DISTRIBUSI FREKUENSI UKURAN PEMUSATAN DAN PENYEBARAN RATA-RATA; MEDIAN; MODUS RAGAM DAN SIMPANGAN BAKU

DISTRIBUSI FREKUENSI (DF) AD, Pengelompokan data ke dlm beberapa kategori yg menunjukkan banyaknya data dlm stp kategori, & stp data tdk dpt dimasukkan ke dlm 2 atau lebih kategori. Langkah-langkah membuat – DF : Mengurutkan data dr yg terkecil ke yg terbesar (Raw Data  Array Data). Membuat kategori/kelas, yt data dimasuk- kan ke dlm kategori yg sama, sehingga data dlm 1 kategori mempunyai Karakteristik yg sama

DF – BIASA BERISI : INTERVAL KELAS (i) = DATA DALAM BENTUK KATEGORI/KELAS. FREKUENSI = MENYATAKAN BERAPA BUAH DATA YG TERDPT DLM (i). UJUNG BAWAH = BIL. DISEBELAH KIRI. UJUNG ATAS = BIL. SEBELAH KANAN PANJANG INTERVAL KELAS (P) : Jarak nilai terendah & tertinggi dlm st kelas TANDA KELAS/ NILAI TENGAH (X) : nilai terbesar + terkecil di bagi dua

LANGKAH-2 MEMBUAT “DF” DGN PANJANG KELAS YG SAMA, ADALAH SBB; TENTUKAN: RENTANG : DATA TERBESAR – D. TERKECIL. BANYAKNYA KELAS/KATEGORI: 2 – 15; DGN 2k ≥ n. atau DGN RUMUS/ATURAN STURGES : BANYAK KELAS (k) = 1 + (3,322) Log n 3. PANJANG INTERVAL KELAS (P) P = RENTANG : BANYAKNYA KELAS . PILIH UJUNG BAWAH KELAS INTERVAL PERTAMA BUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI. MEMASUKKAN NILAI KE DLM INTERVAL KELAS DGN PENTURUSAN/TABULASI.

CONTOH RAW DATA: NILAI UJIAN 60 MAHASISWA : 33 60 79 32 57 74 52 70 82 36 80 77 81 93 41 65 92 85 55 78 52 40 64 75 78 25 80 94 81 67 41 71 83 54 64 72 88 62 74 43 60 78 89 76 84 48 84 90 35 79 34 67 47 82 69 74 63 80 85 61

ARRAY DATA 25 32 33 34 35 36 40 41 41 43 47 48 52 52 54 55 57 60 60 61 62 63 64 64 65 67 67 69 70 71 72 74 74 74 75 76 76 77 78 78 79 79 80 80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 88 89 90 92 93 94

TABEL 1 : DISTRIBUSI FREKUENSI NILAI STATISTIK 60 MAHASISWA NILAI UJIAN FREKUENSI (fi) NILAI TENGAH (x) PREK. KUMULATIF (fk) fr < > 25 – 34 4 29,5 60 0,07 35 – 44 6 39,5 10 54 0,10 45 – 54 5 49,5 15 49 0,08 55 – 64 9 59,5 24 40 0,15 65 – 74 69,5 34 30 0,17 75 – 84 18 79,5 52 12 0,30 85 – 94 8 89,5 0,13 JUMLAH -

HISTOGRAM/DIAGRAM BALOK HISTOGRAM MENGHUBUNGKAN ANTARA KELAS INTERVAL PADA SUMBU HORISONTAL (X) DAN FREKUENSI SETIAP KELAS PADA SUMBU VERTIKAL (Y)

POLIGON POLIGON MENGGUNAKAN GARIS YANG MENGHUBUNGKAN TITIK-TITIK YANG MERUPAKAN KOORDINAT ANTARA NILAI TENGAH KELAS DENGAN JUMLAH FREKUENSI PADA KELAS TERSEBUT. TITIK TENGAH MERUPAKAN REPRESENTASI DARI KARAKTER KELAS

KURVA OGIF MERUPAKAN DIAGRAM GARIS YANG MENUNJUKKAN KOMBINASI ANTARA INTERVAL KELAS DENGAN FREKUENSI KUMULATIF. KURVA OGIF MENUNJUKKAN FREKUENSI KUMULATIF PADA SETIAP TINGKAT ATAU KATEGORI. SUMBU HORISONTAL PD KURVA OGIF MENUNJUKKAN TEPI INTERVAL KELAS DAN SUM10BU VERTIKAL MENUNJUKKAN FREKUENSI KUMULATIF. KURVA OGIF DAPAT JUGA MENGGUNAKAN FREKUENSI RELATIF YANG DISAJIKAN DALAM BENTUK PERSENTASE.

UKURAN PEMUSATAN UKURAN PEMUSATAN YAITU SEBUAH NILAI YANG MENUNJUKKAN PUSAT DARI SEKUMPULAN DATA (MENUNJUKKAN PUSAT DARI NILAI DATA). UKURAN PEMUSATAN ADALAH NILAI TUNGGAL YANG MEWAKILI SUATU KUMPULAN DATA DAN MENUNJUKKAN KARAKTERISTIK DARI DATA.

UKURAN PEMUSATAN DATA YG TIDAK DIKELOMPOKKAN : MEAN (RATA – RATA) MEAN = ∑ x : n CONTOH : NILAI UJIAN 5 ORANG MAHASISWA x = 70 69 45 80 56 MAKA MEAN = 320 : 5 = 64 MEDIAN = MENENTUKAN LETAK DATA SETELAH DATA DISUSUN MENURUT URUTAN NILAINYA. JK JUMLAH DATA GANJIL MK MEDIAN TERLETAK DITENGAH. TETAPI JIKA GENAP, MAKA MERUPAKAN RATA-2 HITUNG 2 DATA TENGAH.

CONTOH : 45 56 69 70 80, MK Me = 69 JK GENAP, 7 8 8 10 12 14 16 19 MAKA Me = ½ (10 + 12) = 11 MODUS (Mo) ; UTK MENYATAKAN FENOMENA YG PALING BANYAK TERJADI/ PALING SERING MUNCUL. DITENTUKAN DENGAN MELIHAT FREKUENSI TERBANYAK/TERBESAR DIANTARA DATA. SEKUMPULAN DATA, DAPAT MEMPUNYAI LEBIH DARI SEBUAH MODUS. CONTOH ; LIHAT SOAL 2 DI ATAS; MAKA MODUS (Mo) = 8, SEDANGKAN SOAL NO. 1 TDK MEMPUNYAI MODUS.

Contoh soal data tdk dikelompokkan IQ rata-rata sepuluh masiswa yg mengambil kuliah statisika adalah 114. bila 9 mhs memiliki IQ 101; 125; 118; 128; 106; 115; 99; 118; dan 109. berapa IQ mahasiswa yg satu lagi. Hitung pula median & modusnya serta standar deviasi. Sumbangan yg diberikan oleh 20 pegawai sebuah persh. Pd pembangunan mesjid adalah (dlm ribuan Rupiah) : 10; 40; 25; 5; 20; 10; 25; 50; 30; 10; 5; 15; 25; 50; 10; 30; 5; 25; 45 & 15. dgn asumsi data tsb data populasi hitunglah : Mean, Median, Modus & standar deviasi.

UKURAN PEMUSATAN UTK DATA YG TELAH DIKELOMPOKKAN ; RATA-RATA (MEAN) ADA 2 CARA CARA PANJANG : ∑ fi xi ∑fixi MEAN = --------- = -------- ∑ fi n CARA SANDI : MEAN = xo + p ( ∑ fi ci : ∑ fi) xo = NILAI TENGAH PD SAAT c = 0 p = PANJANG KLS INTERVAL c = TANDA SANDI CONTOH : BERDASARKAN DATA “DF”

TABEL 2 : DISTRIBUSI FREKUENSI NILAI STATISTIK 60 MAHASISWA NILAI UJIAN xi fi fk ci xi. fi fi. ci 25 – 34 29,5 4 - 5 118 20 35 – 44 39,5 6 10 237 24 45 – 54 49,5 5 15 3 247.5 55 – 64 59,5 9 2 535,5 -18 65 – 74 69,5 34 1 695 -10 75 – 84 79,5 18 52 1431 85 – 94 89,5 8 60 716 JUMLAH 3980 - 79

SIFAT RATA – RATA HITUNG (RRH) Setiap kelompok baik dlm bentuk skala interval maupun rasio mempunyai - RRH. Semua nilai data hrs dimasukkan ke dlm perhitungan rata – rata hitung. Satu klpk baik kls maupun satu kesatuan dlm populasi & sampel hanya mempunyai satu – RRH. RRH – utk membandingkan karakteristik dua atau lebih populai/sampel. RRH sbg titik keseimbangan dr keseluruhan data, mk letaknya berada di tengah data. Nilainya sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrim. Data yg sifatnya terbuka (≥ atau ≤) tdk mempunyai RRH

MEDIAN 2. MEDIAN (Me) 1/2n – F Me = b + p { ---------- } f b = Batas bawah kelas Median; yt kelas dimana Me akan terletak. F = jumlah semua frekuensi dgn tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median f = Frekuensi kelas Median

SIFAT-SIFAT MEDIAN (Me) : Bersifat unik, krn untuk sekelompok data hanya ada satu nilai Me. Utk menentukan nilai Me, hrs dilakukan pengurutan data dr yg terkecil ke terbesar, Nilai Me, tdk dipengaruhi oleh nilai ekstrim. Me, dapat dihitung utk sebuah distribusi frekuensi dgn kelas interval yg terbuka. Semua skala pengukuran (rasio, interval, ordinal) dpt digunakan utk mencari nilai Me

3. MODUS/MODAL (Mo) b1 Mo = b + p [ ------------] b1 + b2 b = batas bawah kelas Mo, yt kelas interval dgn frekuensi terbanyak/terbesar. b1= frek. Kls Mo dikurangi Frek. Kls interval tanda kls yg lebih kecil sebelum tanda kls Mo b2= Frek. Kls Mo dikurangi Frek. Kls interval, dgn tanda kelas yg lebih besar sesudah tanda kelas Mo. Hubungan ketiga ukuran tsbt : rata-rata – Mo = 3 (rata-rata – Me)

SIFAT – SIFAT MODUS (Mo): Mudah ditemukan Dapat digunakan untuk semua skala pengukuran. Tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrim. Sekumpulan data dapat mempunyai lebih dari satu Mo. Kelemahan Mo, tidak semua kumpulan data mempunyai modus sehingga relatif jarang digunakan dibanding ukuran lain.

UKURAN PENYEBARAN/ UKURAN VARIASI MENGGAMBARKAN BAGAIMANA BERPENCARNYA DATA KUANTITATIF. ADALAH SUATU UKURAN UNTUK MENGETAHUI SEBERAPA BESAR PENYIMPANGAN DATA DENGAN NILAI RATA – RATA HITUNGNYA. UNTUK DATA YG BLM DIKELOMPOKKAN ∑ (xi – Ẍ)2 S2 = -------------- ATAU n – 1 AGAR KEKELIRUAN KECIL DIGUNAKAN : n ∑ xi2 – (∑ xi)2 S2 = ---------------------- n (n – 1)

RUMUS SD UNTUK DATA YG DIKELOMPOKKAN ∑ fi (xi – x)2 S2 = ----------------- atau n – 1 Agar lebih teliti maka : n ∑ fi xi2 – (∑ fi xi)2 S2 = --------------------------- atau n ( n – 1) Dengan cara sandi : n ∑fici2 – (∑fici)2 S2 = p2 [ -------------------------- n (n – 1)

TABEL 2 : DISTRIBUSI FREKUENSI NILAI STATISTIK 60 MAHASISWA NILAI UJIAN xi fi xi2 fixi2 Ci2. fi. ci2 25 – 34 29,5 4 870,25 3481 25 100 35 – 44 39,5 6 1560,25 9361,5 16 96 45 – 54 49,5 5 2450,25 12251,25 9 45 55 – 64 59,5 3540,25 31862,25 36 65 – 74 69,5 10 4830,25 48302,5 1 75 – 84 79,5 18 6320,25 113764,5 85 – 94 89,5 8 8010,25 64082,00 ∑ 60 283105 295

UKURAN LAIN (KUARTIL,DESIL, DAN PERSENTIL. KUARTIL : JIKA SEKUMPULAN DATA DIBAGI MENJADI 4 BAGIAN YG SAMA BANYAK, SESUDAH DISUSUN MENURUT URUTAN NILAINYA. ADA 3 KUARTIL K1, K2 DAN K3 DESIL : JIKA SEKUMPULAN DATA DIBAGI MENJADI 10 BAGIAN. ADA 9 BUAH DESIL. PERSENTIL : JIKA SEKUMPULAN DATA DI BAGI MENJADI 100 BAGIAN. ADA 99 PERSENTIL

UNTUK MENENTUKAN NILAI KUARTIL CARANYA ADALAH : SUSUN DATA MENURUT URUTAN NILAINYA TENTUKAN LETAK KUARTIL/DESIL/ PERSENTIL. TENTUKAN NILAI K/D/P LETAK KUARTIL DITENTUKAN OLEH : .i n LETAK Ki = data ke -------------- 4 .i = 1, 2, 3

Untuk menentukan nilai kuartil maka : .in/4 – F Ki = b + p ( -------------- ) f b = batas bawah kelas Ki F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Ki f = frekuensi kelas Ki

BAHAN KULIAH SKEWNESS DAN KURTOSIS

UKURAN KECONDONGAN (SKEWNESS) SUATU UKURAN YANG MENUNJUKKAN SEJAUH MANA PERGESERAN DARI BENTUK YANG SIMETRI UNTUK SUATU DISTRIBUSI/SEBARAN. APABILA RATA-RATA = MEDIAN = MODUS, MAKA KURVA BERBETUK SIMETRIS ATAU NORMAL. SEHINGGA JIKA KURVA INI DILIPAT AKAN MENJADI DUA BAGIAN YANG SAMA ADA 2 BENTUK SKEWNESS YT: SKEWED TO RIGHT & SKEWED TO LEFT.

BENTUK SKEWNESS SKEWED TO RIGHT (MENJULUR KE KANAN/ MONOMODAL POSITIF/ POSISTIF SKEWNESS ;JK ST KURVA FREKUENSI (POLIGON) DR ST DISTRIBUSI MEMPUNYAI EKOR MEMANJANG KE KANAN TERHDP TITIK PUSAT MAXIMUM, SKEWED TO LEFT/ MONOMODAL NEGATIF/ NEGATIF SKEWNESS; JK MEMPUNYAI EKOR MEMANJANG KE KIRI TERHADAP TITIK PUSAT MAX.

BENTUK KURVA POSITIF SKEWNESS frekuensi Mo Me X k nilai

BENTUK KURVA NEGATIF SKEWNESS frekuensi X Me Mo nilai

RUMUS/UKURAN TINGKAT KEMIRINGAN PERSON”S COEFFICIENT OF SKEWNESS X – Mo 3 (X – Me) Sk1 = ------------ Sk2 = --------------- S S NORMAL JIKA Sk = 0; NILAI – 3 ≤ Sk ≤ 3 QUARTIL COEFFICIENT OF SKEWNESS ( COFFICIENT BOWLEY). Q3 – 2Q2 + Q1 Sk = ------------------------ Q3 – Q1

THE DESIL/ PERCENTIL COEF. OF SK. COEFFICIENT KELLEY P90 – 2P50 + P10 Sk = ---------------------------- P90 – P10 ATAU D9 – 2D5 + D1 D9 – D1 P = PERSENTIL DAN D = DESIL

KURTOSIS UKURAN KERUNCINGAN / KETINGGIAN KURVA. PENYIMPANGAN YANG DISEBABKAN OLEH NILAI STANDAR DEVIASI. UNTUK MENGUKURNYA MAKA DIBANDINGKAN DENGAN KURVA NORMAL DISEBUT MESOKURTIC. KURVA DGN DISTRIBUSI PUNCAK YG MENDATAR DISEBUT PLATYKURTIC. KURVA DGN DISTRIBUSI PUNCAK YANG TINGGI DISEBUT LEPTOKURTIC

COEFFICIENT KURTOSIS ½ ( Q3 – Q1) K = --------------------- P90 – P10 JIKA K = 0,263 ↔ MESOKURTIC K < 0,263 ↔ PLATYKURTIC K > 0,263 ↔ LEPTOKURTIC

TERIMA KASIH ATAS PERHATIANNYA MINGGU DEPAN LATIHAN SOAL-SOAL KUMPUL TUGAS

LATIHAN SOAL Berikut ini data gaji (dlm jutaan)10 karyawan PT Ä”: 1,5 ; 3,0; 2,5; 4,0; 3,5; 2,5; 3,0; 2,0; 2,5; 1,0; Susun data ini dan hitunglah mean, median, modus & standar deviasi. Pegawai sebuah Pabrik memberikan Sumbangan Dalam Ribuan Rupiah pada panti Asuhan : 10; 40; 25; 5; 20 ; 10; 25; 50; 30 ; 10,; 5; 15; 25; 50; 10; 30; 5; 25; 45 dan 15. Dengan asumsi data ini berasal dari populasi maka hitunglah Mean Median dan Standar deviasi.

DATA DISKRIT Jumlah bersaudara mhs fe-uh tahun 2010 5 2 6 2 3 2 3 4 2 4 4 3 9 4 5 4 2 8 2 2 4 3 10 2 2 2 5 7 3 6 3 4 2 5 4 5 4 2 3 4

DATA KONTINU Jumlah retribusi (dalam jutaan rupiah) dari 40 desa/kelurahan di kabupaten “X” tahun 2005 adalah sbb: 138 164 150 132 144 125 149 157 146 158 140 147 136 148 152 144 168 126 138 176 163 119 154 165 146 173 142 147 135 153 140 135 161 145 135 142 150 156 145 128 a. Buatlah daftar distribusi frekwensi dengan batas bawah ujung atas 115 dan buat grafik poligon. b. Hitunglah mean, median, modus dan standar deviasinya. c.Tentukan bentuk Skewed dan kurtosisnya.

SEMOGA BERMANFAAT