DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL MULTINOMIAL Diskrit

Distribusi Probabilitas Adalah sebuah susunan distribusi yang mempermudah mengetahui probabilitas sebuah peristiwa Merupakan hasil dari setiap peluang peristiwa

Variabel Acak/Random Adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang dapat didefinisikan dalam suatu ruang sampel Misal: pelemparan sebuah dadu sebanyak 6 kali, maka muncul angka 1 sebanyak 0,1,2,3,4,5, atau 6 kali merupakan kesempatan

Macam Variabel Acak/Random Variabel acak diskrit Variabel random yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat & asli, tidak berbentuk pecahan Contoh: - Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dalam pelemparan sebuah koin (uang logam) - Jumlah anak dalam keluarga

Macam Variabel Acak/Random Variabel random kontinu Variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai2 pada suatu interval tertentu Nilainya dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan Contoh: Pada label kurva baja tertulis diameter 2 ± 0,0005 mm. Tentukan nilai dari variabel random yang menunjukkan diameter kawat tersebut.  diameter tidak boleh kurang dari 2 - 0,0005 = 1,9995 mm dan tidak boleh lebih dari 2 + 0,0005 = 2,0005 mm, sehingga daerah hasil variabel random X adalah Rx = {X : 1,9995 ≤ x ≤ 2,0005; x adalah bilangan real}

usaha SUKSES GAGAL Distribusi Binomial suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Percobaan terdiri dari beberapa usaha usaha SUKSES GAGAL tiap-tiap ulangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya.  Proses ini disebut proses Bernoulli.

Proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut: Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori, sukses atau gagal Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu usaha ke usaha berikutnya. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

Sisi gambar Sisi angka perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali Dua macam kartu yang diambil berturut-turut dengan label ; merah : “berhasil” hitam : “gagal” berhasil gagal Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama  Yaitu 0,5

Percobaan Binomial Banyaknya X yang sukses dalam n-usaha Bernoulli disebut “perubah acak binomial”, dan distribusi dari perubah acak ini disebut “distribusi Binomial”. Jika p menyatakan probabilitas kesuksesan dalam suatu usaha, maka distribusi perubah acak X ini dinyatakan dengan b(x;n,p). Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n) Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat. Selanjutnya menentukan rumus yang memberikan probabilitas x sukses dalam n-usaha suatu pecobaan binomial b (x;n,p)

Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu. Tiap kesuksesan dengan probabilitas p dan tiap kegagalan dengan probabilitas q=1-p. Banyaknya cara untuk memisahkan n-hasil menjadi dua kelompok, sehingga x hasil ada pada kelompok pertama dan sisanya n-x pada kelompok kedua. Karena pembagian tersebut saling terpisah (bebas) maka probabilitasnya adalah

Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan kesuksesan dengan probabilitas p dan kegagalan dengan probabilitas q=1-p, maka distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu banyaknya kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah

Jawab: Misal tiap pengujian saling bebas Contoh Suatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu dengan probabilitas 0.75. Hitung probabilitas bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak. Jawab: Misal tiap pengujian saling bebas 2 Catatan:

Contoh: 1. Peluang cacat dan baik dari hasil produksi suatu perusahaan yang hampir bangkrut adalah 50%. Apabila perusahaan itu memproduksi 3 barang, maka akan diperoleh ruang sampel sbb: S = {bbb, bbc, bcb, cbb, bcc, cbc, ccb, ccc} b = barang baik c = barang cacat Misal x adalah banyaknya barang baik dari 3 barang yang diproduksi, maka nilai x adalah: sampel bbb bbc bcb cbb bcc cbc ccb ccc x 3 2 1

x 3 2 1 Probabilitas nilai x, yaitu: sampel bbb bbc bcb cbb bcc cbc ccb ccc x 3 2 1 Probabilitas nilai x, yaitu: X = 0, nilai probabilitasnya = p(x = 0) = 1/8 X = 1, nilai probabilitasnya = p(x = 1) = 3/8 X = 2, nilai probabilitasnya = p(x = 2) = 3/8 X = 3, nilai probabilitasnya = p(x = 3) = 1/8 Kasus di atas dapat diselesaikan dengan distribusi binomial Dengan: p = ½, q = ½ x = banyaknya barang yang baik n = 3 Dengan x = 0,1,2,3

Jika peristiwa A adalah memproduksi satu barang cacat, maka A mempunyai ruang sampel : S = { bbc, bcb, cbb}  p(A) = 3/8 Dengan distribusi binomial x = 2  1 barang cacat, yang tidak cacat (x) = 2 Jika peristiwa B adalah memproduksi dua barang baik, maka B mempunyai ruang sampel : S = { bbc, bcb, cbb}  p(B) = 3/8 Dengan distribusi binomial x = 2  2 barang baik

Contoh 2. Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang: a). sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh b). ada 3 sampai 8 orang yang sembuh c). tepat 5 orang yang sembuh Jawab: Mis: X = menyatakan banyaknya orang yang sembuh Diket : p = 0.4 n = 15 a). Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338

b) Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yang sembuh = 0.8779 c) Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859  

3.

P(X ≥ 1 │n = 5, p = 0,15)

Distribusi Binomial 60% dari produk yang dihasilkan adalah sempurna. Sebuah sample random sebanyak 15 diambil. Berapa probabilitas bahwa paling banyak ada tiga produk yang sempurna?

Distribusi Multinomial Distribusi probabilitas binomial digunakan untuk sejumlah sukses dari n percobaan yang independen, dimana seluruh hasil (outcomes) dikategorikan ke dalam dua kelompok (sukses dan gagal). Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan ke dalam lebih dari dua kelompok. Fungsi distribusi probabilitas multinomial:

Distribusi Multinomial Berdasarkan laporan sebuah penelitian tahun 1995, diantara produk mikroprosesor pentium generasi pertama diketahui terdapat cacat yang mengakibatkan kesalahan dalam operasi aritmatika. Setiap mikroprosesor dapat dikategorikan sebagai baik, rusak dan cacat (dapat digunakan dengan kemungkinan muncul kesalahan operasi aritmatika). Diketahui bahwa 70% mirkoprosesor dikategorikan baik, 25% cacat dan 5% rusak. Jika sebuah sample random berukuran 20 diambil, berapa probabilitas ditemukan 15 mikroprosesor baik, 3 cacat dan 2 rusak?

Dengan menggunakan informasi pada contoh 3 halaman 18, tentukan: Probabilitas satu kurang puas, dua puas dan dua sangat puas???