Pertemuan ke 4

II. HIMPUNAN 1. Definisi Kumpulan objek-objek yang berbeda dan mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama. Setiap objek yang terdapat dalam himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen. Anggota-anggota himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal.

2. Penyajian Himpunan 4 cara menyajikan himpunan : Tabulasi atau enumerisasi Simbol-simbol baku Notasi pembentuk himpunan (set builder) Diagram Venn

Tabulasi atau Enumerasi Metode tabulasi adalah cara menulis atau menyatakan himpunan dengan jalan menuliskan semua anggotanya. Jika A adalah himpunan bilangan 1,2,3,4 maka himpunan tersebut ditulis dalam bentuk A = { 1, 2, 3, 4}

Contoh 2.3 : Sah-sah saja elemen-elemen di dalam himpunan tidak mempunyai hubungan satu sama lain, asalkan berbeda. Sebagai contoh, {kucing, a, Amir, 10, paku} adalah himpunan yang terdiri dari lima elemen, yaitu kucing, a, Amir, 10, paku Contoh 2.4 :

Contoh 2.6 : Himpunan bilangan bulat positif ditulis sebagai Sedangkan himpunan bilangan bulat sebagai

Untuk menyatakan keanggotaan tersebut digunakan notasi : Untuk menyatakan x merupakan anggota himpunan A Untuk menyatakan x bukan merupakan anggota himpunan A Contoh 2.7 : Maka 

Simbol-simbol Baku Simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan antara lain : P = himpunan bilangan bulat positif Z = himpunan bilangan bulat. Q = himpunan bilangan rasional. R = himpunan bilangan riil.

Kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan yang semuanya merupakan bagian dari sebuah himpunan yang universal. Himpunan yang universal ini disebut semesta dan disimbolkan dengan U Misalnya : A adalah himpunan bagian dari U, dengan

Notasi Pembentuk Himpunan Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya. Notasi:{x | syarat yang harus dipenuhi x } Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan : Bagian di kiri tanda ‘ | ’ melambangkan elemen himpunan Tanda ‘ | ’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga Bagian di kanan tanda ‘ | ’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan Setiap tanda ‘ , ’ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan

Contoh 2.9 : A adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5, dinyatakan sebagai A = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} Atau dalam notasi yang lebih ringkas : A = { x | x  P, x < 5 } Yang sama dengan A = { 1, 2, 3, 4 }

Diagram Venn Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Diagram Venn terdiri dari himpunan atau himpunan-himpunan yang dilambangkan dengan lingkaran dan himpunan semesta dilambangkan dengan persegi panjang.

Contoh 2.10: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {1, 2, 3, 5 } B = {2, 5, 6, 8 } U atau S mempunyai anggota bilangan asli < 10 U A B 7 1 8 2 4 5 3 6

3. Kardinalitas Kardinalitas menunjukan jumlah anggota suatu himpunan. Jika terdapat himpunan A, maka kardinal A ditulis dengan lambang n (A) atau |A| Contoh : A={x | x bilangan prima, x  10} A={2, 3, 5, 7 } maka |A| = 4

4. Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0. Himpunan kosong dilambangkan dengan  atau { }. Contoh : P= {orang Indonesia yang pernah ke bulan}, maka |P| = 0

5. Himpunan Bagian (subset) Sebuah himpunan dapat merupakan bagian dari himpunan lain. Anggota yang terkandung pada himpunan tersebut juga terkandung pada himpunan yang lain. Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Notasi : A  B

Diagram Venn Himpunan Bagian 2 3 4 5

Suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. Jika terdapat suatu himpunan A, maka berlaku A  A. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan. Jika terdapat himpunan kosong dan himpunan A, maka berlaku   A. Jika A  B dan B  C, maka A  C

6. Himpunan yang Sama Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika A adalah himpunan bagian B dan B merupakan himpunan bagian A. Dengan menggunakan lambang matematika. A = B  A  B dan B  A

6. Himpunan yang Sama Contoh 2.17 : Jika Maka A = B Dan Karena urutan elemen di dalam himpunan tidak penting

7. Himpunan yang Ekivalen Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal A = kardinal B. Dengan menggunakan lambang matematika, A  B  A = B Contoh 2.18 :

8. Himpunan Saling Lepas Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak mempunyai anggota yang sama. Dalam bentuk lambang dapat ditulis : A // B.

Diagram Venn Himpunan Saling Lepas

9. Himpunan Kuasa Himpunan kuasa (power set) adalah suatu himpunan A yang anggota-anggotanya merupakan suatu himpunan bagian A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri. Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan : P (A) atau 2A

Contoh 2.20 : Jika Maka

10. Operasi Thdp Himpunan Irisan (intersection) Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang termasuk di dalam A dan di dalam B. Irisan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B.

Diagram Venn Operasi Irisan

Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B. Gabungan (union) Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B. Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B. A  B ={X:x  A, x  B, atau x  AB }

Diagram Venn Operasi Gabungan

Komplemen (complement) Himpunan komplemen adalah himpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan. Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya dilambangkan A’ atau Ā

Diagram Venn Komplemen U A

Selisih (difference) Selisih himpunan A dan B adalah semua unsur A yang tidak termasuk di dalam B. Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A – B atau A  B’

Diagram Venn Operasi Selisih

Beda Setangkup (symmetric difference) Beda setangkup himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja atau B saja.

Diagram Venn Beda Setangkup

Perkalian Kartesian Jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalian kartesian A x B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan pasangan terurut dengan komponen pertama berasal dari himpunan A dan komponen kedua berasal dari himpunan B. A x B ={(a,b) | a  A dan b  B }

Contoh 2.29 : Perkalian Kartesian Misal : C = { 1, 2, 3 } D = { a, b } Maka : C x D = {(1,a) ,(1,b) ,(2,a) ,(2,b), (3,a) , (3,b)} Pasangan berurut (a,b) berbeda dengan (b,a), dengan kata lain (a,b)  (b,a)

Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B  B x A, dengan syarat A atau B tidak kosong Jika A = Ø atau B = Ø, maka A x B = B x A = Ø Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka : |A x B | = | A | . | B |

11. Perampatan Operasi Himpunan Operasi himpunan dapat dilakukan thdp 2 atau lebih himpunan.

Contoh 2.32 : Misalkan : Maka,

Pertemuan 5

12. Hukum-hukum Aljabar Himpunan No Hukum 1 Identitas (i) (ii) 2 Dominasi (i) (ii) 3 Komplemen (i) (ii) 4 Idempoten (i) (ii)

5 Involusi 6 Penyerapan 7 Komutatif 8 Asosiatif

9 Distributif 10 De Morgen Hukum 0/1 Kompl. 2 11  

13. Prinsip Dualitas 1 Identitas : Dualnya : 2 Dominasi : 3 Komplemen : 4 Idempoten :

5 Penyerapan : Dualnya : 6 Komutatif : 7 Asosiatif : 8 Distributif : 9 De Morgan : 10 Hukum 0/1

14. Prinsip Inklusi - Eksklusi AB = A + B - A  B Menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup

Contoh 2.35 : Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5? Penyelesaian : A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3. B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5. A  B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK-Kelipatan Persekutuan Terkecil-dari 3 dan 5, yaitu 15) Yang ditanyakan adalah AB.

AB = A + B - A  B = 33 + 20 – 6 = 47 Terlebih dahulu kita harus menghitung Untuk mendapatkan AB = A + B - A  B = 33 + 20 – 6 = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5

Contoh 2.36 : Prinsip inklusi-eksklusi dapat dirampatkan untuk operasi lebih dari dua buah himpunan ABC = A + B + C - A  B - A  C - B  C +  ABC  Contoh 2.36 : I = himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Inggris. P= himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Perancis. J = himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Jerman. maka I = 1232, P = 879, J = 114 I  P = 103, I  J = 23, P  J = 14, dan IPJ = 2092

Penyulihan nilai-nilai di atas pada persamaan IPJ = I + P + J - I  P - I  J - P  J +  IPJ  Memberikan 2092 = 1232 + 879 +114 – 103 -23 -14 +  IPJ  Sehingga  IPJ  = 7 Jadi, ada 7 orang mhs yang mengambil ketiga buah kuliah Bahasa Inggris, Perancis dan Jerman.

Sifat-sifat Operasi Himpunan dan prinsip dualitas

15. Partisi Contoh 2.37 : Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2,…dari A sedemikian sehingga : a. b. Himpunan bagian Ai saling lepas, yaitu Contoh 2.37 : Misalkan Adalah partisi dari A

16. Pembuktian Proposisi Himpunan Pernyataan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan : Diagram Venn Tabel keanggotaan Sifat aljabar/operasi himpunan Definisi

Pembuktian dengan menggunakan Diagram Venn Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan dengan menggunakan diagram Venn : Gambarkan diagram Venn untuk ruas kiri dan ruas kanan kesamaan. Jika ternyata kedua gambar dari diagram Venn tersebut sama maka kesamaan tersebut terbukti benar.

Contoh 2.38 : Keduanya memberikan area arsiran yang sama A B A B C C

B B A A C C

Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan. Contoh 2.39 : A B C BC A(BC) AB AC (AB)(A C) 1

p q p  q T F p q p  q T F Konjungsi Disjungsi

Pembuktian dengan menggunakan sifat aljabar/operasi himpunan. Contoh 2.40 : Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa Penyelesaian :  Distributif  Komplemen  Identitas

Pembuktian dengan menggunakan definisi. Membuktikan proposisi himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi proposisi yang berbentuk implikasi. Biasanya terdapat notasi himpunan bagian Contoh 2.47 : Misalkan A dan B himpunan. Jika dan maka Buktikan !

17. Himpunan Ganda & Operasinya Pada himpunan ganda, terdapat satu anggota yang muncul lebih dari satu kali. Jumlah kemunculan anggota dari suatu himpunan ganda disebut multiplisitas. Contoh : Q = { 1,1,2,2,2,4,7,8,8,9} Multiplisitas 2 adalah 3 Multiplisitas 8 adalah 2

Operasi Gabungan Operasi gabungan pada multiset akan menghasilkan multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas maksimum anggota-anggota pada himpunan ganda. Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3} T = { 1,1,1,2,2,3,3,4} ST = { 1,1,1,2,2,2,3,3,4}

Operasi Irisan Operasi irisan pada multiset akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas minimum anggota-anggota pada himpunan ganda. Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3} T = { 1,1,1,2,2,3,3,4} ST = { 1,1,2,2,3}

Operasi Selisih Misal S dan T adalah multiset. Operasi selisih S – T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya ditentukan dengan cara : Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada S maka S – T multiplisitas anggota yang ada pada S dikurangi multiplisitas pada T, jika selisihnya positif Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada T, maka multiplisitas anggota yang sama tersebut sama dengan 0 ( jika selisihnya nol atau negatif )

Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3} T = { 1,1,1,2,2,3,3,4} S-T = { 2 } T-S = { 1,3,4}

Operasi Jumlah Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3} T = { 1,1,1,2,2,3,3,4} Misal S dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S + T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya merupakan jumlah dari multiplisitas masing-masing anggota yang sama. Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3} T = { 1,1,1,2,2,3,3,4} S+T = { 1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,4}