BAB IV. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT

Diskrit Jumlah bayi lahir berbobot minimal 3 kg Jumlah mahasiswa asli Yogyakarta Jumlah mahasiswa dari luar yogya Jumlah sapi di desa A Banyak tanaman teki di suatu petak

Kontinu Panjang daun Tinggi tanaman Bobot kambing Kadar air Absorbansi senyawa kimia

Jika kita memiliki ruang contoh yang terdiri dua elemen yaitu mahasiswa asli Yogyakarta (A) dan mahasiswa dari luar Yogya (L), dan digambarkan dengan himpunan { A dan L} . Kita lambangkan ruang peluang dengan {p,q}. p= P[A] yaitu peluang bahwa mahasiswa tersebut maasiswa asli Yogyakarta q = P[L] yaitu peluang bahwa mahasiswa tersebut maasiswa dari luar Yogyakarta

Kita dapat menghitung ruang peluang contoh yang terdiri dua mahasiswa sbb: [AA, AL, LL] p² 2pq q²

Bila kita harus mengambil contoh tiga mahasiswa secara saling tidak gayut, ruang peluang contoh yang terdiri tiga mahasiswa adalah sbb: [AAA, AAL, ALL, LLL] [ p³ 3p²q 3pq² q³]

Perhatikan bahwa : Banyak Contoh Ruang Sampel 1 p + q 2 p² + 2 pq + q² 3 p³ + 3p²q + 3pq² + q³

Segitiga Pascal K 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1

Segitiga Pascal memberi koefisien binomial yaitu banyak hasil yang mungkin dan berbagai kombinasi kejadian. Untuk k = 1 koefisiennya adalah: 1 , 1 Untuk k = 2 koefisiennya adalah: 1, 2, 1 Untuk k = 3 koefisiennya adalah: 1 , 3, 3, 1 dan seterusnya

Andaikan kita mempunyai suatu populasi serangga tepat diantaranya 30% terkena infeksi virus tertentu. Dan diambil contoh k = 5 serangga dan meneliti tiap serangga secara terpisah ada tidaknya virus, maka: p = 0,3 yaitu proporsi serangga yang terinfeksi q = 0,7 yaitu proporsi serangga tidak terinfeksi

Proporsi yang diharapkan akan berupa pemekaran binomial : (p + q)⁵ = (0,3 + 0,7)⁵ (0,3)⁵ + 5(0,3)⁴(0,7) + 10(0,3)³(0,7)² + (10)(0,3)² (0,7)³ + 5(0,3)(0,7)⁴ +(0,7)⁵

Artinya dari 5 serangga contoh, Harapan frekuensi serangga 5 terinfeksi : (0,3)⁵ = …… 4 terinfeksi : 5(0,3)⁴(0,7) = …… 3 terinfeksi: ……………. 2 terinfeksi …………… 1 terinfeksi …………… 0 terinfeksi : (0,7)⁵

A. Variabel random diskrit. Variabel random diskrit X adalah : Cara memberi nilai angka pada setiap elemen ruang sampel X(a) : Ukuran karakteristik tertentu dari setiap elemen a pada suatu ruang sampel. Distribusi Probabilitas variabel random diskrit. Tabel, grafik atau formula/rumus yang menunjukkan nilai probabilitas p(X) yang berasosiasi dengan setiap nilai yang mungkin dari X. Contoh 1: Satu buah koin yang seimbang dilempar 2 kali, jika X adalah yang muncul angka, carilah distribusi probabilitas dari X

Kejadian Sederhana (Ei) Jumlah angka yang muncul Jawab : Berdasarkan pada tabel tersebut : P(X=1) = P(E1) + P(E3) = ¼ + ¼ = ½ P(X=0) = P(E4) = ¼ P(X=2) = P(E2) = ¼ Kejadian Sederhana (Ei) Deskripsi Jumlah angka yang muncul P(Ei) E1 A G 1 ¼ E2 A A 2 E3 G A E4 G G

Distribusi Probabilitas Diskrit untuk X jumlah angka yang muncul 0≤ p(X) ≤ 1 ∑ p(X) = 1 Untuk semua X B. Harga harapan/Expected Value/Mean Jika x adalah variabel random diskrit dengan probabilitas p(x) maka mean atau expected value dari x adalah : µ = E(x) = ∑ x p(x) untuk semua x. Nilai X P(X) 1/4 1 1/2 2 ∑ P(X) = 1

C. Variansi dan standard deviasi Jika x adalah variabel random diskrit dengan probabilitas p(x) maka variansi dari x adalah : σ2 = E[(x-µ)2 ] Dan standar deviasi dari x adalah akar kuadrat dari variansinya : σ = √σ2 Contoh dari soal 1. µ = E(x) = ∑ x p(x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = 1 = (0-1)2 (¼) + (1-1)2 (½)+ (2-1)2 (¼) = ½ σ = √σ2 = √ ½ = 0,707

D. Bernoulii trials Beberapa kejadian dalam probabilitas diskrit menganut kejadian bernoulli yaitu kejadian dengan karakteristik: Setiap trials menghasilkan satu dari dua hasil yang mungkin yang dinamakan sukses (S) dan gagal (T) Setiap trial, probabilitas sukses p(S) adalah sama dan ditulis p=p(S). Probabilitas tidak sukses atau gagal adalah p(T)=1-p(S) dan ditulis q maka p+q=1 Trial-trial itu independen satu dengan yang lainnya, probabilitas akan sukses suatu trial tidak berubah meskipun diperoleh informasi tentang trial lain

Contoh kejadian Bernoulii : Pelemparan uang logam yang seimbang : p=q=1/2 Pengambilan sampel dengan pengembalian Pengambilan sampel tanpa pengembalian tetapi jumlah sampel sangat kecil ( < 5%) dibanding jumlah populasi. Pengambilan sampel hasil produksi sehingga dapat dikategorikan hasilnya sebagai baik atau rusak. Contoh 2 : Probabilitas seorang ibu akan melahirkan laki-laki adalah 0,5 maka berapakah probabilitas bahwa anak yang ketiga laki-laki ? P(LLL U LPL U PLL U PPL) = P(LLL) + P(LPL) + P(PLL)+P( PPL) = [P(LL) + P(LP) + P(PL)+P( PP)]P(L) = 1. P(L) = 1. 0,5 = 0,5.

Distribusi Probabilitas Diskrit Binomial Karakteristik : Ekperimen terdiri dari n ualngan kejadian bernoulii yang identik. Setiap trial mempunyai dua kemungkinan hasil S untuk Sukses dan T untuk gagal P(S) = p dan P(T)=q tetap untuk setiap trial dengan p+q=1 Tiap trial independen Variabel random binomial x adalah jumlah sukses dalam n trial.

Distribusi Probabilitas untuk variabel random Binomial adalah : Dengan x = 0,1,2,3… n p = probabilitas sukses q = 1-p n = jumlah trial x = jumlah sukses dalam n trial

Untuk n besar  perhitungan rumit sudah ada dalam tabel : Untuk peristiwa lainnya ditranfer dalam bentuk : P(x=a)=P(x≤a) – P(x≤(a-1)) P(a≤x≤b) = P(x≤b) – P[(x≤(a-1)] P(x>c) = 1 – P(x≤c).

II. Distribusi Probabilitas Hipergeometrik Karakteristik : Sampel random sebanyak n elemen diambil dengan tanpa pengembalian dari populasi N elemen dimana : a elemen dikatergorikan sukses N – a elemen dikategorikan sebagai gagal Ukuran sampel n sangat besar relatif terhadap N elemen dalam populasi yaitu jika n/N>0,05 Variabel random hipergeometrik x adalah jumlah sukses dalam n elemen Distribusi probabilitas hipergeometrik : X = 0,1,2,3…a untuk a<n X = 0,1,2,3…n untuk n<a

III. Distribusi Poisson Karakteristik : Percobaan terdiri dari sejumlah bagian kejadian yang terjadi dalam satu satuan waktu atau luasan atau volume tertentu atau satuan lainnya seperti jarak, berat dan lain-lain. Probabilitas kejadian dalam unit waktu atau luasan atau volume tertentu adalah sama Jumlah kejadian dalam unit waktu atau luasan atau volume tertentu adalah independen. Rumus : X= 0,1,2,3….. λ= rata-rata jumlah kejadian dalam unit satuan tertentu e= 2,718

Mean dan variansi dari distribusi poisson µ = λ dan σ2=λ=n p Tabel Probabilitas Poisson komulatif Distribusi probabilitas binomial jika n besar dan p sangat kecil (mendekati nol) maka dapat dikerjakan dengan pendekatan poisson.

Perbandingan karakteristik distribusi Probabilitas diskret Binomial Hipergeometrik Poisson Percobaan Terdiri dari n trial Jumlah trial n tidak terlalu besar Sampel random sebanyak n diambil dari populasi N Banyak hasil percobaan yang terjadi selama satu satuan tertentu (Waktu, luasan atau volume). Tiap ulangan trial selalu menghasilkan 2 kemungkinan yaitu sukses atau gagal Pengambilan sampel tanpa pengembalian Jika n besar maka p sangat kecil atau mendekati nol. Probabilitas sukses tiap trial adalah sama Probabilitas p cukup besar Sebanyak a elemen dari N dikategorikan sebagai sukses dan (N-a) sebagai gagal Nilai tengah atau rata-rata sama dengan nilai variansinya. Tiap trial independen

Soal latihan 1. Sebuah kotak memuat 20 apel dan terdapat 4 buah yang telah rusak. Jika seorang komsumen membeli 5 buah apel dan mengambil secara random, hitunglah probabilitas : a. Apel yang terambil 2 buah rusak b. Lebih dari 2 apel yang telah rusak. 2. Hasil pengujian pelabelan saus menunjukkan bahwa 20% pelabelan gagal. Jika diambil 4 buah sampel botol secara random, berapakah probabilitas 3 dari 4 botol tersebut tidak berlabel.

3. Hasil pengujian pelabelan kemasan kaleng menunjukkan bahwa 0,05 pelabelan gagal. Jika diambil 40 buah sampel kaleng secara random, berapakah probabilitas : a. Satu buah kaleng tak berlabel b. Tiga atau kurang kaleng yang tidak berlabel.

Soal Latihan 4. Andaikata kita mempunyai suatu populasi serangga, tepat 40% diantaranya terinfeksi oleh virus X. Jika mengambil contoh dengan k= 5 serangga dan meneliti tiap serangga secara terpisah-pisah akan ada tidaknya virus, distribusi yang bagaimana dapat diharapkan apabila peluang setiap serangga pada contoh untuk terinfeksi tidak gayut dengan serangga yang lain ? Dianggap bahwa populasi sangat besar sehingga cara pengambilan contoh dengan pemulihan atau tanpa pemulihan tidak menimbulkan masalah.