAR DAN INTEGRAL PERMUKAAN by Andi Dharmawan

Integral Garis Skalar Dalam 1 dimensi kita menghubungkan hasil kerja yang dilakukan oleh sebuah gaya yang bergerak dari suatu lokasi ke lokasi yang lain, yang ditunjukkan sebagai 𝑾 = 𝑭 𝑑𝒙 , dimana F merupakan gaya , W merupakan usaha yang dilakukan atau jumlah energi yang digunakan, dan x adalah jarak tempuh dari arah gaya. Pada dimensi tiga, sebuah obyek dapat bergerak sepanjang sebuah jalur dan posisi dari obyek akan bervariasi yang masing-masing r = (x(t), y(t), z(t)) dimana t merupakan parameter yang digunakan untuk mendeskripsikan jalur yang diambil. Usaha yang dilakukan pada arah manapun ditunjukkan oleh komponen-komponen gaya dimana arah tersebut dikalikan dengan arah berubah, sehingga didapat: dimana C merupakan jalur pergerakan obyek dan r mendeskripsikan posisi vektronya. Untuk menghitung nilai ini kita perlukan untuk dapat mengintegrasikan bidang sepanjang sebuah jalur, dimana jalur tersebut dideskripsikan dalam bentuk sebuah posisi vektor r = (x(t), y(t), z(t).

Integral Garis Skalar (lanjutan) Digunakan dan hubungan simbolik untuk memberikan dan dimana t1 dan t2 merupakan nilai dari parameter pada titik awal dan akhir dari kurva C.

Contoh 6.1. Diberikan F = 2xyzi − x2yj + z2xk. Tentukan integral dari F sepanjang sebuah jalur yang didefiisikan oleh 2ti − tj + k from t = 1 to t = 4. Solusi Kita memiliki r = 2ti − 3tj + k, sehingga x = 2t, y = −3t, dan z = 1 memberikan Sehingga kita ingin menemukan Dengan melakukan subtitusi x, y, z di atas, kita memperoleh:

Contoh 6.2. Tentukan dimana F = (2xyz, 3z, 12xyz), dan C merupakan sebuah jalur searah jarum jam memutari segitiga ABC dengan titik sudut - titik sudut A(1,0,−1), B (1,1,1), C (0,1,1). Solusi Kita perlu mengintegrasikan sepanjang masing-masing dari tiga sisi segitiga. Kita perlu menemukan persamaan garis sepanjang sisi segitiga. Persamaan vektor dari garis antara dua titik a dan b di mana t adalah beberapa parameter dan untuk poin antara A dan B maka 0  t  1.

Contoh 6.2. (lanjutan) Dari A ke B: r = (1, 0, -1) (1 - t) + (1, 1, 1) t = (1, t, -1 + 2t). Jadi x = 1, y = t, dan z = -1 + 2t, dan Demikian pula, kita menemukan bahwa dari B ke C: r = (1, 1, 1) (1 - t) + (0, 1, 1) t = (1 - t, 1, 1). Jadi x = 1 - t, y = 1, dan z = 1, dan

Contoh 6.2. (lanjutan) Dari C ke A: r = (0, 1, 1) (1 - t) + (1, 0, -1) t = (t, 1 - t, 1 - 2t). Jadi x = t, y = 1 - t, dan z = 1 - 2t, dan Oleh karena itu, total integral sekitar jalan diberikan oleh jumlah integral sepanjang tiga bagian - yaitu

Integral Bulat Kurva Tertutup Jika kita menghitung garis putaran bagian integral kurva tertutup dalam bidang (di mana bidang adalah fungsi dari x dan y saja) kita dapat menggunakan teorema Green dalam bidang untuk mengubah integral menjadi bagian integral ganda di atas permukaan tertutup. Teorema ini adalah sebagai berikut Tangan kiri sisi ungkapan ini merupakan integral dari F · dr, seperti sebelumnya, namun sekarang kita dibatasi untuk mempertimbangkan bidang sehingga r = (x, y) dan juga jalan integrasi harus ditutup. Kenyataan bahwa C adalah lintasan tertutup ditunjukkan oleh lingkaran kecil pada tanda integral.

Contoh 6.3. Menggunakan teorema Green menemukan bagian integral di mana F = (3x2,-4xy), dan C jalur searah jarum jam sepanjang perimeter persegi panjang 0x4, 0y1 Solusi Kita ingin menemukan dimana dengan menggunakan teorema Green sama dengan Kita memiliki F = (3x2,-4xy) = (Fx, Fy) dan karena itu dan

Contoh 6.3. (lanjutan) Permukaannya adalah persegi panjang sehingga batas integrasi mudah untuk menetapkan sebagai untuk x 0 ke 4 dan y dari 0 ke 1, sehingga kita mendapatkan integral permukaan Untuk melakukan terpisahkan beberapa kita hanya melakukan satu integral dan kemudian mengintegrasikan hasilnya. Urutan melakukan integrasi tidak akan peduli dalam kasus ini karena batas integrasi adalah independen dari variabel lain dan integral ada dan kontinu di daerah yang bersangkutan. Di sini kita mengintegrasikan-4y, yang tidak mengandung x, jadi kita memperlakukannya sebagai konstan untuk tujuan integrasi pertama memberikan terpisahkan sebagai -4yx. Sekarang, kita melakukan integrasi dalam y untuk memberikan

Integral Permukaan Banyak masalah di bidang teori melibatkan perhitungan fluks medan vektor dari beberapa permukaan tertutup. Ini mengharuskan kita untuk mengintegrasikan medan vektor atas permukaan. Masalah tersebut disederhanakan dengan menggunakan teorema divergensi, yang berhubungan dengan integral dari medan vektor atas permukaan berlari dengan integral dari perbedaan dari lapangan atas volume tertutup. S adalah permukaan melampirkan volume V. ini mengungkapkan hubungan antara jumlah bahan sumber dalam volume dan fluks dari permukaan melampirkan. Contohnya adalah hubungan antara muatan listrik dalam volume dan fluks medan listrik yang dihasilkan.

Contoh 6.4. F = (x - y + z, 2x2y, 1), temukan integral dari F atas permukaan tertutup yang terdiri dari tepi kubus 0  x  3, 0  y  3 dan 0  z  3. Solusi Kita ingin menggunakan teorema divergensi jadi kita perlu menemukan perbedaan dari medan vektor F = (x - y + z, 2x2y, 1) memberikan Fx = x - y + z, Fy = 2x2y, dan Fz = 1 dan Integralnya adalah

Contoh 6.4. (lanjutan) Kita sekarang dapat melakukan setiap integrasi satu demi satu. Kita mulai dengan, integrasi atas x, yang memberikan dan mengevaluasi batas untuk x, ini memberikan: sekarang mengevaluasi batas y, kita mendapatkan:

Latihan Soal Hitung dimana F = (y2, x, Zy) dan C adalah sepanjang garis yang menghubungkan titik A (2,0,0) dan B (1,1,0), F = x2yi + 2xyj + 3xyzk dan C adalah sepanjang jalan yang diberikan oleh r = ti + (1 - t) j + tk untuk t dari 1 sampai 3. Gunakan teorema Green pada bidang untuk mengevaluasi integral baris berikut searah jarum jam di sekitar kurva tertutup diberikan F = xi + y2j, di mana C adalah perimeter persegi panjang ABCD mana A = (0, 0), B = (0, 2), C = (1, 2), dan D = (1, 0); F = (x - y) i + (-x-y) j dimana C adalah perimeter persegi yang diberikan oleh 1  x  3 dan 0  y  2; F = (cos (y), sin (x)) di mana C adalah daerah yang dibatasi oleh garis x = 0, x = 1, y =-π / 2, dan y = π / 2.