MATRIKS Konsep Matriks Matrik

MATRIX Concept of Matrix Matrik

Macam-macam Matriks Kompetensi Dasar : Indikator : Mendeskripsikan macam-macam matriks Indikator : Matriks ditentukan unsur dan notasinya Matriks dibedakan menurut jenis dan relasinya Hal.: 3 Matriks Matrik

Kinds of Matrix Basic Competences : Indicators : Describing the kinds of matrix Indicators : Matrix is determined by its elements and notations Matriks matrix is distinguished by its kinds and relations Hal.: 4 Matriks Matrik

Pengertian Matriks A = Matriks: A = [aij] Elemen: (A)ij = aij Macam – macam Matriks Pengertian Matriks Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom. Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom. a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : am1 am2……amj……. amn A = baris Notasi: Matriks: A = [aij] Elemen: (A)ij = aij Ordo A: m x n kolom Hal.: 5 Matriks Matrik

Kinds of Matrix Definition of Matrix Matrix is the arrangement of numbers which consists of rows and columns. Each of the numbers in matrix is called as entry or element. Order (size) of matrix is the value of the row number multiplied by the number of column. a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : am1 am2……amj……. amn A = rows Notation: Matrix: A = [aij] Element: (A)ij = aij Order A: m x n column Hal.: 6 Matriks Matrik

Macam-macam Matriks 1. Matriks Baris Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris. 2 5 1 -8 25 -2 0 14 8 Hal.: 7 Matriks Matrik

Kinds of Matrix 1. Row matrix Row matrix is a matrix which consists of one row. 2 5 1 -8 25 -2 0 14 8 Hal.: 8 Matriks Matrik

Macam-macam Matriks 2. Matriks Kolom Matriks Kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom 2 -7 9 2 1 Hal.: 9 Matriks Matrik

Kinds of Matrix 2. Column matrix Column matrix is a matrix which consists of one column. 2 -7 9 2 1 Hal.: 10 Matriks Matrik

Macam – macam Matriks 3. Matriks Persegi Matriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolom sama. 1 2 4 2 2 2 3 3 3 Trace(A) = 1 + 2 + 3 diagonal utama Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama Hal.: 11 Matriks Matrik

Kinds of Matrix 3. Square matrix Square matrix is a matrix which has the same numbers of rows and columns. 1 2 4 2 2 2 3 3 3 Trace(A) = 1 + 2 + 3 Main diagonal Trace from matrix is the total numbers from the main diagonal elements. Hal.: 12 Matriks Matrik

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol Macam- macam Matriks 4. Matriks Nol Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol 0 0 0 0 Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya 0 I3 I4 I2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 Hal.: 13 Matriks Matrik

4. Zero matrix Kinds of Matrix zero matrix is a matrix which all of its elements are zero. 0 0 0 0 Matrix identity is a square matrix which its main diagonal element is 1 and the other element is 0. I3 I4 I2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 Hal.: 14 Matriks Matrik

5. Matriks ortogonal (A-1)T = (AT)-1 A-1 AT Macam-macam Matriks 5. Matriks ortogonal Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1 0 -1 1 0 A = 0 1 -1 0 AT= = A-1 B = ½√2 -½√2 ½√2 ½√2 BT= ½√2 ½√2 -½√2 ½√2 = B-1 Matriks ortogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan transposenya. A-1 AT (A-1)T = (AT)-1 Jika A adalah matriks orthogonal, maka (A-1)T = (AT)-1 Hal.: 15 Matriks Matrik

5. Orthogonal Matrix (A-1)T = (AT)-1 A-1 AT Kinds of Matrix 5. Orthogonal Matrix Matrix A is orthogonal if and only if AT = A –1 0 -1 1 0 A = 0 1 -1 0 AT= = A-1 B = ½√2 -½√2 ½√2 ½√2 BT= ½√2 ½√2 -½√2 ½√2 = B-1 Matriks ortogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan transposenya. A-1 AT (A-1)T = (AT)-1 If A is orthogonal matrix, so (A-1)T = (AT)-1 Hal.: 16 Matriks Matrik

Macam – macam Matriks [AT]ij = [A]ji Definisi: 4 5 2 3 6 -9 7 7 4 2 6 7 5 3 -9 7 A = AT = A’ = Definisi: Transpose matriks A adalah matriks AT, kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A. Transpose matriks Transpose dari matriks adalah matriks baru yang kolom –kolom menjadi baris-baris.  Matriks simetri adalah matriks yang sama dengan transposenya. Matriks orthogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan trnsposenya. Transpose dari transpose A adalaha A. Jumlahan dua matriks sama dengan jumlahan transposenya, transpose dari skalar kali matriks sama dengan skalar kali trenasposenya. Transpose dari hasil kali sama dengan hasil kali transposenya dengan urutan terbalik. Tampilkan contoh matriks 2x4, kmd transposekan  Berikan definisi umum dari transpose.  Matriks A simetri jkk A = AT, berikan contoh  Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1, berikan contoh: matriks rotasi.  Berikan contoh dan rumus umum (A-1)T = (AT)-1 [AT]ij = [A]ji n x m Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ……….. Hal.: 17 Matriks Matrik

Kinds of Matrix [AT]ij = [A]ji Definisi: 4 5 2 3 6 -9 7 7 4 2 6 7 5 3 -9 7 A = AT = A’ = Definisi: Transpose matrix A is matrix AT, its columns are rows of A, its rows is columns of A. Transpose matriks Transpose dari matriks adalah matriks baru yang kolom –kolom menjadi baris-baris.  Matriks simetri adalah matriks yang sama dengan transposenya. Matriks orthogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan trnsposenya. Transpose dari transpose A adalaha A. Jumlahan dua matriks sama dengan jumlahan transposenya, transpose dari skalar kali matriks sama dengan skalar kali trenasposenya. Transpose dari hasil kali sama dengan hasil kali transposenya dengan urutan terbalik. Tampilkan contoh matriks 2x4, kmd transposekan  Berikan definisi umum dari transpose.  Matriks A simetri jkk A = AT, berikan contoh  Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1, berikan contoh: matriks rotasi.  Berikan contoh dan rumus umum (A-1)T = (AT)-1 [AT]ij = [A]ji n x m if A is matrix m x n, so matrix transpose AT should be ……….. Hal.: 18 Matriks Matrik

A = B C ≠ D E = F jika x = 1 G = H Kesamaan dua matriks Macam – macam Matriks Kesamaan dua matriks Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang bersesuaian sama. 1 2 4 2 1 3 A = 1 2 4 2 1 3 B = A = B 1 2 2 2 1 3 C = 2 1 2 2 1 3 D = C ≠ D 1 2 4 2 2 2 E = x 2 4 2 2 2 F = E = F jika x = 1 2 2 2 H = ? ? ? 2 2 5 6 9 0 7 G = 4 5 6 G = H 9 7 Hal.: 19 Matriks Matrik

Similarity of two matrixes Kind of Matrix Similarity of two matrixes Two matrix are similar if its size is similar and each symmetrical entry is similar 1 2 4 2 1 3 A = 1 2 4 2 1 3 B = A = B 1 2 2 2 1 3 C = 2 1 2 2 1 3 D = C ≠ D 1 2 4 2 2 2 E = x 2 4 2 2 2 F = E = F if x = 1 2 2 2 H = ? ? ? 2 2 5 6 9 0 7 G = 4 5 6 G = H 9 7 Hal.: 20 Matriks Matrik

Macam-macam Matriks Matriks Simetri Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = AT 4 2 2 3 A = 4 2 2 3 A’ = A simetri Matriks simetri adalah matriks yang sama dengan transposenya. Matriks ortogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan transposenya. 1 2 3 4 2 5 7 0 3 7 8 2 4 0 2 9 A = = AT Hal.: 21 Matriks Matrik

Symmetrical matrix Matrix A is called symmetric if and only if A = AT Kinds of Matrix Symmetrical matrix Matrix A is called symmetric if and only if A = AT 4 2 2 3 A = 4 2 2 3 A’ = A symmetric Matriks simetri adalah matriks yang sama dengan transposenya. Matriks ortogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan transposenya. 1 2 3 4 2 5 7 0 3 7 8 2 4 0 2 9 A = = AT Hal.: 22 Matriks Matrik

Sifat-sifat transpose matriks Macam-macam Matriks Sifat-sifat transpose matriks Transpose dari A transpose adalah A: (AT )T = A A (AT)T = A AT Contoh: Transpose dari transpose adalah matriks iu sendiri 4 5 2 3 6 -9 7 7 4 5 2 3 6 -9 7 7 4 2 6 7 5 3 -9 7 Hal.: 23 Matriks Matrik

properties of transpose matrix Kinds of Matrix properties of transpose matrix Transpose of A transpose is A: (AT )T = A A (AT)T = A AT Example: Transpose dari transpose adalah matriks iu sendiri 4 5 2 3 6 -9 7 7 4 5 2 3 6 -9 7 7 4 2 6 7 5 3 -9 7 Hal.: 24 Matriks Matrik

= (A+B)T AT BT Macam-macam Matriks 2. (A+B)T = AT + BT A B A+B T T T + 2.Transpose dari jumlaham nmatriks sama dengan jumlahan transpose-transposenya Hal.: 25 Matriks Matrik

= (A+B)T AT BT Kinds of Matrix 2. (A+B)T = AT + BT A B A+B T T T + 2.Transpose dari jumlaham nmatriks sama dengan jumlahan transpose-transposenya Hal.: 26 Matriks Matrik

(kA)T = k(A)T Macam-macam Matriks 3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k k T 3. Transpose dari hasil kali skalr dengan matriks sama dengan hasil kali skalar dengan transposenya (kA)T = k(A)T Hal.: 27 Matriks Matrik

(kA)T = k(A)T Kinds of Matrix 3. (kA)T = k(A) T for scalar k k T T kA 3. Transpose dari hasil kali skalr dengan matriks sama dengan hasil kali skalar dengan transposenya (kA)T = k(A)T Hal.: 28 Matriks Matrik

= (AB)T AB = BTAT Macam-macam Matriks 4. (AB)T = BT AT B T T A AB T 4. Transpose hasil kali A dan B sama dengan hasil kali transpose a dan transpose B. (AB)T AB = BTAT Hal.: 29 Matriks Matrik

= (AB)T AB = BTAT Kinds of Matrix 4. (AB)T = BT AT B T T A AB T 4. Transpose hasil kali A dan B sama dengan hasil kali transpose a dan transpose B. (AB)T AB = BTAT Hal.: 30 Matriks Matrik

Macam-macam Matriks Soal : Isilah titik-titik di bawah ini A simetri maka A + AT= …….. ((AT)T)T = ……. (ABC)T = ……. ((k+a)A)T = …..... (A + B + C)T = ………. Kunci: 2A AT CTBTAT (k+a)AT AT + BT + CT QUIZMAKER Hal.: 31 Matriks Matrik

Kind of Matrix Quiz : Fill in the blanks bellow A symmetric then A + AT= …….. ((AT)T)T = ……. (ABC)T = ……. ((k+a)A)T = …..... (A + B + C)T = ………. Answer keys: 2A AT CTBTAT (k+a)AT AT + BT + CT QUIZMAKER Hal.: 32 Matriks Matrik

OPERASI MATRIKS Kompetesi Dasar Indikator Menyelesaikan Operasi Matriks Indikator Dua matriks atau lebih ditentukan hasil penjumlahan atau pengurangannya Dua matriks atau lebih ditentukan hasil kalinya Hal.: 33 Matriks Matrik

OPERATION OF MATRIX Basic competence Finishing operation matrix Indicators Two or more matrixes is defined by the result of their addition or subtraction Two or more matrixes is defined by the result of their multiplication Hal.: 34 Matriks Matrik

Penjumlahan dan pengurangan dua matriks OPERASI MATRIKS Penjumlahan dan pengurangan dua matriks Contoh : 10 22 1 -1 A = 2 6 7 5 B = 10+2 22+6 1+7 -1+5 A + B = 12 28 8 4 = A - B = 10-2 22-6 1-7 -1-5 8 16 -6 -6 = Hal.: 35 Matriks Matrik

Addition and subtraction of two matrixes OPERATION OF MATRIX Addition and subtraction of two matrixes Example: 10 22 1 -1 A = 2 6 7 5 B = 10+2 22+6 1+7 -1+5 A + B = 12 28 8 4 = A - B = 10-2 22-6 1-7 -1-5 8 16 -6 -6 = Hal.: 36 Matriks Matrik

OPERASI MATRIKS Apa syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan? Jawab: Ordo dua matriks tersebut sama A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama, A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij Hal.: 37 Matriks Matrik

OPERATION OF MATRIX What is the condition so that two matrixes can be added? Answer: The ordo of the two matrixes are the same A = [aij] dan B = [bij] have the same size, A + B is defined: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij Hal.: 38 Matriks Matrik

OPERASI MATRIKS Jumlah dua matriks 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 K = 7 3 1 -2 4 -5 9 -4 3 L = 25 30 5 35 10 15 D = 5 6 1 7 2 3 C = C + D = ? ? ? D + C = K + L = ? ? ? L + K = Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif? Hal.: 39 Matriks Matrik

The quantity of two matrixes OPERATION OF MATRIX The quantity of two matrixes 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 K = 7 3 1 -2 4 -5 9 -4 3 L = 25 30 5 35 10 15 D = 5 6 1 7 2 3 C = C + D = ? ? ? D + C = K + L = ? ? ? L + K = What is your conclusion? Is the addition of matrixes commutative? Hal.: 40 Matriks Matrik

OPERASI MATRIKS Soal: Feedback: -8 0 4 7 2 -1 8 4 C = D = 7 2 5 2 6 C + E = … A + B = … -8 0 4 7 2 -1 8 4 C = D = 7 2 5 2 6 -1 8 4 E = 7 2 5 2 6 0 0 0 A = 0 0 0 B = 6 -1 2 9 9 8 -2 16 8 C +D = Feedback: Hal.: 41 Matriks Matrik

OPERATION OF MATRIX Exercise: Feedback: -8 0 4 7 2 -1 8 4 C = D = 7 2 C + E = … A + B = … -8 0 4 7 2 -1 8 4 C = D = 7 2 5 2 6 -1 8 4 E = 7 2 5 2 6 0 0 0 A = 0 0 0 B = 6 -1 2 9 9 8 -2 16 8 C +D = Feedback: Hal.: 42 Matriks Matrik

Hasil kali skalar dengan matriks OPERASI MATRIKS Hasil kali skalar dengan matriks 5x5 5x6 5x1 25 30 5 5 6 1 7 2 3 A = 5A = = 5x5 5x2 5x3 35 10 15 Apa hubungan H dengan A? 250 300 50 350 100 150 H = H = 50 A Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian skalar cA mempunyai entri-entri sebagai berikut: (cA)ij = c.(A)ij = caij Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat tertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama) Hal.: 43 Matriks Matrik

The multiplication result of scalar matrix OPERATION OF MATRIX The multiplication result of scalar matrix 5x5 5x6 5x1 25 30 5 5 6 1 7 2 3 A = 5A = = 5x5 5x2 5x3 35 10 15 What is the relation between H and A? 250 300 50 350 100 150 H = H = 50 A Given matrix A = [aij] and scalar c, the multiplication of scalar cA have the following entries: (cA)ij = c.(A)ij = caij Note: In the set of Mmxn, the matrix multiplication with scalar have closed properties (it will have matrix with the same ordo) Hal.: 44 Matriks Matrik

OPERASI MATRIKS 4K = 5K = K 3 x 3 1 4 -9 3 7 0 K = 5 9 -13 4 16 -36 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 K = 4 16 -36 12 28 0 20 36 -52 4K = 5 20 -45 15 35 0 25 45 -65 5K = Hal.: 45 Matriks Matrik

OPERATION OF MATRIX 4K = 5K = K 3 x 3 1 4 -9 3 7 0 K = 5 9 -13 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 K = 4 16 -36 12 28 0 20 36 -52 4K = 5 20 -45 15 35 0 25 45 -65 5K = Hal.: 46 Matriks Matrik

OPERASI MATRIKS Diketahui bahwa cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Anda tentang A dan c? Contoh: 0 0 0 A = A = 7 2 5 2 6 c = 7 c = 0 cA = 0*2 0*7 0*2 0*5 0*2 0*6 cA = 7*0 7*0 7*0 0 0 0 = kesimpulan Kasus 1: c = 0 dan A matriks sembarang. Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja. Hal.: 47 Matriks Matrik

OPERATION OF MATRIX Known that cA is zero matrix. What is your conclusion about A and c? Example: 0 0 0 A = A = 7 2 5 2 6 c = 7 c = 0 cA = 0*2 0*7 0*2 0*5 0*2 0*6 cA = 7*0 7*0 7*0 0 0 0 = Conclusion Case 1: c = 0 and A is any matrix Case 2: A is zero matrix and c can be any number Hal.: 48 Matriks Matrik

OPERASI MATRIKS Perkalian matriks dengan matriks Definisi: Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n, maka matriks hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang didefinisikan sebagai berikut: r ∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj k = 1 (C)ij = (AB)ij = A B AB Syarat: m x r r x n m x n 1 2 7 -6 4 -9 B = 2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 A = Tentukan AB dan BA Hal.: 49 Matriks Matrik

OPERATION OF MATRIX Multiplication between matrix Definition: If A = [aij] have size m x r , and B = [bij] have size r x n, then the matrix which is from the multiplication result between A and B, yaitu is C = AB has elements that defined as follows: r ∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj k = 1 (C)ij = (AB)ij = A B AB Condition: m x r r x n m x n 1 2 7 -6 4 -9 B = 2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 A = Define AB and BA Hal.: 50 Matriks Matrik

Perkalian matriks dengan matriks OPERASI MATRIKS Perkalian matriks dengan matriks Contoh : 1 2 7 -6 4 -9 11 3 B = 2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 A = = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35 -49 -35 -94 -55 94 -35 -49 -35 -94 -55 A B = = BA tidak didefinisikan Hal.: 51 Matriks Matrik

The multiplication between matrixes OPERATION OF MATRIX The multiplication between matrixes Example: 1 2 7 -6 4 -9 11 3 B = 2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 A = = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35 -49 -35 -94 -55 94 -35 -49 -35 -94 -55 A B = = BA is not define Hal.: 52 Matriks Matrik

OPERASI MATRIKS ABmxm ABnxn n x k m x n n x k m x n 1. Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu? A B n x k m x n B A n x k m x n m = k AB dan BA matriks persegi ABmxm ABnxn 2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol? 2 3 A = 3 -3 -2 2 B = AB = 0 0 AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol Hal.: 53 Matriks Matrik

OPERATION OF MATRIX ABmxm ABnxn n x k m x n n x k m x n 1. Given A and B, AB and BA is defined. What is your conclusion? A B n x k m x n B A n x k m x n m = k AB and BA square matrix ABmxm ABnxn 2. AB = O is zero matrix, is one of (A or B) is zero matrix? 2 3 A = 3 -3 -2 2 B = AB = 0 0 AB is zero matrix. Matrix A and B is not certain zero matrix Hal.: 54 Matriks Matrik

OPERASI MATRIKS Contoh 1: Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi. A B = ?? AC = ?? BD = ?? CD = ?? DB = ?? 2 3 4 5 4 7 9 0 2 3 5 6 A = 1 2 -9 0 8 0 5 6 B = 7 -11 4 3 5 -6 C = 1 8 9 5 6 2 5 6 -9 0 0 -4 7 8 9 D = Hal.: 55 Matriks Matrik

OPERATION OF MATRIX Example 1: Define the multiplication result if it defined: A B = ?? AC = ?? BD = ?? CD = ?? DB = ?? 2 3 4 5 4 7 9 0 2 3 5 6 A = 1 2 -9 0 8 0 5 6 B = 7 -11 4 3 5 -6 C = 1 8 9 5 6 2 5 6 -9 0 0 -4 7 8 9 D = Hal.: 56 Matriks Matrik

OPERASI MATRIKS Contoh 2: A0 = I An = A A A …A n faktor An+m = An Am 2 3 1 2 A = 2 3 1 2 2 3 1 2 A2 = 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 A3 = A x A2 = A0 = I An = n faktor An+m = An Am A A A …A Hal.: 57 Matriks Matrik

OPERATION OF MATRIX Example 2: A0 = I An = A A A …A n factor 2 3 1 2 A = 2 3 1 2 2 3 1 2 A2 = 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 A3 = A x A2 = A0 = I An = n factor An+m = An Am A A A …A Hal.: 58 Matriks Matrik

Kompetensi Dasar: Indikator : DETERMINAN DAN INVERS Menentukan determinan dan invers Indikator : Matriks ditentukan determinannya Matriks ditentukan inversnya Hal.: 59 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE Basic Competence: Define the determinant and inverse Indicator : Matrix is defined by its determinant Matrix is defined by its inverse Hal.: 60 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS = ad - bc Determinan Matriks ordo 2 x 2 Nilai determinan suatu matriks ordo 2 x 2 adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen pada diagonal kedua. Misalkan diketahui matriks A berordo 2 x 2, A = Determinan A adalah det A = = ad - bc Hal.: 61 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE Determinant Matrix ordo 2 x 2 Determinant value of a matrix ordo 2 x 2 is the multiplication result of the main diagonal elements and subtract by the multiplication result of the second diagonal. For example, known matrix A ordo 2 x 2, A = Determinant A is det A = = ad - bc Hal.: 62 Matriks Matrik

Contoh: Invers matriks 2x2 DETERMINAN DAN INVERS Contoh: Invers matriks 2x2 3 2 4 1 A = Berikut contoh penerapan rumus menentukan inverse matriks 2x2 A-1 = = I Hal.: 63 Matriks Matrik

Example: Matrix inverse 2x2 DETERMINANT AND INVERSE Example: Matrix inverse 2x2 3 2 4 1 A = Berikut contoh penerapan rumus menentukan inverse matriks 2x2 A-1 = = I Hal.: 64 Matriks Matrik

DETERMINANT DAN INVERSE Contoh : 1. Kapan matriks TIDAK mempunyai invers? ad-bc = 0 2. Tentukan invers matriks berikut ini 5 1 1 2 a. 2/3 -1/5 -1/5 5/3 a. 0 1 0 2 b. b. tidak mempunyai invers QUIZMAKER 0 0 4 1 c. c. tidak mempunyai invers 1 0 0 1 d. 1 0 0 1 d. Hal.: 65 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE Example : 1. When matrix Doesn’t have inverse? ad-bc = 0 2. Define the following matrix inverse 5 1 1 2 a. 2/3 -1/5 -1/5 5/3 a. 0 1 0 2 b. b. Doesn’t have inverse QUIZMAKER 0 0 4 1 c. c. Doesn’t have inverse 1 0 0 1 d. 1 0 0 1 d. Hal.: 66 Matriks Matrik

I DETERMINAN DAN INVERS B adalah invers dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A-1 A A-1 A-1 A I = = Jika A = , maka Diberikan matriks persegi A, matriks manakah jika dikalikan dengan A hasilnya matriks identitas? Jawabnya adalah inverse dari A. Marilah kita definisikan inverse matriks. B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A inverse (seperti pangkat -1). Perhatikan contoh berikut: A kali A inverse sama dengan A inverse kali A sama dengan matriks identitias I. B kali B inverse sama dengan B inverse kali B sama dengan matriks identitas I. Masalah berikutnya adalah: Apakah setiap matriks mempunyai inverse? Jika mempunyai, bagaimana menentukannya? Apakah inverse matriks (jika ada0 adalah tungga? Hal.: 67 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE B is inverse of matrix A, if AB = BA = I matrix identities, it is written B = A-1 A A-1 A-1 A I = = If A = , then Diberikan matriks persegi A, matriks manakah jika dikalikan dengan A hasilnya matriks identitas? Jawabnya adalah inverse dari A. Marilah kita definisikan inverse matriks. B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A inverse (seperti pangkat -1). Perhatikan contoh berikut: A kali A inverse sama dengan A inverse kali A sama dengan matriks identitias I. B kali B inverse sama dengan B inverse kali B sama dengan matriks identitas I. Masalah berikutnya adalah: Apakah setiap matriks mempunyai inverse? Jika mempunyai, bagaimana menentukannya? Apakah inverse matriks (jika ada0 adalah tungga? Hal.: 68 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS Jawab : Contoh 1 : Tentukan invers dari matriks det B = (-5) . (-4) – (-2) . (-10) = 20 – 20 = 0 , sehingga matriks B tidak memiliki invers Hal.: 69 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE Example 1 : Defined the inverse of matrix Answer : det B = (-5) . (-4) – (-2) . (-10) = 20 – 20 = 0 , So, matrix B doesn’t have inverse Hal.: 70 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS Contoh 2 : Diketahui matriks Tunjukkan bahwa A.A-1 = A-1.A = I dan B.B-1 = B-1. B = I 4 2 2 2 ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 4 2 2 2 1 0 0 1 = = A A-1 A-1 A I Diberikan matriks persegi A, matriks manakah jika dikalikan dengan A hasilnya matriks identitas? Jawabnya adalah inverse dari A. Marilah kita definisikan inverse matriks. B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A inverse (seperti pangkat -1). Perhatikan contoh berikut: A kali A inverse sama dengan A inverse kali A sama dengan matriks identitias I. B kali B inverse sama dengan B inverse kali B sama dengan matriks identitas I. Masalah berikutnya adalah: Apakah setiap matriks mempunyai inverse? Jika mempunyai, bagaimana menentukannya? Apakah inverse matriks (jika ada0 adalah tungga? 4 2 1 2 2 1 3 3 1 ½ -½ 1 -½ -½ 1 0 3 -2 4 2 1 2 2 1 3 3 1 ½ -½ 1 -½ -½ 1 0 3 -2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = = B B-1 B-1 B I Hal.: 71 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE Example 2 : Known matrix Show that A.A-1 = A-1.A = I and B.B-1 = B-1. B = I 4 2 2 2 ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 4 2 2 2 1 0 0 1 = = A A-1 A-1 A I Diberikan matriks persegi A, matriks manakah jika dikalikan dengan A hasilnya matriks identitas? Jawabnya adalah inverse dari A. Marilah kita definisikan inverse matriks. B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A inverse (seperti pangkat -1). Perhatikan contoh berikut: A kali A inverse sama dengan A inverse kali A sama dengan matriks identitias I. B kali B inverse sama dengan B inverse kali B sama dengan matriks identitas I. Masalah berikutnya adalah: Apakah setiap matriks mempunyai inverse? Jika mempunyai, bagaimana menentukannya? Apakah inverse matriks (jika ada0 adalah tungga? 4 2 1 2 2 1 3 3 1 ½ -½ 1 -½ -½ 1 0 3 -2 4 2 1 2 2 1 3 3 1 ½ -½ 1 -½ -½ 1 0 3 -2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = = B B-1 B-1 B I Hal.: 72 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS Determinan Matriks Ordo 3 x 3 Matriks ordo 3 x 3 Dengan aturan Sarrus, determinan A adalah sebagai berikut. _ _ _ + + + Hal.: 73 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE Matrix ordo 3 x 3 Matrix Determinant Ordo 3 x 3 With Sarrus rule, determinant A is as follows _ _ _ + + + Hal.: 74 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS Misal SPL Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Menggunakan Matriks Misal SPL Persamaan tersebut dapat di ubah menjadi bentuk matriks berikut Hal.: 75 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE The equation of linear with two variable using matrix For example SPL The equation can be changed into the following matrix Hal.: 76 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS Misalkan maka dapat ditulis Hal.: 77 Matriks

DETERMINANT AND INVERSE Example Then can be written as Hal.: 78 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS Contoh : Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear Jawab : Sistem persamaan Jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi Hal.: 79 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE Example: Define the value of x and y that fulfill the equation of linear system answer : Equation system If in matrix Hal.: 80 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS Perkalian matriks berbentuk AP = B dengan Jadi nilai x = 5 dan y = 2 Hal.: 81 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE The matrix multiplication in the form of AP = B with So, the value of x = 5 and y = 2 Hal.: 82 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS Maka dengan aturan Cramer, diperoleh Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan determinan atau aturan Cramer. Misal SPL Maka dengan aturan Cramer, diperoleh dan Hal.: 83 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE The solution of linear equation system with two variables using determinant or Cramer rule For example SPL Then, with Cramer rule, we get and Hal.: 84 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS Contoh : Gunakan aturan Cramer untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear Jawab : Dengan aturan Cramer diperoleh Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,2)}. Hal.: 85 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE Example : Use the Cramer rule to define the solution set of linear equation system answer : With cramer Rule, we get So, the solution set is {(1,2)}. Hal.: 86 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS Ax = b Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan menggunakan Matriks SPL dalam bentuk: Dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks: a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm a11 a12……...a1n a21 a22 ……..a2n : : : am1 am2…… amn = x1 x2 : xn b1 b2 : bn x b A: matriks koefisien Ax = b Hal.: 87 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE Finishing the equation of linear system with three variables using matrix SPL in the form of: It can be written in the form of matrix equation: a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm a11 a12……...a1n a21 a22 ……..a2n : : : am1 am2…… amn = x1 x2 : xn b1 b2 : bn x b A: matrix coefficient Ax = b Hal.: 88 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS SPL Contoh : x1 + 2x2 + x3 = 6 -x2 + x3 = 1 4x1 + 2x2 + x3 = 4 SPL Dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut 1.x1 +2.x2 + 1.x3 0.x1 + -1.x2 + 1.x3 4.x1 +2.x2 + 1.x3 6 1 4 1 2 1 0 -1 1 4 2 1 x1 x2 x3 6 1 4 = = Hal.: 89 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE Example : x1 + 2x2 + x3 = 6 -x2 + x3 = 1 4x1 + 2x2 + x3 = 4 SPL It can be written in the form of the following matrix 1.x1 +2.x2 + 1.x3 0.x1 + -1.x2 + 1.x3 4.x1 +2.x2 + 1.x3 6 1 4 1 2 1 0 -1 1 4 2 1 x1 x2 x3 6 1 4 = = Hal.: 90 Matriks Matrik

Perkalian dengan matriks identitas DETERMINAN DAN INVERS Perkalian dengan matriks identitas A= 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 A.I = X = Masih ingat hasil kali matriks dengan matriks identitas? Marilah kita kalikan A dengan matriks identitas I, baik dari kiri maupun dari kanan. Bagaimana hasilnya? Apa kesimpulanmu? Perkalian matriks persegi dengan matriks identitas berukuran sama bersifat komutatif. Hasil kalinya sama dengan matriks A. 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 X = I.A = Hal.: 91 Matriks Matrik

The multiplication of identity matrix DETERMINANT AND INVERSE The multiplication of identity matrix A= 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 A.I = X = Masih ingat hasil kali matriks dengan matriks identitas? Marilah kita kalikan A dengan matriks identitas I, baik dari kiri maupun dari kanan. Bagaimana hasilnya? Apa kesimpulanmu? Perkalian matriks persegi dengan matriks identitas berukuran sama bersifat komutatif. Hasil kalinya sama dengan matriks A. 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 X = I.A = Hal.: 92 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS AB = A dan BA = A, maka B = I AB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu? 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 = QUIZMAKER Feedback: A dan B matriks persegi dengan ordo sama B adalah matriks identitas A I I A A = = AB = A dan BA = A, maka B = I (I matriks identitas) Hal.: 93 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE AB = A and BA = A, what is your conclusion? 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 = QUIZMAKER Feedback: A dan B matriks persegi dengan ordo sama B adalah matriks identitas A I I A A = = AB = A and BA = A, then B = I (I identity matrix ) Hal.: 94 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai invers. 4 2 2 2 ½ -½ -½ 1 1 0 0 1 = A A-1 I a b c d A-1 1 0 0 1 = Marilah kita menentukan inverse matriks 2x2. Perhatikan bahwa A kali A inverse adalah I. Jika A diketahui, bagaimanan menentukan A inverse? A-1 d -b -c a 1 ad - bc = = Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai invers. Hal.: 95 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE 4 2 2 2 ½ -½ -½ 1 1 0 0 1 = A A-1 I a b c d A-1 1 0 0 1 = Marilah kita menentukan inverse matriks 2x2. Perhatikan bahwa A kali A inverse adalah I. Jika A diketahui, bagaimanan menentukan A inverse? A-1 d -b -c a 1 ad - bc = = If ad –bc = 0 then A doesn’t have inverse Hal.: 96 Matriks Matrik

? DETERMINAN DAN INVERS (A-1)-1 Invers dari matriks jika ada adalah tunggal: Jika B = A-1 dan C = A-1, maka B = C (A-1)-1 2. (A-1)-1 = A 4 2 2 2 A = ½ -½ -½ 1 ? 1 0 0 1 = A-1 = ½ -½ -½ 1 A-1 Sifat-sifat matriks inverse Jika A mempunyai inverse, maka inversenya tunggal. Inverse dari inverse matriks A adalah A sendiri. Matriks inverse dari matriks pangkat n sama dengan inverse matriks dipangkatkan n. 1-5 dalam bentuk rumus, kemudian contoh-contoh sederhana Quiz: menentukan inverse matriks 2x2, inverse dari transposenya, berikan 2 matriks, satu rtogonal satu tidak, identifikasi. Untuk matriks ort, hitung determinan.  Link ke bukti sifat 1, 2 4 2 2 2 A Hal.: 97 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE If there is inverse of matrix is only one: If B = A-1 and C = A-1, then B = C (A-1)-1 2. (A-1)-1 = A 4 2 2 2 A = ½ -½ -½ 1 ? 1 0 0 1 = A-1 = ½ -½ -½ 1 A-1 Sifat-sifat matriks inverse Jika A mempunyai inverse, maka inversenya tunggal. Inverse dari inverse matriks A adalah A sendiri. Matriks inverse dari matriks pangkat n sama dengan inverse matriks dipangkatkan n. 1-5 dalam bentuk rumus, kemudian contoh-contoh sederhana Quiz: menentukan inverse matriks 2x2, inverse dari transposenya, berikan 2 matriks, satu rtogonal satu tidak, identifikasi. Untuk matriks ort, hitung determinan.  Link ke bukti sifat 1, 2 4 2 2 2 A Hal.: 98 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS Jika A mempunyai invers maka An mempunyai invers dan (An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,… 4 2 2 2 A = ½ -½ -½ 1 A-1 = 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 104 64 64 40 A3 = = (A3)-1 = 0.625 -1 -1 1.625 Jika A adalah matriks persegi yang mempunyai inverse, maka menghitung inverse kemudian memangatkan hasilnya sama dengan memangkatkan dahulu kemudian dihitung inversenya. sama (A-1)3 = ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 0.625 -1 -1 1.625 = Hal.: 99 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE If A have inverse then An have inverse and (An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,… 4 2 2 2 A = ½ -½ -½ 1 A-1 = 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 104 64 64 40 A3 = = (A3)-1 = 0.625 -1 -1 1.625 Jika A adalah matriks persegi yang mempunyai inverse, maka menghitung inverse kemudian memangatkan hasilnya sama dengan memangkatkan dahulu kemudian dihitung inversenya. The same with (A-1)3 = ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 0.625 -1 -1 1.625 = Hal.: 100 Matriks Matrik

DETERMINAN DAN INVERS 4. (AB)-1 = B-1 A-1 3 5 2 2 B = B-1 = ½ 5/4 3 5 2 2 B = B-1 = ½ 5/4 ½ - ¾ 4 2 2 2 A = 16 24 10 14 -0.875 1.5 0.625 -1 (AB)-1 = -1 = Jika A dan B dapat dikalikan dan masing-masing mempunyai inverse, maka AB juga mempunyai inverse. Inverse AB sama dengan hasil kali B inverse deang A inverse (urutan terbalik) ½ 5/4 ½ - ¾ ½ -½ -½ 1 -0.875 1.5 0.625 -1 B-1 A-1 = = ½ -½ -½ 1 ½ 5/4 ½ - ¾ -0.5 1 0.75 -1.375 A-1 B-1 = = Hal.: 101 Matriks Matrik

DETERMINANT AND INVERSE 4. (AB)-1 = B-1 A-1 3 5 2 2 B = B-1 = ½ 5/4 ½ - ¾ 4 2 2 2 A = 16 24 10 14 -0.875 1.5 0.625 -1 (AB)-1 = -1 = Jika A dan B dapat dikalikan dan masing-masing mempunyai inverse, maka AB juga mempunyai inverse. Inverse AB sama dengan hasil kali B inverse deang A inverse (urutan terbalik) ½ 5/4 ½ - ¾ ½ -½ -½ 1 -0.875 1.5 0.625 -1 B-1 A-1 = = ½ -½ -½ 1 ½ 5/4 ½ - ¾ -0.5 1 0.75 -1.375 A-1 B-1 = = Hal.: 102 Matriks Matrik