KONSEP STATISTIK

Statistik merupakan alat kuantitatif yang sangat bermanfaat untuk banyak tujuan. Dalam kaitannya dengan manajemen risiko, statistik (khsusunya konsep probabilitas) mempunyai relevansi yang tinggi dengan pengukuran risiko, karena bisa dipakai untuk mengukur besar kecilnya risiko. Sebagai contoh, kita barangkali ingin mengajukan pertanyaan, ‘seberapa besar kemungkinan dua buah mobil akan mengalami kecelakaan tahun ini?’ Melalui tehnik perhitungan probabilitas, kita akan bisa menjawab pertanyaan tersebut. Tentunya ada tehnik lain untuk mengukur risiko, karena karakteristik risiko bisa berlainan (dibicarakan banyak di bagian 2 buku ini).

Tahapan Perhitungan Probabilitas Mendefinisikan hasil yang mungkin terjadi Memperkirakan probabiltas untuk setiap hasil yang mungkin terjadi tersebut Menghitung probabilitas kejadian.

Mendefiniskan Hasil Yang Mungkin Terjadi Misalkan kita ingin melempar dadu yang berisi angka 1,2,3,4,5, dan 6. Jika kita melempar dadu tersebut, maka ada enam kemungkinan yang terjadi, yaitu keluar angka 1,2,3,4,5, atau 6. Jika kita melempar uang logam (coin), maka ada dua kemungkinan yang muncul, yaitu angka atau gambar. Jika kita melihat pertandingan sepakbola, maka ada tiga kemungkinan hasil pertandingan tersebut, yaitu menang, kalah, atau seri. Total kemungkinan hasil tersebut biasa disebut sebagai sample space (ruang sampel), dan bisa dituliskan sebagai berikut ini (untuk lemparan dadu): S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Memperkirakan probabiltas untuk setiap hasil yang mungkin terjadi tersebut Penetapan probabilitas tersebut harus memenuhi dua persyaratan berikut ini. 1. Probabilitas suatu titik sampel harus berada diantara 0 dan 1 (inklusif). Dengan kata lain, probabilitas tersebut adalah positif dan sama atau lebih kecil dari satu serta sama atau lebih besar dari 0, seperti tertulis berikut ini. 0 <= P (Ei) <= 1 2. Jumlah keseluruhan dari probabilitas titik sampel tersebut adalah satu, seperti berikut ini. P(E1) + P(E2) + .......... + P(En) = 1

Penetapan probabilitas untuk titik sampel bisa dilakukan dengan menggunakan metode: (1) klasikal, (2) frekuensi relatif, dan (3) subyektif

Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas mempunyai banyak manfaat dalam statistik. Jika kita mengetahui distribusi probabilitas, maka kita bisa menghitung probabilitas hanya dengan menggunakan distribusi probabilitas tersebut. Sebagai contoh, jika kita yakin distribusi probabilitas adalah berbentuk distribusi normal dengan standar deviasi dan rata-rata tertentu, maka kita bisa melakukan banyak hal. Sebagai contoh, kita bisa menghitung berapa probabilitas memperoleh angka atau nilai tertentu, hanya dengan menggunakan standar deviasi dan nilai rata-rata distrbusi tersebut.

Distribusi probabilitas menjelaskan bagaimana sebaran probabilitas untuk variabel random tertentu. Untuk variabel random x, distrbibusi probabilitas disebut sebagai fungsi probabilitas (probability function), dituliskan sebagai f(x). Fungsi probabilitas tersebut menentukan probabilitas untuk setiap nilai dari variabel random. Sebagai contoh, jika kita melempar koin satu kali, variabel random yang muncul adalah kejadian munculnya angka dan munculnya gambar. Fungsi probabilitas bisa dipakai untuk menentukan probabilitas masing-masing kejadian tersebut, yaitu 0,5.

Variabel Random Erat kaitannya dengan distribusi adalah variabel random. Variabel random bisa didefinisikan sebagai gambaran yang bersifat numerik dari hasil sebuah eksperimen. Sebagai contoh, misal kita melempar dadu dua kali, kejadian munculnya angka empat dalam dua kali lemparan tersebut merupakan variabel random. Contoh lain, misal kita mengikuti ujian, kejadian kita lulus dalam ujian tersebut merupakan variabel random. Variabel random bisa dibedakan menjadi variabel random diskrit dan variabel random kontinyu. Variabel random diskrit berbentuk angka yang terbatas (finite), seperti 0,1,2, atau 3. Variabel random kontinyu berbentu angka yang tidak terbatas (kontinyu), misal gelas terisi air 0,25, atau 0,5nya.

Fungsi Probabilitas Diskrit Seragam (Discrete Uniform probability function) Fungsi probabilitas tersebut bisa didefinisikan sebagai berikut ini. f(x) = 1/n dimana n = jumlah kemungkinan hasil Sebagai contoh, dalam persoalan pelemparan dadu, ada enam kemungkinan hasil, yaitu angka 1,2,3,4,5, dan 6. Karena ada enam kemungkinan hasil tersebut, fungsi probabilitas untuk variabel random hasil pelemparan dadu bisa didefinisikan sebagai: f(x) = 1/6, untuk x=1,2,3,4,5,6

Distribusi Probabilitas Binomial Eksperimen binomial mempunyai ciri sebagai berikut ini. Eksperimen terdiri dari sekuen beberapa run yang identik Ada dua kemungkinan hasil untuk setiap run-nya. Probabilitas untuk masing-masing kemungkinan tersebut tidak berubah dari satu run ke run lainnya. Run tersebut independen satu sama lain.

Fungsi probabilitas binomial bisa dituliskan sebagai berikut ini. dimana f(x) = probabilitas sukses x kali dalam n run p = probabilitas sukses untuk satu run

Berapa probabilitas munculnya tiga angka (tiga sukses) dalam tiga kali lemparan koin? Dengan menggunakan formula di atas, probabilitas bisa dihitung sebagai berikut (n=3, x=3, p=0,5). P = 1/8 Nilai yang diharapkan dan varians untuk distribusi probabilitas adalah sebagai berikut. E(x) =  = n.p Varians = 2 = n.p (1 – p) Sebagai contoh, misalkan kita melempar koin tiga kali, berapa nilai angka (sukses) yang diharapkan dan variansnya? E(x) =  = 3 x 0,5 = 1,5 2 = 3 x 0,5 (1 – 0,5) = 0,75

Distribusi Probabilitas Poisson Distribusi Poisson sering digunakan untuk menggambarkan kedatangan sesuatu (misal toko kedatangan pembeli). Distribusi Poisson memiliki karakteristik sebagai berikut ini. Probabilitas kemunculan sama untuk dua interval waktu yang sama panjangnya Kemunculan atau ketidakmunculan dalam suatu interval waktu tidak tergantung dari kemunculan atau ketidakmunculan interval lainnya.

Distribusi Probabilitas Poisson x e- f(x) = ----------------- x! Dimana f(x) = probabilitas x kali pemunculan dalam interval tertentu  = nilai yang diharapkan atau rata-rata pemunculan dalam interval tertentu e = 2,71828

Misal, pelanggan yang datang di suatu toko rata-rata adalah 10 orang perhari. Berapa probabilitas besok ada 5,10, dan 15 pembeli datang di toko tersebut? 105 e-10 f(x=5) = ----------------- = 0,0378 5! Probabilitas besok ada 5 orang datang adalah 0,0378 Dengan cara yang sama, probabilitas besok ada 10 dan 15 orang datang adalah 0,125 dan 0,0347 Berapa probabilitas yang datang maksimal 2 orang?

Distribusi Probabilitas Seragam (Uniform) - Kontinyu Misalkan seseorang melemparkan bola. Bola tersebut bisa jatuh lima sampai lima belas meter jaraknya dari tempat dia berdiri. Berapa probabilitas bola tersebut jatuh di wilayah 6-7 meter dari tempatnya berdiri?

Bagan 3. Distribusi Probabilitas Seragam f(x) 1/10 Wilayah segi empat 5 10 12 15 jarak (meter)

Wilayah segi empat Bagan 3. Distribusi Probabilitas Seragam f(x) 1/10 5 10 12 15 jarak (meter)