P. X w A B B v v+w v+w w v v v+w w v -v v-w v v v-w -w w w VEKTOR-VEKTOR DALAM RUANG BERDIMENSI 2 DAN RUANG BERDIMENSI 3 Pengantar Vektor (Geometris) Vektor Geometris Vektor bisa disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3. Arah panah menentukan arah vektor. Panjang panah menentukan besar vektor. A: titik pangkal vektor A B B: titik ujung vektor - Vektor dituliskan dengan huruf kecil tebal (a, k, v, w) Bilangan pada vektor disebut skalar (bilangan real) ditulis dengan huruf kecil miring (a, v, w) A B V = AB - Vektor ekuivalen adalah vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama, walaupun posisinya berbeda. v w v+w Jika v dan w adalah vektor ekuivalen, maka v = w Penjumlahan 2 vektor sebarang v+w w v v v+w=w+v v+w w - Vektor nol adalah vektor yang panjangnya nol. 0 + v = v + 0 = v Vektor negatif adalah vektor tak nol dimana mempunyai arah terbalik dengan vektor positif. v v + (- v) = 0 -v v-w v v v-w -w w w - Jika v adalah vektor tak nol, dan k adalah bilangan real tak nol, maka hasil kali kv adalah vektor yang panjangnya k kali. Panjang v, jika k > 0 arahnya sama dengan arah vektor v k < 0 arahnya berlawanan dengan arah vektor v http://www.mercubuana.ac.id

Jika v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) v + w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3) kv = (kv1, kv2, kv3) contoh: v = (1, -3, 2) dan w = (4, 2, 1), maka v + w = (5, -1, 3) 2v = (2, -6, 4) v – w = v + (-w) = (-3, -5, 1) Jika vektor P1 P2 mempunyai titik pangkal P1 (x1, y1, z1) dan titik ujung P2 (x2, y2, z2), maka P1 P2 = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) P1 P2 OP2 P2 (x2, y2, z2) P1 (x1, y1, z1) OP1 Pergeseran Sumbu  P1 P2 OP2 OP1 O' P pada sistem xy, titik pangkal (k, l) titik ujungnya (x, y), sehingga O' P = (x-k, y-l) y y’ (x, y) P (x’, y’) Pada sistem x’y’, titik pangkalnya (0,0), titik ujungnya (x’, y’), sehingga O' P 0’ x’ O' P = (x’, y’) (k, l) x x’ = x – k, y’ = y – l persamaan pergeseran Norma Suatu Vektor; Aritmetika Vektor Sifat-sifat Operasi Vektor Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3 dan k dan l adalah skalar, maka: a. u + v = v + u e. k (lu) = (kl) u b. (u + v) + w = u + (v + w) f. k (u + v) = ku + kv c. u + 0 = 0 + u = u d. u + (-u) = 0 g. (k + l) u = ku + lu h. 1u = u http://www.mercubuana.ac.id

a. u.v = v.u w2 u w2 u u w2 Q Q w1 a a w1 w1 Q a Rumus Komponen untuk Hasil Kali Titik P (u1, u2, u3) u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3 pada ruang berdimensi 3 u  v u.v = u1v1 + u2v3 pada ruang berdimensi 2 Q (v1, v2, v3) Mencari Sudut Antar Vektor u.v uv Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, maka: cos Vektor-vektor Ortogonal Vektor-vektor yang tegak lurus disebut juga vektor-vektor ortogonal. Dinyatakan bahwa 2 vektor u dan v ortogonal jika dan hanya jika uv = 0 dan biasa ditulis u v. Teorema: a. u.v = v.u b. u.(v + w) = u.v + u.w Proyeksi Ortogonal c. k (u.v) = (ku)v = u (kv) d. u.v > 0, jika v 0 dan v.v = 0, jika v = 0 w2 u w2 u u w2 Q Q w1 a a w1 w1 Q a Pada gambar di atas ditunjukkan bahwa vektor w1 sejajar dengan a, vektor w2 tegak lurus dengan a dan w1 + w2 = w1 + (u – w1) = u Vektor w1 disebut proyeksi ortogonal dari u pada a atau komponen vektor dari u yang sejajar dengan a dan ditulis: proyr u. Vektor w2 disebut komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. w2 = u – proya u Teorema u.a a proy a u .a (komponen vektor u yang sejajar dengan a) 2 u ua 2 u proy a u a (komponen vektor u yang ortogonal terhadap a) http://www.mercubuana.ac.id a