Matematika Diskrit Bab 1-logika

tujuan Memahami tentang logika Memahami tentang operasi logika di komputer, dan Memahami tentang inferensi

Logika Digunakan untuk melakukan penalaran matematika, dimana salah satunya dapat digunakan dalam mendesain rangkaian elektronik. Sistem yang didasarkan pada proposisi.

PROPOSISI Proposisi adalah kalimat deklaratif atau pernyataan yang bernilai benar (true/T) atau salah (false/F) tetapi tidak sekaligus keduanya. Dapat dikatakan bahwa nilai kebenaran (truth value) dari sebuah proposisi adalah benar atau salah. Dalam rangkaian digital, nilai ini dinyatakan sebagai 1 dan 0

Pernyataan / Proposisi (1) “6 adalah bilangan genap” Apakah sebuah pernyataan ? Ya Apakah sebuah proposisi ? Ya Apakah nilai kebenaran dari proposisi tersebut ? Benar “ Ibukota propinsi Jawa Barat adalah Semarang “ Apakah nilai kebenaran dari proposisi tersebut ? Salah

Pernyataan / Proposisi (2) “ Serahkan uangmu sekarang ! “ Apakah sebuah pernyataan ? Tidak Apakah sebuah proposisi ? Tidak “ X > 3 “ Apakah sebuah pernyataan ? Ya nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada x, tapi nilainya belum ditentukan. Pernyataan jenis ini disebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka.

Mengkombinasikan Proposisi Mengabungkan beberapa proposisi menjadi sebuah proposisi gabungan. Diformalisasikan dengan melambangkan proposisi sebagai huruf-huruf seperti p, q, r, s, dan menggunakan operator-operator logika. Operator logika merupakan operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi tersebut. Operator logika yang digunakan adalah : Negasi (NOT), Konjungsi (AND), Disjungsi (OR), Eksklusif OR (XOR), Implikasi (jika – maka), Bikondisional (jika dan hanya jika)

Negasi (NOT) Merupakan jenis operator logika yang hanya membutuhkan satu buah proposisi (Operator Uner ). Lambang : ~ P ~P Benar Salah

Konjungsi (AND) Merupakan jenis operator logika yang membutuhkan dua buah proposisi (Operator Biner ). Lambang :  P Q PQ Benar Salah

Disjungsi (OR) Merupakan jenis operator logika yang membutuhkan dua buah proposisi (Operator Biner ). Lambang :  P Q PQ Benar Salah

Eksklusif Or (XOR) Merupakan jenis operator logika yang membutuhkan dua buah proposisi (Operator Biner ). Lambang :  P Q PQ Benar Salah

Contoh (1) Diketahui proposisi – proposisi berikut : p : hari ini banjir q : mahasiswa diliburkan maka : p  q : hari ini banjir dan mahasiswa diliburkan p  q : hari ini banjir atau mahasiswa diliburkan ~ p : tidak benar hari ini banjir (hari ini tidak banjir)

Contoh (2) Diketahui proposisi – proposisi berikut : p : hari ini hujan q : hari ini dingin Nyatakan proposisi berikut dalam ekspresi logika : Hari ini dingin atau tidak hujan : q  ~p Hari ini tidak hujan maupun dingin : ~p  ~q

Contoh (3) : Diketahui proposisi – proposisi berikut : p : pria itu tinggi q : pria itu pemarah Nyatakan proposisi berikut dalam ekspresi logika : Pria itu tinggi dan pemarah : Pria itu tinggi dan tidak pemarah : Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak pemarah Pemuda itu tinggi, atau pendek

Implikasi (jika - maka) (1) Merupakan jenis operator logika yang membutuhkan dua buah proposisi (Operator Biner ). Pernyataan berbentuk “jika p maka q” disebut proposisi bersyarat atau kondisional (implikasi) “Jika p, maka q” disebut proposisi bersyarat dan dilambangkan dengan p  q

Implikasi (jika - maka) (2) Proposisi p disebut hipotesis (antesenden/premis/kondisi) dan proposisi q disebut konklusi (konsekuen) P Q PQ Benar Salah

Bikondisional/bi-implikasi/ jika dan hanya jika/xnor Merupakan jenis operator logika yang membutuhkan dua buah proposisi (Operator Biner ). Pernyataan berbentuk “p jika dan hanya jika q” disebut bikondisional atau bi-implikasi. Lambang:  P Q PQ Benar Salah

Contoh (1) : Tunjukkan bahwa p  q ekivalen secara logika dengan ~ p  q Jawab : p q p  q ~ p ~ p  q T F

Contoh (2) : Dua pedagang barang rumah tangga mengeluarkan moto jitu untuk menarik para pembeli. Pedagang pertama mengumbar moto “barang bagus tidak murah” sedangkan pedagang kedua mempunyai moto “ barang murah tidak bagus”. Tentukan apakah kedua moto itu menyatakan hal yang sama ?

Solusi :

Varian Proposisi Bersyarat Terdapat bentuk implikasi yang berkaitan dengan p  q yaitu proposisi sederhana yang merupakan varian dari implikasi yaitu : Konvers : q  p Invers : ~p  ~q Kontraposisi : ~q  ~p

Contoh : Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan berikut : “Jika Amir memiliki mobil, maka ia orang kaya” Jawab : Konvers : jika amir orang kaya,maka ia memiliki mobil Invers : jika amir tidak mempunyai mobil maka ia bukan orang kaya Kontraposisi : jika amir bukan orang kaya, maka ia tidak memiliki mobil

Latihan Tentukan kontraposisi dari pernyataan berikut : Jika ia bersalah maka ia dimasukkan ke dalam penjara Jika 6 lebih besar dari 0 maka 6 bukan bilangan negatif Iwan lulus ujian jika hanya ia belajar Hanya jika ia tidak terlambat maka ia akan mendapatkan pekerjaan itu Perlu ada angin agar layang-layang bisa terbang

Pernyataan dan Operasi Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan untuk membentuk pernyataan baru. Pernyatan (PQ) dan (P)(Q) adalah ekivalen P Q (PQ) (P)(Q) (PQ)(P)(Q) Benar Salah

Tautologi dan Kontradiksi (1) Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu benar. Contoh: R(R) (PQ)(P)(Q)

Tautologi dan Kontradiksi (2) Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang selalu salah. Negasi dari sembarang tautologi adalah sebuah kontradiksi, sedangkan negasi dari sebuah kontradiksi adalah sebuah tautologi. Contoh: R(R) ((PQ)(P)(Q))

Hukum Logika Proposisi 1. Hukum identitas: p  F  p p  T  p 2. Hukum null/dominasi: p  F  F p  T  T 3. Hukum negasi: p  ~p  T p  ~p  F 4. Hukum idempoten: p  p  p p  p  p 5. Hukum involusi (negasi ganda): ~(~p)  p 6. Hukum penyerapan (absorpsi): p  (p  q)  p p  (p  q)  p 7. Hukum komutatif: p  q  q  p p  q  q  p 8. Hukum asosiatif: p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  r 9. Hukum distributif: p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 10. Hukum De Morgan: ~(p  q)  ~p  ~q ~(p  q)  ~p  ~q

Varian Proposisi Bersyarat(Implikasi) Varian dari implikasi (p  q) Konvers, Invers, Kontraposisi Konvers : q  p Invers :  p   q Kontraposisi :  q   p

Contoh : Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari: “Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya” Penyelesaian: p : Amir mempunyai mobil q : Amir orang kaya Konvers : Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil Invers : Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya Kontraposisi: Jika Amir bukan orang kaya, maka ia ia tidak mempunyai mobil

Bikondisional (Bi-implikasi) Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q” Notasi: p  q p  q  (p  q)  (q  p).

Ekspresi bikondisional p  q : p jika dan hanya jika q. p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. Jika p maka q, dan sebaliknya. p iff q

Contoh : Proposisi majemuk berikut adalah bi-implikasi: 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4. Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembaban udara tinggi. Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya. Bandung terletak di Jawa Barat iff Jawa Barat adalah sebuah propinsi di Indonesia.

Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk “p jika dan hanya jika q”: Anda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punya koneksi jika anda naik jabatan. Penyelesaian: Cari p dan q : p : Anda naik jabatan q : Anda punya koneksi Anda naik jabatan jika dan hanya jika anda punya koneksi.

Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk “p jika dan hanya jika q”: Syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan pertandingan adalah anda melakukan banyak latihan. Penyelesaian: p : Anda memenangkan pertandingan q : Anda melakukan banyak latihan Anda akan memenangkan pertandingan jika dan hanya jika anda melakukan banyak latihan.

Inferensi Penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi Kaidah : Modus Ponen Modus Tollen Silogisme Hipotesis Silogisme Disjungtif Simplifikasi Penjumlahan Konjungsi

Modus Ponen (1) Didasarkan pada tautologi : (p  (pq))q) Kaidah : Modus ponen menyatakan bahwa jika hipotesis p dan implikasi p q benar maka konklusi q benar

Modus Ponen (2) Misalkan implikasi “jika 25 habis dibagi 5, maka 25 bilangan ganjil” dan hipotesis “25 habis dibagi 5” keduanya benar maka menurut modus ponen : p : 25 habis dibagi 5 q : 25 bilangan ganjil “jika 25 habis dibagi 5, maka 25 bilangan ganjil dan hipotesis 25 habis dibagi 5. Oleh karena itu 25 adalah bilangan ganjil” adalah benar.

Modus Tollen (1) Didasarkan pada tautologi : (~q  (pq)) ~p) Kaidah : p  q ~q Modus tolen menyatakan bahwa jika hipotesis ¬q benar dan implikasi p q benar maka konklusi ¬p benar

Modus Tollen (2) Misalkan implikasi “jika n bilangan genap, maka 2n bernilai genap” dan hipotesis “2n bernilai bukan genap” keduanya benar. Maka menurut modus tollen : p : n bilangan genap q : 2n bilangan genap “jika n bilangan genap, maka 2n bernilai genap dan 2n bernilai ganjil. Oleh karena itu n bukan bilangan genap” adalah benar.

Silogisme Hipotesis (1) Didasarkan pada tautologi : ((pq)  (qr)) (pr) Kaidah : p  q q  r

Silogisme Hipotesis (2) Misalkan implikasi “jika saya masuk Teknik Komputer maka saya belajar matematika diskrit” dan implikasi “jika saya belajar matematika diskrit maka saya belajar algoritma. p : saya masuk Teknik Komputer q : saya belajat matematika diskrit r : saya belajar algoritma Oleh karena itu jika saya masuk Teknik Komputer maka saya belajar algoritma” adalah benar menurut silogisme hipotesis.

Silogisme Disjungtif (1) Didasarkan pada tautologi : ((p  q)  ~p) q Kaidah : p  q ~p

Silogisme Disjungtif (1) “Saya akan meneruskan kuliah atau saya akan menikah tahun depan. Saya tidak akan meneruskan kuliah. p: saya akan meneruskan kuliah q: saya akan menikah tahun depan Oleh karena itu saya akan menikah tahun depan” adalah benar menurut silogisme disjungtif.

Simplifikasi (1)  

Simplifikasi (2) “icha adalah mahasiswa Unpad dan Unikom. Oleh karena itu icha adalah mahasiswa Unpad” adalah benar menurut Simplifikasi Atau “icha adalah mahasiswa Unpad dan Unikom. Oleh karena itu icha adalah mahasiswa Unikom” adalah juga benar menurut Simplifikasi

Penjumlahan (1) Didasarkan pada tautologi : p (p  q) Kaidah : p

Penjumlahan (2) “Icha mengambil kuliah matematika diskrit . Oleh karena itu icha mengambil kuliah matematika diskrit atau algoritma” adalah benar menurut penjumlahan.

Konjungsi (1) Didasarkan pada tautologi : ((p)  (q) (p  q) Kaidah :

Konjungsi (2) “Icha mengambil kuliah logika matematika. Icha mengulang kuliah algoritma. Oleh karena itu icha mengambil kuliah logika matematika dan algoritma” adalah benar menurut konjungsi.

Argumen (1) Suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai p1 p2 … pn dimana p1, p2, …, pn disebut hipotesis.

Argumen (2) Sebuah argumen dikatakah sahih jika konklusi benar bilamana semua hipotesisnya benar; sebaliknya argumen dikatakan palsu (fallacy atau invalid) konklusi salah bilamana semua hipotesisnya salah. Untuk menyatakan apakah argumen sahih maka dapat diperlihatkan bahwa implikasi adalah benar (yaitu sebuah tautologi).