MATEMATIKA DASAR LOGIKA MATEMATIKA Oleh: GIAN KIRANA EFRUAN, S.Si., M.Si

PENGANTAR LOGIKA Konsep Logika Apakah logika itu ? Seringkali Logika didefinisikan sebagai ilmu untuk berfikir dan menalar dengan benar (sehingga didapatkan kesimpulan yang absah). Manusia mampu mengembangkan pengetahuan karena mempunyai bahasa dan kemampuan menalar. Untuk dapat menarik konklusi yang tepat, diperlukan kemampuan menalar. Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik konklusi yang tepat dari bukti- bukti yang ada, dan menurut aturan-aturan tertentu. Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements). Pentingnya Belajar Logika Belajar logika (logika simbolik) dapat meningkatkan kemampuan menalar kita, karena dengan belajar logika : a.Kita mengenali dan menggunakan bentuk-bentuk umum tertentu dari cara penarikan konklusi yang absah, dan menghindari kesalahan-kesalahan yang bisa dijumpai. b.Kita dapat memperpanjang rangkaian penalaran itu untuk menyelesaikan problem- problem yang lebih kompleks. 8

PENGERTIAN 1. Logika matematika adalah Ilmu yang mempelajari tentang cara berpikir yang logis/masuk akal 2.Logika matematika adalah ilmu yang digunakan untuk menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan atau penarikan kesimpulan berdasarkan aturan-aturan dasar yang berlaku. Proposisi Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

PERNYATAAN Sebelum membahas tentang pernyataan, akan kita bahas terlebih dahulu apa yang disebut kalimat. Kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa. Kata adalah rangkaian huruf yang mengandung arti. Kalimat berarti rangkaian kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Dalam logika matematika hanya dibicarakan kalimat-kalimat berarti yang menerangkan (kalimat deklaratif/indicative sentences). Contoh : 1.4 kurang dari 5 2.Indonesia terdiri atas 33 propinsi 3.2 adalah bilangan prima yang genap 4.3 adalah bilangan genap 1010

dan tidak akan dibicarakan kalimat-kalimat seperti : 5. Berapa umurmu ? (Kalimat tanya) 6. Bersihkan tempat tidurmu ! (Kalimat perintah) 7. Sejuk benar udara di sini ! (Kalimat ungkapan perasaan) 8. Mudah-mudahan terkabul cita-citamu. (Kalimat pengharapan) Dari contoh-contoh di atas, terlihat bahwa: kalimat 1, 2, dan 3, bernilai benar sedang kalimat 4 bernilai salah. Kalimat 5, 7, dan 8, tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya. Nilai benar artinya ada kesesuaian antara yang dinyatakan oleh kalimat itu dengan keadaan sesungguhnya (realitas yang dinyatakannya), yaitu benar dalam arti matematis.

Pernyataan Definisi : Suatu pernyataan (statement) adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar saja, atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Contoh : 1.4 kurang dari 5 2.Indonesia terdiri atas 33 propinsi 3.2 adalah bilangan prima yang genap 4.3 adalah bilangan genap Benar atau salahnya sebuah pernyataan disebut nilai kebenaran pernyataan itu.

Contoh 1 (Pernyataan yang benar) : a.Jakarta adalah ibu kota negara Republik Indonesia b.Jika x = 4, maka 2x = 8 c.Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan Contoh 2 (Pernyataan yang salah) : a.Udara adalah benda padat b.x – y = y – x; x y 2 c.Setiap bilangan prima adalah ganjil Contoh 3 (Bukan pernyataan) : a.x + 7 = 0 b.x2 + 2x – 15 = 0 c.a + b > 9

8 Contoh. Tentukan mana yang merupakan pernyataan dan mana yang bukan pernyataan! (a)13 adalah bilangan ganjil (pernyataan) (b) Isilah gelas tersebut dengan air! (bukan pernyataan) (c)1 + 1 = 2 (pernyataan) (d)Ada monyet di bulan (pernyataan) (e) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? (bukan pernyataan) (f)x + 3 = 8 (bukan pernyataan) (g)x > 3 (bukan pernyataan) (h) Jumlah hari dalam seminggu adalah 7 hari. (pernyataan)

Pernyataan Tunggal dan Pernyataan Majemuk Suatu kalimat Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana ialah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain sebagai bagiannya. Pernyataan majemuk itu bisa merupakan kalimat baru yang diperoleh dari penggabungan bermacam-macam pernyataan tunggal. Contoh 4 : a.Pernyataan “19 adalah bilangan prima” dapat dilambangkan dengan huruf “p” saja. b.Pernyataan “x2 = 1” dilambangkan “r”, dan sebagainya Pernyataan majemuk: gabungan beberapa pernyataan tunggal. Untuk menggabungkan pernyatan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata hubung atau kata perangkai yang disebut operasi- operasi logika matematika.

Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan Nilai benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai: Dasar Empiris: Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari Contoh: 1. “Ibukota jawa Timur adalah Surabaya”, meupakan pernyataan benar. 2. “Air adalah benda padat”, merupakn pernyataan salah. Dasar Tak Empiris: Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika. Contoh: 1. “Akar persamaan 3x – 1 = 5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar. 2. “Jika x > 1, maka x > 2” merupakan pernyataan salah.

Pernyataan bernilai benar diberi tanda B Pernyataan bernilai salah diberikan nilai kebenaran Ucapan nilai kebenaran dilambangkan dengan “ (huruf Yunani tau = 300). Nilai kebenaran dari suatu pernyataan p ditulis τ(p) jika pernyataan p itu adalah benar maka τ(p) = B atau jika pernyataan p adalah salah maka ditulis τ(p) = S

Contoh: 1.Jika p : “5 adalah bilangan genap”, maka τ(p) = Jika q : “5<9, maka τ (q) = Jika r : “Semua bilangan prima adalah ganjil”, maka τ (r) =.....

Quis Individu Manakah yang merupakan kalimat pernyataan atau bukan pernyataan dan nyatakan nilai kebenaran pernyataanya! a.Gunung kerinci terletak di Jawa Barat b.tokyo ibukota jepang c.Pergilah engkau sekarang d =10 e.6 + a < 8 f.Sekarang kita belajar matematika

g. 2 adalah bilangan prima genap h. 2 + (3+8) = (2 + 3) + 8 i.Danau maninjau terletak di sumatra barat j. Danau tiga warna kelimutu terletak di pulau Flores

Operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk yang kita kenal adalah : 1.Negasi atau ingkaran atau sangkalan, dengan kata penyangkalan “tidaklah benar”. 2.Konjungsi, dengan kata perangkai “dan”. 3.Disjungsi dengan kata perangkai “atau”. 4.Implikasi atau kondisional, dengan kata perangkai “jika … maka …”. 5.Biimplikasi atau bikondisional, dengan kata perangkai “ … jika dan hanya jika …”.

Sistem Lambang Logika Proposisional OperatorArti dalam bahasa sehari- hari NamaLambang Negasi~Tidak, bukan, dsbx Konjungsi^Dan, tetapi, meskipun, walaupun, dsbx DisjungsiᵛAtau Implikasi/kondisi  Jika....maka.... Biimplikasi ......Jika dan hanya jika.....

Operasi-operasi Logika 1. Ingkaran Atau Negasi Suatu Pernyataan Adalah pernyataan yang menyangkal atau mengingkari pernyataan awal Ingkaran suatu pernyatan menyatakan kebalikan dari pernyataan itu sendiri berari nilai kebenarannya adalah terbalik Jika p bernilai benar, maka ~p bernilai salah Jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar. Dari suatu pernyataan p dapat dibentuk “ingkaran p” atau “negasi p”, dilambangkan oleh ~p, dengan cara menambahkan kalimat “tidak benar bahwa” di depan pernyataan p, atau jika mungkin dengan menyisipkan perkataan “tidak” atau “bukan” di dalam pernyataan p.

2. Konjungsi (“dan”) Perhatikan kalimat : “Aku suka sayur dan buah”, maka kalimat itu berarti : 1.“Aku suka sayur” 2.“Aku suka buah” Jika pernyataan semula bernilai benar maka sub pernyataan 1. atau 2. benar. Jika sub pernyataan 1 atau 2 salah maka pernyataan semula bernilai salah, demikian pula jika kedua sub pernyataan itu salah. Contoh : 1. Jika, r: Ima anak pandai, dan s: Ima anak cekatan. maka r ∧ s : Ima anak pandai dan cekatan Pernyataan r ∧ s bernilai benar jika Ima benar-benar anak pandai dan benar-benar anak cekatan.

2. Jika a : Bunga mawar berbau harum (B), dan b : Bunga matahari berwarna biru (S) maka a ∧ b : Bunga mawar berbau harum dan bungan matahari berwarna biru (S) 3. Jika p : < 6 (B), dan q : Sang Saka bendera RI (B) maka p ∧ q : < 6 dan Sang Saka bendera RI (B) Definisi : Suatu konjungsi dari dua pernyataan bernilai benar hanya dalam keadaan kedua komponennya bernilai benar. Berdasarkan definisi di atas, dapat disusun tabel kebenaran untuk konjungsi seperti dibawah : pq p ∧ q BBSSBBSSS BSBSBSBS BSSSBSSS 1616

3. Disjungsi (“atau”) Adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q dengan kata hubung “atau”. Notasinya: p v q Dibaca: p atau q Tabel Kebenaran disjungsi pq p v q BBB BSB SBB SSS

P : Rania makan roti dan minum susu Jika benar Rania sedang makan roti dan minum susu, maka pernyataan diatas bernilai benar. Juga bernilai benar pernyataan tersebut jika ternyata Rania sedang makan roti tapi tidak sedang minum susu. Atau jika ternyata Rania tidak makan roti tapi sedang minum susu, juga bernilai benar. Pernyataan tersebut hanya bernilai salah jika ternyata Rania tidak sedang makan roti dan juga tidak sedang minum susu. Defenisi: p v q (dibaca: disjungsi p dan q), bernilai benar hanya jika sekurang-kurangnya satu pernyataan penyusunnya bernilai benar : DISJUNGSI INKLUSIF (notasinya: V), juga DISJUNGSI EKSKLUSIF (notasinya: ∨ ): TETAPI BERNILAI BENAR HANYA JIKA SALAH SATU PERNYATAAN PENYUSUNNYA BERNILAI BENAR HANYA JIKA

TABEL KEBENARAN DISJUNGSI pqpVq ∨ BBSSBBSS BSBSBSBS BBBSBBBS SBBSSBBS

Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari: 6 adalah bilangan genap atau 13 adalah bilangan prima. Jawab: Misal: p : 6 adalah bilangan genap q : 13 adalah bilanagn prima p bernilai benar dan q bernilai benar sehingga pernyataan 6 adalah bilangan genap atau 13 adalah bilangan prima bernilai benar pqp V q BBB

Implikasi Adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk “jika p, maka q”. Notasinya: p  q Dibaca: Jika p, maka q Tabel kebenaran implikasi: pq p  q BBB BSS SBB SSB Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab dan bagian “maka q” dinamakan kesimpulan atau akibat.

Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut: Jika = 5, maka 5 adalah bilangan prima Jawab: Misal:P : = 5 Q : 5 adalah bilangan prima Jika = 5, maka 5 adalah bilangan prima (B)(B) (B)(B) Implikasi ini bernilai benar karena alasan benar dan kesimpulan benar

26 Dari pernyataan bersyarat p  q (implikasi) dapat dibentuk tiga pernyataan bersyarat lain, yaitu:

27 Contoh. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari: “Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya” Penyelesaian: Konvers: Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil. Invers: Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya Kontraposisi: Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil

Biimplikasi Adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk “p jika dan hanya jika q”. Notasinya: p  q Dibaca: p jika dan hanya jika q Tabel kebenaran biimplikasi: pq p  q BBB BSS SBS SSB

Definisi : Pernyataan bikondisional bernilai benar hanya jika komponen- komponennya bernilai sama. Contoh: 1. Jika p : 2 bilangan genap (B) q : 3 bilangan ganjil (B) maka p ⇔ q : 2 bilangan genap jhj 3 bilangan ganjil (B) 2. Jika r :  5 (B) s : < 8 (S) maka r ⇔ s :  5 jhj < 8 (S) 3. Jika a : Surabaya ada di jawa barat (S) b : 23 = 6 (S) maka a ⇔ b : Surabaya ada di jawa barat jhj 23 = 6 (B) pq p⇔qp⇔q BBSSBBSS BSBSBSBS BSSBBSSB Berdasarkan definisi diatas dapat disusun tabel kebenaran untuk bimplikasi seperti disamping. 2121

Kesimpulan Nilai Kebenaran Operasi Logika 1.Negasi/Ingkaran: Suatu pernyataan yang salah jika p benar dan pernyataan yang benar jika p salah. 2.Konjungsi: Bernilai benar hanya jika kedua pernyataan p dan q bernilai benar. 3.Disjungsi : Bernilai benar hanya jika sekurang-kurangnya satu pernyataan penyusunnya bernilai benar. 4.Implikasi : bernilai salah hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah. 5.Biimplikasi: bernilai benar hanya jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama.

Negasi Suatu Pernyataan Majemuk - Negasi Konjungsi - Negasi Disjungsi - Negasi Implikasi - Negasi Biimplikasi

Negasi Konjungsi Negasi dari pernyataan p q adalah ~p v ~q Perhatikan contoh konjungsi berikut. p : saya suka apel. q : saya tidak suka wortel. p q : saya suka apel dan tidak suka wortel. ~( p q) : saya tidak suka apel tetapi saya suka wortel. ~p v ~q : saya tidak suka apel atau suka wortel p~pq~q p q~(p q ) ~p v ~q BSBSBSS BSSBSBB SBBSSBB SBSBSBB

Negasi Disjungsi Negasi disjungsi dari pernyataan p v q adalah ~p ~q Perhatikan contoh berikut: p : Andi pergi ke supermarket. q : Andi menonton di bioskop. p v q : Andi pergi ke supermarket atau menonton di bioskop. ~(p v q) : Andi tidak pergi ke supermarket atau tidak menonton di bioskop. ~p ~q : Andi tidak pergi ke supermarket dan tidak menonton di bioskop. p~pq~q ~p ~q~(p v q) BSBSSS BSSBSS SBBSSS SBSBBB

Negasi Implikasi p~pq~q p  q~( p  q) p ~q BSBSBSS BSSBSBB SBBSSSS SBSBSSS Negasi pernyataan “p  q” adalah “p ~q” Perhatikan contoh berikut: p: Nico belajar dengan giat. q : Nico naik kelas. p  q: Jika nico belajar dengan giat maka nico naik kelas. ~(p  q) : Jika Nico belajar dengan giat dan ternyata nico tidak naik kelas.

Negasi Biimplikasi Negasi pernyataan “p  q” adalah (p ~q) v (q ~p) Perhatikan contoh berikut: P: Ulangan dibatalkan Q: Diadakan kerja bakti p  q : Ulangan dibatalkan jika dan hanya jika diadakan kerja bakti ~(p  q ) : Ulangan dibatalkan dan tidak diadakan kerja bakti atau diadakan kerja bakti dan ulangan tidak dibatalkan. p~pq~q p  q~(p  q) p ~qq ~p (p ~q) v (q ~p) BSBSBSSSS BSSBSBBSB SBBSSBBBB SBSBBSSSS

Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial - Kuantor Universal - Kuantor Eksistensial Klik salah satu Kembali

Kuantor Universal Sebuah pernyataan dikatakan menggunakan kuantor universal jika menggunakan kata setiap atau semua atau yang ekuivalen dengan itu. Contoh: 1.Semua siswa kelas XA senang olahraga. 2.Setiap peserta ujian wajib membawa kartu tanda peserta ujian. Kembali

Kuantor Eksistensial Pernyataan dikatakan menggunakan kuantor eksistensial jika menggunakan kata beberapa atau ada atau yang ekuivalen dengan itu. Contoh: 1.Beberapa siswa kelas XB senang olahraga. 2.Ada siswa yang senang matematika. Kembali

Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor - Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal - Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Eksistensial Klik salah satu Kembali

Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal Contoh:p : ”Semua bilangan prima adalah bilngan asli”. Bernilai benar Tentukan ~ p serta nilai kebenarannya. ~ p : ”Tidak semua bilangan prima adalah bilangan asli”, atau ~ p : ”Beberapa bilangan prima bukan bilangan asli”. Jadi, jelas bahwa ~ p bernilai salah. ingkaran dari pernyataan berkuantor universial adalah sebuah pernyataan berkuantor eksistensial Ingkaran dari semua p adalah q yaitu beberapa p bukan q. Kembali

Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Eksistensial Ingkaran dari beberapa p adalah q yaitu semua p bukan q. Contoh:p : ”Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” Tentukan ~ p serta nilai kebenarannya ~ p : ”Semua bilangan prima bukan bilangan genap”, atau ~ p : ”Tidak ada bilangan prima yang bilangan genap”, atau ~ p : ”Jika x adalah bilangan prima, maka x bukan bilangan genap”. ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah sebuah pernyataan berkuantor universal Kembali

Penarikan Kesimpulan Premis dan Argumen Logika berkenaan dengan penalaran yang dinyatakan dengan pernyataan verbal. Suatu diskusi atau pembuktian yang bersifat matematik atau tidak, terdiri atas pernyataan-pernyataan yang saling berelasi. Biasanya kita memulai dengan pernyataan-pernyataan tertentu yang diterima kebenarannya dan kemudian berargumentasi untuk sampai pada konklusi (kesimpulan) yang ingin dibuktikan. Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya. Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis-premis.

VALIDITAS PEMBUKTIAN Prinsip Modus Ponens - Prinsip Modus Tolens - Prinsip Silogisme Aturan inferensia yang sering digunakan dalam pembuktian suatu argumen adalah:

Prinsip Modus Ponens Premis 1 : p  q Premis 2 : p Konklusi : q Contoh: Premis 1 : Jika Afra kehujanan, maka Afra akan masuk angin. Premis 2 : Afra kehujanan. Konklusi : Afra masuk angin. Misal:p: Afra kehujanan q: Afra masuk angin Penarikan kesimpulannya: p  q p q Cara membacanya : Apabila diketahui jika p maka q benar, dan p benar, disimpulkan q benar. (Notasi : Ada yang menggunakan tanda  untuk menyatakan konklusi, seperti p  q, p  q)

Prinsip Modus Tolens Premis 1 : p  q Premis 2 :  q Konklusi :  p Premis 1 : Jika saya berolahraga teratur, maka saya akan sehat. Premis 2 : Saya tidak sehat Konklusi : Saya tidak berolahraga teratur Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip modus tolens, berarti kesimpulan yang ditarik adalah sah Misal:p: saya berolahraga teratur q: saya akan sehat Penarikan kesimpulannya: p  q ~q ~p Contoh: Kembali

Prinsip Silogisme Premis 1 : p  q Premis 2 : q  r Konklusi : p  r Premis 1 : jika x bilangan ganjil, maka 2x bilangan genap. Premis 2 : jika 2x bilangan genap, amka 2x + 1 bilangan ganjil. Konklusi : jika x bilangan ganjil, maka 2x + 1 bilangan ganjil. Misal: p: x bilangan ganjil q: 2x bilangan genap r: 2x + 1 bilangan ganjil Penarikan kesimpulannya: p  q q  r p  r Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip silogisme, berarti penarikan kesimpulan ini sah.

Contoh : Premis 1 : Jika kamu benar, saya bersalah (B) Premis 2 : Jika saya bersalah, saya minta maaf (B) Konklusi : Jika kamu benar, saya minta maaf (B) Silogisma : Premis 1 : p  q Premis 2 : q  r Konklusi : p  r

Modus ponens: Premis 1 : p  q Premis 2 : p Konklusi : q Modus tollens: Premis 1 : p  q Premis 2 :  q Konklusi :  p Silogisme: Premis 1 : p  q Premis 2 : q  r Konklusi : p  r