PENALARAN MATEMATIKA OLEH KELOMPOK 1 Nama: DESY AGUSTINA RIYANTO (150210204009) ROMI ALFA HIDAYAT (150210204076) OKTANTI FIRDAUSI (150210204080) MIMIN DWI JAYANTI (150210204089) FANIA NARULITA (150210204090) RIYADHOTUL MU’AWANAH (150210204119) ARIFTIAN HIDAYATUL ASYARI (150210204134) LOVELYA NURHARANI (150210204149)

Penalaran matematika Kalimat Pernyataan pernyataan Terbuka Negasi atau ingkaran Konjungsi Disjungsi Implikasi Biimplikasi Penarikan kesimpulan

LOGIKA MATEMATIKA

Definisi Logika Matematika Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Logika Matematika atau Logika Simbol ialah logika yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol

Kalimat Kalimat pernyataan Kalimat terbuka

KALIMAT PERNYATAAN

DEFINISI KALIMAT PERNYATAAN Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. DEFINISI KALIMAT PERNYATAAN

Contoh Soal Contoh 1 (Pernyataan yang benar) : Ki Hajar Dewantoro adalah menteri pendidikan pertama Jika x = 5, maka 2x = 10 0 adalah bilangan cacah Contoh 2 (Pernyataan yang salah) : a. Kelereng berbentuk segitiga b. 1 – 4 = 3 c. Indonesia terletak di benua Afrika Contoh 3 (Bukan pernyataan) : a. x + 3 = 0 b. Ambilkan sapu itu! c. Berapa umur anda?

KALIMAT TERBUKA

DEFINISI KALIMAT TERBUKA Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, dan jika variabel tersebut diganti konstanta dari semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau bernilai salah saja (pernyataan).

Pengertian Variabel Huruf X adalah variabel. Variabel adalah sebuah kata pengganti yang menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan.

Contoh Soal !  Contoh 1 : Diketahui 7x + 4 = 18. Tentukan nilai kebenarannya Contoh 2 : Diketahui kalimat terbuka x2 – 3x – 18 ≤ 0. Tentukan nilai kebenaran untuk x = 5 dan tentukan nilai kebenaran untuk x = – 4.

INGKARAN ATAU NEGASI

Negasi digunakan untuk menyangkal sebuah pernyataan INGKARAN ATAU NEGASI Ingkaran atau Negasi adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya. Negasi digunakan untuk menyangkal sebuah pernyataan

Contoh Soal   1. Jika pernyataan p : Jakarta ibu kota Republik Indonesia ~p : Jakarta Bukan ibu kota Republik Indonesia Atau ~p: Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota Republik Indonesia 2. Jika pernyataan p: 17 adalah bilangan genap ~p: 17 bukan bilangan genap Atau ~p: Tidak benar bahwa 17 adalah bilangan genap

Tabel Nilai Kebenaran Negasi atau ingkaran Jika pernyataan semula bernilai benar (B) maka ingkarannya bernilai salah (S) dan sebaliknya p ~p B S

KONJUNGSI

DEFINISI KONJUNGSI Konjungsi adalah kalimat majemuk yang terdiri dari dua pernyataan misalnya p dan q yang digabungkan dengan kata hubungkan dengan kata hubung logika “dan” yang dinotasikan “p^q”.

Contoh Soal : p : 3 adalah bilangan prima (B) q : 3 adalah bilangan ganjil (B) p ∧ q : 3 adalah bilangan prima dan ganjil (B) q : 3 adalah bukan bilangan ganjil (S) p ∧ q : 3 adalah bilangan prima dan bukan ganjil (S) p : 3 adalah bukan bilangan prima (S) p ∧ q : 3 adalah bukan bilangan prima dan ganjil (S) p ∧ q : 3 adalah bukan bilangan prima dan bukan ganjil (S)

Tabel Nilai Kebenaran Konjungsi p q p ∧ q B S Jadi pernyataan konjungsi p ∧ q akan bernilai benar bila kedua-duanya benar. Sedangkan nilai kebenaran yang lain yaitu bernilai salah.

Negasi Konjungsi Perhatikan konjungsi berikut ini : Andi lulus ujian dan dibelikan mobil Konjungsi diatas berasal dari pernyataan : p : Andi lulus ujian (B) q : Andi dibelikan mobil (B) jika dinegasikan akan menjadi seperti pernyataan dibawah ini : ~p : Andi tidak lulus ujian (S) ~q : Andi tidak dibelikan mobil (S) Jadi, p ∧ q : Andi lulus ujian dan dibelikan mobil (B) ~p ∧ ~q : Andi tidak lulus ujian dan tidak dibelikan mobil (S) ~(p ∧ q) : Tidak benar bahwa Andi lulus ujian dan dibelikan mobil (S) ~p ˅ ~q : Andi tidak lulus ujian atau tidak dibelikan mobil (S)

Tabel kebenaran negasi suatu konjungsi p q ~p ~q p ∧ q ~(p ∧ q) ~p ∧ ~q ~p V ~q B S ~(p ∧ q) ≡ ~p V ~q

DISJUNGSI

DISJUNGSI Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung “ATAU” yang disimbolkan dengan “v” . disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan “p v q” yang dibaca “p atau q” .

Contoh Soal p : Aves berkembang biak dengan ovipar (B) q : Mamalia berkembang biak dengan melahirkan (B) p vq: Aves berkembang biak dengan ovipar atau mamalia berkembang biak dengan melahirkan (B) q : Mamalia tidak berkembang biak dengan melahirkan (S) p vq: Aves berkembang biak dengan ovipar atau mamalia tidak berkembang biak dengan melahirkan (B) p : Aves tidak berkembang biak dengan ovipar (S) p vq: Aves tidak berkembang biak dengan ovipar atau mamalia berkembang biak q : Mamalia Tidak berkembang biak dengan melahirkan (S) p vq: Aves tidak berkembang biak dengan ovipar atau mamalia tidak berkembang biak dengan melahirkan (S)

Tabel kebenaran Disjungsi : p q p v q B S Jadi, pernyataan konjungsi p ∧ q akan bernilai salahbila kedua-duanya salah. Sedangkan nilai kebenaran yang lain yaitu bernilai benar.

Negasi Disjungsi perhatikan kalimat disjungsi berikut Air adalah benda cair atau es adalah air yang mendidih Kalimat tersebut berasal dari pernyataan : p : Air adalah benda cair q : Es adalah air yang mendidih Dinegasikan menjadi ~p : Air adalah bukan benda cair (S) ~q : Es adalah bukan air yang mendidih (B) Jadi p v q : Air adalah benda cair atau es adalah air yang mendidih (B) ~p v ~q : Air adalah bukan benda cair atau es adalah bukan air yang mendidih (B) ~(p v q) : Tidak benar bahwa Air adalah benda cair atau es adalah air yang mendidih (S) ~p ˄ ~q : Air adalah bukan benda cair dan es adalah bukan air yang mendidih (S)

Negasi disjungsi Jika diketahui pernyataan disjungsi p atau q : p v q ,ingkarannya ~ (p v q) ≡ ~p ^ ~q Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut : p q ~p ~q p v q ~ (p v q) ~p v ~q ~p ^ ~q B S

Implikasi

IMPLIKASI ATAU KONDISIONAL Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam bentuk kalimat : ” jika p maka q “ disebut implikasi atau kondisional atau pernyataan bersyarat dan dilambangkan sebagai p → q.

Contoh Soal p : Bima mengerjakan tugas (B) q : Bima mendapatkan nilai (B) pq: jika Bima mengerjakan tugas maka mendapatkan nilai (B) q : Bima tidak mendapatkan nilai (S) pq: jika Bima mengerjakan tugas maka tidak mendapatkan nilai (S) p : Bima tidak mengerjakan tugas (S) pq: jika Bima tidak mengerjakan tugas maka mendapatkan nilai (B) pq: jika Bima tidak mengerjakan tugas maka tidak mendapatkan nilai (B)

Tabel kebenaran Implikasi Jadi, Implikasi bernilai salah apabila pernyataan p bernilai benar dan pernyataan q bernilai salah, sedangkan untuk nilai kebenran pendahulu dan pengikut yang lain bernilai benar

NEGASI SUATU IMPLIKASI Perhatikan pernyataan berikut ini : p : Rano bekerja (B) q : Rano mendapat gaji (B) jika dinegasikan akan menjadi seperti pernyataan dibawah ini : ~p : Rano tidak bekerja (S) ~q : Rano tidak mendapat gaji (S) Jadi p  q : Jika Rano bekerja Maka mendapat gaji (B) ~ p  ~q : Jika Rano tidak bekerja Maka tidak mendapat gaji (B) ~ (p  q) : Tidak benar jika Rano bekerja maka mendapat gaji (S) p ˄ ~q : Rano bekerja dan tidak mendapat gaji (S)

Tabel kebenaran negasi suatu implikasi q ~p ~q p  q ~(p  q) ~p  ~q p ˄ ~q B S ~(p  q) ≡  p ˄ ~q

BIIMPLIKASI

BIIMPLIKASI Biimplikasi ialah suatu pernyataan majemuk yang berbentuk ”p jika dan hanya jika q” yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”. Pernyataan “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan “p⇔q”.

Contoh soal: p : Manusia dapat hidup (B) q : Manusia bernafas (B) p ⇔ q:Manusia dapat hidup jika dan hanya jika Manusia bernafas (B) q : Manusia tidak bernafas (S) p ⇔ q:Manusia dapat hidup jika dan hanya jika tidak bernafas (S) p : Manusia tidak dapat hidup (S) p ⇔ q:Manusia tidak dapat hidup jika dan hanya jika Manusia bernafas (S) p ⇔ q:Manusia tidak dapat hidup jika dan hanya jika tidak bernafas (B)

Tabel kebenaran dari pernyataan biimplikasi Jadi, biimplikasi akan bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai sama (benar semua atau salah semua). Jika nilai kebenaran pernyataan tunggalnya tidak sama maka biimplikasi bernilai salah.

Negasi Suatu Biimplikasi Tentukan negasi dari Biimplikasi berikut: Budi berangkat sekolah jika dan hanya jika mendapatkan uang saku Kalimat diatas berasal dari pernyataan: p : Budi berangkat sekolah (B) q : Budi mendapat uang saku (B) ~p : Budi tidak berangkat sekolah (S) ~q : Budi tidak mendapat uang saku (S) Jadi, p ⇔ q : Budi berangkat sekolah jika dan hanya jika mendapat uang saku (B) ~p ⇔ ~q : Budi tidak berangkat sekolah jika dan hanya jika tidak mendapat uang saku (B) ~(p ⇔ q) : Tidak benar bahwa Budi berangkat sekolah jika dan hanya jika mendapat uang saku (S) (p ˄ ~q) ˅ (q ˄ ~p) : Budi berangkat sekolah dan tidak mendapat uang saku atau Budi mendapat uang saku dan tidak berangkat sekolah

Tabel kebenaran negasi suatu Biimplikasi Jika diketahui pernyataan biimplikasi p Jika dan hanya jika q : p⇔q negasinya menjadi ~ (p ⇔ q) = (p ˄ ~q) V (q ˄ ~p) Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut : p q ~p ~q p⇔q ~( p⇔q ) (p ˄ ~q) (q ˄ ~p) (p ˄ ~q) v (q ˄~p) B S

INVERS , KONVERS , DAN KONTRAPOSISI

Invers ~p ⇒~q invers adalah pernyataan majemuk berbentuk Contoh Tentukan invers dari pernyataan berikut : Jika turun hujan maka Andin tidak pergi ke pasar. Jika saya punya uang maka saya membeli rumah. Penyelesaian : Jika tidak turun hujan maka Andin pergi ke pasar. Jika saya tidak punya uang maka saya tidak membeli rumah. ~p ⇒~q

Konvers konvers adalah pernyataan majemuk berbentuk q ⇒ p Contoh Tentukan konvers dari pernyataan berikut : Jika kamu makan maka tidak lapar. Jika habis dibagi 2 maka bilangan itu adalah bilangan genap. Penyelesaian : Jika tidak lapar maka kamu makan. Jika bilangan itu adalah bilangan genap maka habis dibagi 2. q ⇒ p

Kontraposisi ~q ⇒ ~p kontraposisi adalah pernyataan majamuk berbentuk Contoh Tentukan kontraposisi dari pernyataan berikut : Jika saya telat maka saya dihukum Jika ibu sakit maka saya sedih Penyelesaian : 1. Jika saya tidak dihukum maka saya tidak telat 2. Jika saya tidak sedih maka ibu tidak sakit   ~q ⇒ ~p

Tabel kebenaran invers,konvers dan kontraposisi

PENARIKAN KESIMPULAN

MODUS PONENS premis 1 : p →q premis 2 : p ( modus ponens) __________________ Kesimpulan: q Contoh Soal: premis 1 : Jika ibu datang maka adik akan senang premis 2 : Ibu datang Kesimpulan: Adik senang

Tabel Kebenaran Modus Ponens Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Dari tabel diatas tampak bahwa ((p→q) ˄ p) → q merupakan tautologi, jadi argument tersebut sah.

MODUS TOLLENS Contoh Soal: premis 1 : p →q premis 2 : ~q ( modus tollens) __________________ Kesimpulan: ~p premis 1 : Jika hari hujan, maka ibu memakai payung premis 2 : Ibu tidak memakai payung ___________________ Kesimpulan : Hari tidak hujan

Tabel kebenaran Modus Tollens Dari tabel tampak bahwa ((p →q) ˄ ~q) →~p merupakan tautologi. Jadi modus tollens merupakan argumentasi yang sah.

SILOGISME Contoh Soal: premis 1 : p→ q premis 2 : q → r ( silogisme) _________________ Kesimpulan: p → r Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang. ________________________________________________ Kesimpulan: Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak

Tabel Kebenaran Silogisme Dari tabel tampak bahwa ((p→q)˄(q→r))→(p→r) merupakan tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah.

Contohnya seperti tabel kebenaran dibawah ini. Kontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. p q p v q ~(p v q ) ~ ( p v q) ˄ p B S

SOAL !!! 1. Tulislah masing-masing tiga buah contoh a. Penyataan yang benar b. Pernyataan yang salah c. Bukan pernyataan 2. Tentukan kalimat Pernyataan yang bernilai Benar (B) dan Salah (S)! a. Ibu kota Indonesia adalah Jakarta b. Ada 24 jam dalam sehari c. 81 habis dibagi 8

3.Diketahui x3 + 3x2 – 2x – 4 ≤ 0. Tentukan nilai kebenaran untuk x = 5 dan tentukan nilai kebenaran untuk x = 4. 4. Diketahui 15x - 9 = 20. Tentukan nilai kebenarannya

5. Tentukan Ingkaran atau negasi dari: a. Harga BBM naik b. Bangau adalah burung c. 2 + 2 = 5 6. Tentukan negasi dari setiap kalimat berikut: a. Balok merupakan bangun ruang b. 36 habis dibagi 5 c. Kucing merupakan hewan karnivora  

7. Buatlah bentuk konjungsi dari p dan q, serta tentukan nilai kebenarannya! a. p:7 adalah bilangan prima q:7 adalah bilangan ganjil   b. p: -2 + 3 = 1 q: 6 – 4 < 2 c. p : 3 > -7 q : 3 < 5 8. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut! a. 3x - 2x = x dan 3 adalah bilangan prima b. 2 + 5 = 7 dan 7 adalah bilangan genap

9. Tentukan ingkaran dari pernyataan konjungsi : 17 merupakan bilangan prima dan 10 merupakan bilangan genap 10. Tentukan ingkaran dari pernyataan konjungsi: Persegi panjang memiliki 4 sudut siku-siku dan persegi memiliki 4 sudut yang sama besar  

11. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut: a 11. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut: a. 7 adalah bilangan ganjil atau 24 : 3 = 8 b. 3 x 2 = 5 atau 3 x 5 = 15 12. Diketahui p : Mahasiswa berdemonstrasi q : Lalu lintas macet tentukan kalimat disjungsi dari pernyataan diatas!

13. Tentukan negasi dari pernyataan disjungsi: persegi memiliki 4 sumbu simetris atau persegi mempunyai 4 titik sudut 14. Tentukan negasi dari pernyataan disjungsi : Belah ketupat memiliki 2 diagonal yang sama atau segitiga sama sisi memiliki 3 sisi yang sama besar

15. Tentukan nilai kebenaran implikasi dari pernyataan berikut : Jika batu adalah bagian dari makhluk hidup maka air merupakan gas 16. Diketahui p : suhu mencapai 80C q : udara terasa panas tentukan implikasi dari pernyataan diatas!

17. Tentukan negasi dari implikasi berikut: “Jika Ibu pergi kepasar maka adik tidur” 18. Tentukan negasi dari implikasi berikut: “jika Linda makan nasi maka linda kenyang”

19. Perhatikan pernyataan berikut ini : p : Sapi adalah hewan karnivora q : kucing merupakan hewan amfibi Tentukan biimplikasi dari pernyataan diatas! 20. Tentukan nilai kebenaran biimplikasi berikut ini : 2+ 2 = 4 jika dan hanya jika 4 adalah bilangan ganjil.  

21. Tentukan negasi biimplikasi dari kalimat berikut ! “Jakarta adalah Ibukota Singapura jika dan hanya jika Singapura adalah anggota ASEAN”. 22. Tentukan negasi biimplikasi dari kalimat berikut ! “4 adalah faktor dari 2 jika dan hanya jika 2 adalah bilangan genap”.

23. Dari argumentasi berikut : Jika ibu tidak pergi, maka adik senang 23. Dari argumentasi berikut : Jika ibu tidak pergi, maka adik senang. Jika adik senang, maka dia tersenyum. Kesimpulan yang sah adalah .... 24. Diketahui pernyataan : 1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi 2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung 3. Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah ...

25. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari kalimat berikut 25. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari kalimat berikut! Jika hujan turun maka air sungai meluap 26. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi Jika lampu mati maka saya tidak dapat belajar

27. Dari argumentasi berikut : Jika ibu tidak pergi, maka adik senang 27. Dari argumentasi berikut : Jika ibu tidak pergi, maka adik senang. Jika adik senang, maka dia tersenyum. Kesimpulan yang sah adalah .... 28 . Diketahui pernyataan : 1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi 2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung 3. Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah ...

SEKIAN TERIMA KASIH