Oleh : Prof. Dr.dr. Buraerah.Abd.Hakim, MSc DISTRIBUSI NORMAL Oleh : Prof. Dr.dr. Buraerah.Abd.Hakim, MSc JURUSAN BIOSTATISTIK / KKB FAKULTAS KESEHATAN MASYARAKAT UNIVERSITAS HASANUDDIN

MATA KULIAH BIOSTATISTIK DISTRIBUSI NORMAL OLEH Dr. dr. Buraerah. H.Abd.Hakim, MSc

DISTRIBUSI NORMAL PENGANTAR DISTRIBUSI NORMAL adalah distribusi probabilitas kontinu yang paling sering digunakan dalam bidang statistika Grafiknya disebut “ KURVA NORMAL “. Banyak digunakan pada gugusan data yang terjadi di alam dan “ PENELITIAN “. Pada tahun ( 1733 )  De Moivre berhasil menurunkan “ PERSAMAAN MATEMATIK ” dari kurva normal. Pada tahun ( 1777 – 1855 )  Gauss berhasil menemukan persamaannya dalam studi mengenai “ STANDAR DEVIASI “ .

DISTRIBUSI NORMAL Sifat Grafik : Grafik berada diatas sumbu mendatar ( x ) Bentuk simetrik terhadap sumbu x = μ Satu modus, ( uni modal ) yang dicapai pada nilai : x = μ 0,3989 sebesar  -------------- σ Luas daerah dibawah kurva = satu unit persegi Mendekati sumbu (X) dimulai dari X = (μ±3σ)

DISTRIBUSI NORMAL Kurva berbentuk : “ Bell Shape “  Kurva normal Satu unit persegi 0,3989 X = μ sebesar  ------------ σ Sumbu ( X ) X = μ (μ-3σ) (μ+3σ) Md = Mean = Mo

Mean ± 1 SD → luas daerahnya = 68,27 %. DISTRIBUSI NORMAL Petunjuk luas daerah dibawah “  Kurva normal Mean ± 1 SD → luas daerahnya = 68,27 %. 1 SD Sumbu ( X ) Md = Mean = Mo

Mean ± 2 SD → luas daerahnya = 95,45 %. DISTRIBUSI NORMAL Petunjuk luas daerah dibawah “  Kurva normal Mean ± 2 SD → luas daerahnya = 95,45 %. Mean = ± 2 SD Sumbu ( X ) Md = Mean = Mo

Mean ± 3 SD → luas daerahnya = 99,73 %. DISTRIBUSI NORMAL Petunjuk luas daerah dibawah “  Kurva normal Mean ± 3 SD → luas daerahnya = 99,73 %. Mean ± 3 SD Sumbu ( X ) Md = Mean = Mo

DISTRIBUSI NORMAL Setiap variabel random kontinu (X) yang memiliki distribusi berbentuk “ Bell Shape disebut “variabel Random Normal “ Persamaan matematik bagi distribusi peluang (probability) variabel random normal ini tergantung pada dua parameter yakni : μ dan σ. Nilai-nilai fungsi kepadatan bagi variabel random normal (X) ini dilambangkan dengan n(x; μ, σ )

DISTRIBUSI NORMAL DEFINISI KURVA NORMAL Bila (X) adalah suatu variabel random normal dengan nilai tengah μ dan variance σ2, maka persamaan kurva normalnya adalah : 1 n(x; μ, σ) = -------------- e ½ ( x - μ / σ) ² , untuk - ∞ < x < + ∞ √ 2 πσ Sedangkan dalam hal ini : π = 3,14159.. Dan e = 2,71828…

DISTRIBUSI NORMAL Contoh : Kurva normal dengan standar deviasi (σ1 = σ2), dan ( μ1 < μ2 ) Kurva (A) σ1= 5 Kurva (B) σ2 = 5 μ1 = 10 μ2 = 20 Sumbu ( X )

DISTRIBUSI NORMAL Contoh : Kurva normal dengan standar deviasi σ1 < σ2 dan ( μ1 = μ2 ) Kurva (A) σ1 Kurva (B) σ2 μ1 = μ2 Sumbu ( X )

DISTRIBUSI NORMAL Contoh : Kurva normal dengan standar deviasi σ1 dan μ1 tidak sama serta σ2 dan μ2 juga tidak sama Kurva (A) σ1 Kurva (B) σ2 μ1 = μ2 Sumbu ( X )

DISTRIBUSI NORMAL Kurva (A) dan (B) keduanya normal. Kurva (A) dengan μ = 10 dengan σ = 5 Kurva (B) dengan μ = 20 dengan σ = 7 Kurva (A) σ1= 5 Kurva (B) σ2 = 7 μ1 = 10 μ2 = 20 Sumbu ( X )

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL Kurva sembarang distribusi probabilitas random kontinu dibuat sedemikian rupa, sehingga luas daerah dibawah kurva itu, dibatasi oleh nilai x = x1 ; dan x = x2  sama dengan probabilitas variabel random x, yang mengambil nilai antara x =x1 dan x = x2. Luas daerah dibawah kurva dinyatakan sebagai: P(x1 < x < x2) Dinyatakan berupa daerah gelap sebagai berikut : Sumbu ( X ) X1 X2

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL Luas daerah dibawah kurva II dinyatakan dengan warna kuning  P ( x1 < X < x2 ) Luas daerah dibawah kurva I dinyatakan dengan daerah arsiran  P( x1 < X < x2 ) Kedua luas daerah sangat berbeda luasnya sehingga nilai probabilitinya juga berbeda Kurva II Kurva I Sumbu ( X ) X1 X2

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL Setiap pasangan μ dan σ selalu memenuhi sifat distribusi normal seperti dikemukakan diatas, dan yang berbeda hanyalah bentuk kurvanya saja, dengan demikian berarti setiap pasangan μ dan σ selalu dapat dibuat suatu kurva normal. Apabila σ semakin besar maka bentuk kurvanya semakin rendah (Platikurtik), Sedangkan apabila σ semakin kecil maka bentuk kurvanya semakin tinggi (Leptokurtik).

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL Setiap pengamatan yang berasal dari sembarang variabel random normal (x) dapat diubah menjadi variabel random normal Z, dengan nilai tengah = nol (0), dan varians = satu (1). Perubahan tersebut dapat dilakukan melalui rumus transformasi sebagai berikut : X – μ Z = --------------- σ

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL Nilai tengah Z = 0  Pembuktian : ∑(Z) = 1/σ ∑( X- μ ) = 1/σ ( μ - μ ) = 0 Sedangkan variansnya adalah : σ2z = σ2(x-μ)/σ = σ2x/σ = 1/σ2 x σ2x = σ2/σ2 = 1 Berdasarkan pembuktian tersebut maka : Definisi “ DISTRIBUSI NORMAL STANDAR “ sebagai berikut : Adalah suatu Distribusi variabel random normal dengan nilai tengah (rata-rata) = 0 dan standar deviasi = 1

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL Apabila nilai (X) berada diantara x = x1 dan x = x2 maka variabel random acak (Z) berada diantara nilai padanannya sebagai berikut : X1 – μ Z1 = --------------- σ X2 – μ Z2 = --------------- σ Dan

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL Sebaran asal dan sebaran hasil transformasi diilustrasikan sebagai berikut : Semua nilai (X) yang jatuh antara x1 dan x2 mempunyai nilai-nilai (z) padanannya antara z1 dan z2,  maka luas daerah dibawah kurva (X) antara x = x1 dan x = x2 sama dengan luas daerah dibawah kurva antara nilai hasil transformasi z = z1 dan z = z2, sehingga : P ( x1 < X < x2 ) = P ( z1 < Z < z2 ).

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL Sebaran transformasi Sebaran asal σ = 1 σ X1 X2 μ ( X ) z1 z1 ( z )

DISTRIBUSI NORMAL Sebaran transformasi (distribusi normal standar  mean = 0, SD = 1) X2 – μ Z2 = ---------- σ Sebaran observasi Z1 Z Z2 X1 – μ Z1 = ---------- σ Sumbu ( X ) X1 X X2

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL Sebaran transformasi (distribusi normal standar  mean = 0, SD = 1 z1 z2 Sebaran observasi (x) X1 X2 X

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL Tabel A.4 mencantumkan luas luas daerah dibawah kurva normal baku yang merupakan nilai P(Z < z ) untuk berbagai nilai z, dari – 3.49 sampai + 3.49 Untuk Illustrasi penggunaan tabel A.4 tersebut diberikan contoh sebagai berikut : Hitunglah peluang Z lebih kecil dari pada 1.74. Penyelesaian sebagai berikut :

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL Penyelesaian Carilah nilai z yang sama dengan 1.7 pada kolom paling kiri. Telusuri sepanjang baris tersebut sampai kolom dibawah 0.04, disitu ditemukan nilai 0.9591. sehingga P( Z < 1.74 ) = 0.9591 0.0409 0.50 0.4591 0.9591

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL Contoh soal 1: Suatu sebaran normal dengan μ = 50 dan σ = 10. Hitunglah peluang bahwa X mengambil sebuah nilai antara 45 dan 62 Penyelesaian : Nilai z1 padanan x1 = 45 dan z2 padanan x2 = 62 Untuk z1 = 45 – 50 / 10 = - 0.5 ; Untuk z2 = 62 – 50 /10 = 1.2 Dengan demikian : P (45 < X < 62) = P( - 0.5 < Z < 1.2 ) X2 – μ Z2 = --------------- σ

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL P( - 0.5 < Z < 1.2 )  diperlihatkan melalui daerah gelap pada kurva Luas daerah ini diperoleh melalui, pengurangan nilai luas daerah sebelah kanan z2 = 1.2 dengan z1 = - 0.5 dengan menggunakan tabel A.4 sbb : P(45 < X < 62) = P(- 0.5 < Z < 1.2 = P(+Z < 1.2) – P(- Z < - 0.5) = 0.8849 – 0.3085 = 0.5764 Luas = 0.5764 - Z1 = - 0.5 + Z2 = 1.2

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL Contoh soal 2: Suatu sebaran normal dengan nilai μ = 300 dan σ = 50. Hitunglah peluang bahwa variabel random (X) mengambil suatu nilai yang lebih besar dari 362. Penyelesaian Perhitungan luas daerah P ( X > 362 ) dilakukan dengan menghitung luas daerah disebelah kanan x = 362. Dengan menggunakan nilai z padanannya, dapat diperoleh luas daerah disebelah kiri dari z (tabel A.4) Apabila diperkurangkan laus daerah tersebut dengan 1 maka diperoleh :

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL 362 – 300 Z = ---------------- = 1.24 50 Dengan demikian : P( X < 1.24 ) = 1 – P ( < 1.24 ) = 1 – 0.8925 = 0.1075 Luas = 0.1075 μ =300 362

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL CONTOH SOAL 3 Diberikan sebuah sebaran normal dengan μ = 40, dan σ = 6, Hitunglah nilai x yang : luas daerah dibawahnya ada 38 % dan luas daerah diatasnya 5 %. PENYELESAIAN : Soal 3(a) Luas daerah diseblah kiri X adalah 38% atau 0,38. Besarnya nilai z untuk luas daerah 0,38 tersebut dapat dilihat pada tabel 4 A, yakni : P(z < - 0,31) = 0,38. Dengan melakukan perubahan pada rumus transformasi yakni : σ = 6 X – μ Z = -------------  x = σz + μ σ X = ( 6 )( - 0,31 ) + 40 = 38,14 0,38 40 x

LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL PENYELESAIAN : Soal 3(b) Untuk Luas daerah 0,05 diseblah kanan X berarti untuk daerah sebelah kirinya (100 - 0,05 = 0,95) dapat dilihat pada tabel 4 A, yakni : P(z < 1.645) = 0,9505. Dengan melakukan perubahan pada rumus transformasi yakni : σ2 = 6 X – μ Z = -------------  x = σz + μ σ X = (6)(1.645) + 40 = 49.87 0.05 μ = 40 Sumbu x

PENERAPAN SEBARAN NORMAL CONTOH SOAL 4 Suatu perusahaan yang memproduksi cairan ringer lactat (cairan infus diare) mengatakan bahwa masa ekspayer produknya mencapai rata-rata 3,0 tahun, dengan standar deviasi 0,5 tahun. Apabila masa ekspayer cairan tersebut menyebar normal , Hitunglah peluang bahwa sebuah cairan infus tersebut mencapai umur kurang dari 2,3 tahun.

PENERAPAN DISTRIBUSI NORMAL PENYELESAIAN : Diketahui rata-rata umur cairan infus = 3 tahun, Standar Deviasi = 0,5 tahun Besarnya P(X < 2,3) adalah : X – μ 2,3 - 3 Z = -------------  x = ---------- = - 1.4 σ 0,5 Dengan menggunakan tabel 4 A, maka P(X < 2,3 ) = P(Z < - 1.4 ) = 0,0808 0,0808 x 2,3 Mean = 3

PENERAPAN SEBARAN NORMAL CONTOH SOAL 5 Suatu perusahaan farmasi memproduksi obat KB masa ekspayer menyebar normal dengan nilai tengah 800 hari dan standar deviasi 40 hari. Hitunglah peluang sebuah obat hasil produksi tersebut akan mencapai masa ekspayer 778 dan 834 hari. Diketahui : Nilai tengah = 800 hari, Standar deviasi = 40 hari, Nilai padanan Z untuk x1 = 778; dan x2 = 834

PENERAPAN SEBARAN NORMAL PENYELESAIAN X – μ 778 -800 Z1 = ------------- = ------------- = - 0,55 σ 40 X – μ 778 -800 Z2 = ------------- = ------------- = - 0,55 σ 40 σ = 40 P(778 < X < 834) = P(- 0.55 < Z < 0.85 = P(Z<0,85) – P(Z< - 0,55) = 0.8023 – 0.2912 = 0.5111 778 800 834 Sumbu ( X )

PENERAPAN SEBARAN NORMAL CONTOH SOAL 6 Hasil ujian biostatistik mahasiswa STIKES-NH, nilai rata-ratanya 74 dan standar deviasinya 7. Bila 12 % di antara mahasiswa diberi nilai A dan nilai itu mengikuti distribusi normal , berapakah batas nilai terkecil bagi A dan batas nilai tertinggi bagi B.

PENERAPAN SEBARAN NORMAL PENYELESAIAN Diketahui : Mean = 74, SD = 7, dan Mah. Yang dapat nilai A adalah 12 % (0,12) Luas daerah dibawah kurva normal adalah 100%. Sedangkan nilai A yang dicari terletak sebelah kanan nilai rata-rata sebesar 12 % atau 0,12, dengan demikian luas daerah sebelah kiri adalah 100 – 0,12 = 0,88. Dengan menggunakan tabel A.4 diketahui untuk wilayah 0,88 = 1,75 σ2 = 7 0.12 μ = 74 Sumbu x

TUGAS SEBARAN NORMAL SOAL Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3750 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika bayi berdistribusi normal, maka tentukanlah : Berapa persen bayi yang beratnya yang beratnya lebih dari 5400 gram. Berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram, jika semuanya ada 10.000 bayi Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4000 gram jika semuanya ada 10.000 bayi. Berapa bayi yang beratnya 4520 gram jika semuanya 5000 bayi.

Terima kasih

NILAI LULUS : Mean ± ½ SD = 3,25 SEBARAN NILAI MID TEST MAH STIK GIA KLS A-04, NOP 2005 18 22 26 29 12 23 30 14 19 27 15 24 32 33 16 25 17 20 35 28   MEAN = 22,8 SD = 6,5 N = 47 TERENDAH = 12 TERTINGGI = 35 NILAI LULUS : Mean ± ½ SD = 3,25 A = 26 - > B = 22,8 – 25,9 C = 19,55 – 22.7 E = < - 19

NILAI LULUS : Mean ± ½ SD = 3,625 SEBARAN NILAI MID TEST MAH STIK GIA KLS C-04, NOP 2005 9 18 25 27 31 10 20 28 32 26 12 21 33 14 23 29 15 30 34 16 17 35 24 36 MEAN = 25,118 SD = 7,25 N = 51 TERENDAH = 9 TERTINGGI = 36 NILAI LULUS : Mean ± ½ SD = 3,625 A = 28,7 - > B = 25,1 – 28,7 C = 21,5 – 25.00 E = < - 21

NILAI LULUS : Mean ± ½ SD = 2,6 SEBARAN NILAI MID TEST MAH STIK GIA KLS E-04, NOP 2005 14 20 24 28 15 21 30 22 25 33 23 35 16 26   18 27 19 MEAN = 22,9 SD = 5,2 N = 34 TERENDAH = 14 TERTINGGI = 35 NILAI LULUS : Mean ± ½ SD = 2,6 A = 25,5 - > B = 22,9 – 25,4 C = 20,3 – 22,8 E = < - 20,2

KOEFISIEN VARIASI : KELAS A-04  KV = ---------- X 100 % = 28,5 % 22,8 6,5 KELAS A-04  KV = ---------- X 100 % = 28,5 % 22,8 7,2 KELAS C-04  KV = ---------- X 100 % = 28,5 % 25,2 5,2 KELAS E-04  KV = ---------- X 100 % = 22,7 % 22,9