BAB 1 Vektor

Sub Pokok Bahasan Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan Penjumlahan Vektor secara Analitis Perkalian Skalar Perkalian Vektor

Sasaran Pembelajaran Mahasiswa mampu menentukan besar dan arah sebuah vector Mahasiswa mampu menyelesaikan operasi-operasi vector, seperti operasi jumlah, operasi titik, operasi silang dua buah vektor

Definisi Vektor Besaran Vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variable, yaitu BESAR dan ARAH. Contoh besaran vector adalah perpindahan. Sebuah besaran vector dapat dinyatakan oleh huruf dicetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal 𝐴 ). Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor 𝑅 a b 𝑅

Penjumlahan Vektor 𝑅 𝑆 𝑇 Penjumlahan vector 𝑅 yang menyatakan perpindahan a ke b dan vector 𝑆 yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vector 𝑇 yang menyatakan perpindahan a ke c. Cara menjumlahkan dua buah vector dengan mempertemukan ujung vector pertama, vector 𝑅 , dengan pangkal vector kedua, vector 𝑆 . Maka resultan vektornya, vector 𝑇 , adalah menghubungkan pangkal vector pertama dan ujung vector kedua. b 𝑅 𝑆 𝑇 𝑇 = 𝑅 + 𝑆 c a

Besar Vektor Resultan Jika besar vector 𝑅 dinyatakan oleh R dan besar vector 𝑆 dinyatakan oleh S, maka besar vector 𝑇 sama dengan : T= 𝑅 2 + 𝑆 2 −2𝑅𝑆 cos 𝜃 (1.1) Sudut 𝜃 menyatakan sudut yang dibentuk antara vector 𝑅 dan vector 𝑆 . 𝑅 𝑆 𝑇 θ 𝑇 = 𝑅 + 𝑆

Pengurangan Vektor Untuk pengurangan vector, missal 𝐴 – 𝐵 dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari 𝐴 + (- 𝐵 ). Vektor - 𝐵 atau negatif dari vektor 𝐵 adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor 𝐵 tetapi arahnya berlawanan. 𝐶 = 𝐴 – 𝐵 – 𝐵 𝐵 𝐴 𝐶

Contoh Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km. Selanjutnya bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan besar perpindahan mobil tersebut ! N E U 20 km 40 km B S 10 km

Jawab : Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor 𝐴 , perpindahan kedua dinyatakan vector 𝐵 , dan perpindahan ketiga dinyatakan vector 𝐶 , maka perpindahan total dinyatakan vector 𝐷 . Panjang vector 𝐷 adalah : |D| = 40 2 + 10 2 = 10 17 m 40 km 10 km 20 km 𝐵 𝐷 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 𝐶

Vektor Satuan Vektor satuan didefenisikan sebagai : r = 𝑅 𝑅 (1.2) Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R. Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan. Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif

Penulisan Vektor secara Analitis vektor dalam dua dimensi Vektor 𝑅 dinyatakan oleh 𝑅 = Rxi + Ryj + Rzk Besar vector 𝑅 adalah 𝑅 = 𝑅 𝑥 2 + 𝑅 𝑦 2 + 𝑅 𝑧 2 Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat. R Ry Rz Rx

Contoh Sebuah vector perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X Panjang vector Jawab : vector perpindahan : R = (Xujung – Xpangkal)i + (Yujung –Ypangkal)j = (-2-2)i + (5-2)j = -4i + 3j (2,2) (-2,5) x y pangkal ujung  Rx Ry

Sudut yang dibentuk : Besar vektor 𝑅 y (-2,5) Ry (2,2)  x Rx ujung pangkal ujung  Rx Ry

Penjumlahan Vektor secara Analitis Jika diketahui : vektor 𝐴 = XAi + YAj dan vektor 𝐵 = XBi + YBj, maka penjumlahan vektor 𝐴 + 𝐵 = (XA + XB)i + (YA + YB)j Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku: 𝑅 = (X0 +…+Xi +… +Xn)i + (Y0 +…+Yi +… +Yn)j (1.3) xA + xB 𝐴 + 𝐵 𝐴 𝐵 yA + yB xA xB yA yB 𝐴 𝐵

Contoh Diketahui dua buah vektor. 𝐴 = 3i + 2j 𝐵 = 2i  4j Tentukan : a. 𝐴 + 𝐵 dan  𝐴 + 𝐵  b. 𝐴 - 𝐵 dan  𝐴 - 𝐵  Jawab : a. 𝐴 + 𝐵 = 3i + 2j + 2i  4j = 5i  2j  𝐴 + 𝐵  = 5 2 + −2 2 = 29 b. 𝐴 - 𝐵 = 3i + 2j  (2i  4j) = i + 6j  𝐴 - 𝐵  = 1 2 +62 = 37

Perkalian Skalar Perkalian scalar atau sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran scalar dimana berlaku : 𝐴 . 𝐵 = AB cos  (1.4) Jika diketahui 𝐴 = ax i + ay j + az k dan 𝐵 = bx i + by j + bz k, maka : 𝐴 . 𝐵 = axbx + ayby + azbz (1.5) Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain. Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah: i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0 𝐵  𝐴

Contoh Diketahui dua buah vektor, 𝐴 = 3i + 4j dan 𝐵 = 4i  2j.  Diketahui dua buah vektor, 𝐴 = 3i + 4j dan 𝐵 = 4i  2j. Tentukan sudut antara vektor 𝐴 dan 𝐵 ! Jawab : Untuk menentukan sudut antara vektor 𝐴 dan 𝐵 dapat menggunakan persamaan (1.4). cos 𝜃 = 𝐴 ∙ 𝐵 𝐴𝐵 𝐴 ∙ 𝐵 = (3i + 4j) . (4i  2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4 Besar vector 𝐴 = 32+42 =5 Besar vector 𝐵 = 42+(−2)2 = 20 Cos 𝜃 = 𝐴 ∙ 𝐵 𝐴𝐵 = 4 5 20 = 4 10 5 = 2 125 Dengan demikian 𝜃 = 79.7°

Perkalian Vektor Perkalian vector atau perkalian silang dari dua buah vector menghasilkan besaran vector lain dimana berlaku : 𝐴 x 𝐵 = 𝐶 Besar vector 𝐶 adalah : 𝐶 = AB sin 𝜃 Arah vektor 𝐶 selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk olek vector 𝐴 dan vector 𝐵 . Untuk menentukan arah vector 𝐶 dapat diperhatikan gambar dibawah ini. Diketahui bahwa hasil 𝐴 x 𝐵 tidak sama dengan 𝐵 x 𝐴 . Walaupun besar vector hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan. B A C = A  B C’ = B  A  C = -C’

Perkalian Vektor Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian silang adalah: i  i = j  j = k  k = 0 i  j = k ; j  k = i; k  i = j j  i = -k ; k  j = -i; i  k = -j

Perkalian Vektor Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vector dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vector (misal 𝐴 x 𝐵 ), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vector A ke vector B. ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vector tersebut.

Contoh Diketahui dua buah vektor. 𝐴 = 3i + 4j dan 𝐵 = 4i  2j + k Tentukan : 𝐴 x 𝐵 Buktikan 𝐵 x 𝐴 = - 𝐴  𝐵 Jawab : 𝐴 x 𝐵 = (3i + 4j)  (4i  2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(- 2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k 𝐵 x 𝐴 = (4i  2j + k)  (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - 𝐴  𝐵 (terbukti)

Soal Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor 𝐴 = i + 2 j – k dan vektor 𝐵 = 3 i – 4 k ! Tentukan panjang proyeksi dari vector 𝐴 = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor 𝐵 = i + 3 j – 4 k ! Diberikan tiga buah vektor : 𝐴 = 1 i + 2 j – k 𝐵 = 4 i + 2 j + 3 k 𝐶 = 2 j – 3 k Tentukan : a. 𝐴 . ( 𝐵  𝐶 ) b. 𝐴 . ( 𝐵 + 𝐶 ) c. 𝐴  ( 𝐵 + 𝐶 ) Buktikan vektor 𝑅 = 3 i + 2 j - 4 k dan 𝑆 = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus !

Solusi 1. Menurut persamaan (1.5) 𝐴 . 𝐵 = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor 𝐴 : Besar vektor 𝐵 : Nilai sudut antara 𝐴 dan 𝐵 ditentukan oleh : Dengan demikian  = 55,1o 𝐵 AB  𝐴 2. Panjang AB menyatakan panjang proyeksi 𝐴 terhadap 𝐵 yang besarnya :

Solusi 3. a.) 𝐵  𝐶 = (4i + 2j + 3k)  (2j – 3k) = 8(i  j) – 12(i  k) – 6(j  k) + 6(k  j) = 8k + 12j  12i 𝐴 . ( 𝐵  𝐶 ) = (i + 2j – k) . (-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4 b.) 𝐵 + 𝐶 = 4i + 4j Nilai A . ( 𝐵 + 𝐶 ) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 c.) 𝐴  ( 𝐵 + 𝐶 ) = (i + 2j – k)  (4i + 4j) = i – 4j – 4k 4. Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh : 𝑅 . 𝑆 = RS cos 90o = RS . 0 = 0 𝑅 . 𝑆 = RxSx + RySy + RzSz Jika diketahui 𝑅 = 3 i + 2 j - 4 k dan 𝑆 = 2 i + j + 2 k, maka : 𝑅 . 𝑆 = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0