Analisa Vektor sistem koordinat

Outline Materi Materi 1 Macam-macam sistem koordinat - Sistem loordinat Kartesian - Sitem koordinat silinder - Sistem koordinat Bola Materi 2 Transformasi koordinat - Contoh soal

ISI Pertemuan ini membahas tentang penggunaan sistem koordinat Kartesian, sistem koordinat silinder, sistem koordinat bola, transformasi koordinat dan contoh-contoh soal-soal. Aplikasi dari analisa vektor ini terdapat dalam bidang listrik dan gelombang, mekanika, mekanika teknik, mekanika zat alir dan lain-lain. Setelah menyelesaikan dengan baik marei.

1. Macam-macam sistim koordinat 1.1 Sistim koordinat Kartesian Z z • P(x,y,z) Titik P koordinat Y nya x , y dan z X Elemen volum di titik P : dV = dx dy dz Z dz dy dx P Y X Elemen panjang , dL2 = dx2 + dy2 + dz2

1.2 Sistim koordinat Silinder Z z • P (r ,φ , z) x = r cos φ Y y = r sin φ φ r z = z X Z dφ dz r dφ Elemen volum diferen . P dr sial : dV = r dr dφ dz φ r Y X Elemen garis diferensial dL adalah diagonal melalui P : dL2 = dr2 + (r dφ)2 + dz2

• Vektor satuan ar , aφ dan az = k . .. Z az aφ r z ar y φ X ar ┴ aφ ┴ aZ • Hubungan koordinat Kartesian dengan .. … koordinat silinder : x = r cos φ r = √( x2 + y2) ; r ≥ 0 y = r sin φ φ = atan (y/x) z = z z = z

1.3.Sistim koordinat bola ar aφ θ P• Koordinat titik M .. Θ’ r aθ adalah r , φ dan θ’ .. • .. … M (r, φ, θ’) φ Ke tiga vektor satuan saling tegak lurus , .. ar ┴ aφ ┴ aθ x = r sin θ cos φ ; r = √( x2 + y2 + z2 ); r ≥ 0 y = r sin θ sin φ ; θ = cos-1 (z/(√( x2 + y2 + z2)) z = r cos θ ; ( 00 ≤ θ ≤ 1800 ) … φ = tan-1 (y/x)

Elemen garis diferensial , dL Z dr r sin θ dφ θ P dθ Y φ r dθ X dL2 = dr2 + (r dθ)2 + (r sin θ dφ)2 Elemen volum diferensial , dV dV = r2 sin θ dr dθ dφ

2. Transformasi koordinat 2.1 Transformasi S.K.Kartesian ke S.K.Silin- .. … der Dengan mempergunakan tabel di bawah .. … ini , hasil dari perkalian titik antara dua .. … vektor satuan . Vektor A dalam koordinat Kartesian A = AX i + AY j + AZ k ar aφ aZ i cos φ - sin φ j sin φ k 1

Vektor A dalam koordinat silindris A = Ar ar + Aφ aφ + Az az Cara mencari komponen vektor silindris adalah dengan melakukan “dot product “ antara vektor dalam koordinat Kartesian dengan salah satu vektor satuan dalam koordinat silindris . Sebagai contoh mencari komponen Ar : Ar = (Ar ar + Aφ aφ + AZ aZ ) ● ar Ar = (AX i + AY j + AZ k ) ● ar = AX i ● ar + AY j ● ar + AZ k ● ar Menurut tabel : I ● ar = cos φ j ● ar = sin φ dan k ● ar = 1

sehingga komponen silindris Ar memberikan Ar = AX cos φ + AY sin φ Cara yang sama dihasilkan Aφ dan AZ Aφ = - AX sin φ + AY cos φ AZ = AZ Contoh : Transformasikan ke koordinat tabung vektor B = yi – xj + zk Jawaban : Br = B • ar Br = (yi – xj + zk) • ar = y cos φ - x sin φ = 0 Bφ = (y i – x j + z k) • aφ = (y i – x j) • aφ = - r → B = - raφ + z k

2.2 Transformasi S,K.Kartesian ke S.K.Bola Tabel “ dot product” vektor satuan dalam … S.K. Karrtesian dengan vektor satuan … … ….. dalam S.K.Bola Contoh : Nyatakan medan vektor . W = (x - y) aY dalam koordinat . bola ar aφ a θ i sin θ cos φ cos θ cos φ - sin φ j sin θ sin φ cos θ sin φ cos φ k cos θ - sin θ

Jawaban : W = (x - y) ay W = Wr ar + Wφ aφ + Wθ aθ Wr = (x - y) aY ● ar = (x - y) sin θ sin φ Wφ = (x - y) aY ● aφ = (x - y) cos θ sin φ Wθ = (x - y) aY ● aθ = (x - y) cos φ x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ x – y = r sin θ (cos φ - sin φ ) →

W = r sin θ (cos φ - sin φ ) [sin φ (sin θ ar + W = r sin θ (cos φ - sin φ ) [sin φ (sin θ ar + . cos θ aφ ) + cos φ aθ ]

2. Sistem koordinat silinder (tabung) Rangkuman : 1. Sistem koordinat Kartesiaan . - Elemen garis diferensial , ∆L : . dL2 = dx2 + dy2 + dz2 . - Elemen diferensial volum , dV : . dV = dx dy dz 2. Sistem koordinat silinder (tabung) Z • P (r, φ, Z ) x = r cos φ y = r sin φ z = z Y θ X r

- Elemen garis diferensial , ∆L. ∆L2 = dr 2 + (rdφ)2 + z2 - Elemen garis diferensial , ∆L .. ∆L2 = dr 2 + (rdφ)2 + z2 .. - Elemen diferensial volum ,dV ... dV = r dr dφ dz Transformasi koordinat silinder : ar aφ aZ i cos φ - sin φ j sin φ k 1

- Elemen garis diferensial ,dL . dL2 = dr 2 + (rdθ)2 + (r sinθ dφ)2 3. Sistem koordinat bola - Elemen garis diferensial ,dL . dL2 = dr 2 + (rdθ)2 + (r sinθ dφ)2 - Elemen volum diferensial , dV dV = r2 sin θ dr dθ dφ Z X = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ φ • P(r,φ,θ) r Y θ X

4. Transformasi koordinat bola : ar aφ a θ i sin θ cos φ cos θ cos φ - sin φ j sin θ sin φ cos θ sin φ cos φ k cos θ - sin θ

<< CLOSING>> Setelah mengikuti dengan baik mata kuliah ini , mahasiswa diharapkan sudah mampu menyele- saikan masalah-masalah yang berkaitan dengan analisa vektor ,khususnya yang terkait dengan bidang sistem komputer.