LINEAR PROGRAMING (Bagian 3) Oleh : Junaidi Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Jambi

Contoh Kasus Minimisasi Sebuah perusahaan memproduksi meja & kursi. Biaya untuk memproduksi meja 20 perunitnya dan untuk kursi 8 perunitnya. Untuk memproduksi meja dan kursi tsb dibutuhkan proses perakitan dan pemolesan, dengan rincian waktu sbb: Waktu yg tersedia untuk perakitan 60 jam dan pemolesan 48 jam. Perusahaan tersebut juga telah menjanjikan pada pelanggannya akan membuat paling tidak 2 meja dan paling tidak 4 kursi Dalam menghadapi batasan-batasan tersebut, berapakah meja dan kursi yang harus dibuat dengan tujuan untuk meminimumkan biaya Meja/unit Kursi/unit Total jam ersedia Perakitan 4 2 60 Pemolesan 48

Persoalan tsb dapat kita rumuskan : Minimumkan Z = 20X1 + 2X2 Dengan kendala 4X1 + 2X2  60 2X1 + 4X2  48 X1  2 X2  4 Dimana : X1 = meja dan X2 = kursi

Sebelum pemecahan dengan metode simpleks ketidaksamaan dalam fungsi kendala dijadikan persamaan (tidak perlu dilakukan jika menggunakan program QSB, karena secara otomatis program akan merubah sendiri) sebagai berikut: Z = 20X1 + 2X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 +MA3 + 0S4 + MA4 dengan kendala 4X1 + 2X2 + S1 = 60 2X1 + 4X2 + S2 = 48 X1 - S3 + A3 = 2 X2 – S4 + A4 = 4

Berikut ini adalah tampilan hasil program QSB+ dengan uraian perhitungan dan interpretasi

Kolom basis (kolom program) Initial tableau -------------------------------------------------------------------------- │ │ │M │K │S1 │S2 │S3 │A3 │S4 │A4 │ │ B(i) │ │Basis│C(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ M │ 0│ M │B(i) │A(i,j)│ │S1 │ 0│4.000│2.000│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│60.00│ 0 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │S2 │ 0│2.000│4.000│ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│48.00│ 0 │ │A3 │ M │1.000│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│ 0│ 0│2.000│ 0 │ │A4 │ M │ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│4.000│ 0 │ │ C(j)-Z(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│6.000│ │ Kolom basis (kolom program) Kolom ini berisi variabel-variabel sj, ai dan/atau xj yg menentukan kesimpulan penyelesaian. Pada tabel awal, kolom ini berisi semua variabel slack dan artifisial, tetapi hanya yang memiliki koefisien po- sitif. Ini menyebabkan S3 dan S4 tidak masuk didalamnya

Kolom C(j) (kolom tujuan) Initial tableau -------------------------------------------------------------------------- │ │ │M │K │S1 │S2 │S3 │A3 │S4 │A4 │ │ B(i) │ │Basis│C(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ M │ 0│ M │B(i) │A(i,j)│ │S1 │ 0│4.000│2.000│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│60.00│ 0 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │S2 │ 0│2.000│4.000│ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│48.00│ 0 │ │A3 │ M │1.000│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│ 0│ 0│2.000│ 0 │ │A4 │ M │ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│4.000│ 0 │ │ C(j)-Z(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│6.000│ │ Kolom C(j) (kolom tujuan) Kolom ini berisi koefisien variabel-variabel di dlm fungsi tujuan sesuai dgn yg tercantum di kolom basis. Pada tabel awal ini, koefi- sien variabel slack untuk S1 dan S2 adalah 0 dan untuk artifisial A3 dan A4 adalah M

Kolom X1 – S4 (Kolom-kolom Variabel) Initial tableau -------------------------------------------------------------------------- │ │ │M │K │S1 │S2 │S3 │A3 │S4 │A4 │ │ B(i) │ │Basis│C(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ M │ 0│ M │B(i) │A(i,j)│ │S1 │ 0│4.000│2.000│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│60.00│ 0 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │S2 │ 0│2.000│4.000│ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│48.00│ 0 │ │A3 │ M │1.000│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│ 0│ 0│2.000│ 0 │ │A4 │ M │ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│4.000│ 0 │ │ C(j)-Z(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│6.000│ │ Kolom X1 – S4 (Kolom-kolom Variabel) Kolom ini berisi koefisien variabel-variabel di dlm model. Koefisien koefisien yg terdapat dlm fungsi tujuan diletakkan di bagian atas, se- dangkan koefisien yg terdapat didalam fungsi kendala diletakkan di- sebelah bawah

Kolom B(i) (Kolom Kuantitas) Initial tableau -------------------------------------------------------------------------- │ │ │M │K │S1 │S2 │S3 │A3 │S4 │A4 │ │ B(i) │ │Basis│C(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ M │ 0│ M │B(i) │A(i,j)│ │S1 │ 0│4.000│2.000│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│60.00│ 0 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │S2 │ 0│2.000│4.000│ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│48.00│ 0 │ │A3 │ M │1.000│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│ 0│ 0│2.000│ 0 │ │A4 │ M │ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│4.000│ 0 │ │ C(j)-Z(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│6.000│ │ Kolom B(i) (Kolom Kuantitas) Kolom ini mencerminkan kuantitas masing-masing variabel yg ter- cantum di kolom basis pada tahap penyelesaian yang bersangkutan. Pada tabel awal, kolom ini berisi konstanta-konstanta yang terdapat di ruas kanan persamaan-persamaan kendala (batasan)

Kolom B(i)/A(i,j) (Kolom Rasio Kuantitas) Initial tableau -------------------------------------------------------------------------- │ │ │M │K │S1 │S2 │S3 │A3 │S4 │A4 │ │ B(i) │ │Basis│C(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ M │ 0│ M │B(i) │A(i,j)│ │S1 │ 0│4.000│2.000│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│60.00│ 0 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │S2 │ 0│2.000│4.000│ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│48.00│ 0 │ │A3 │ M │1.000│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│ 0│ 0│2.000│ 0 │ │A4 │ M │ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│4.000│ 0 │ │ C(j)-Z(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│6.000│ │ Kolom B(i)/A(i,j) (Kolom Rasio Kuantitas) Kolom ini berisikan rasio kuantitas yg merupakan hasil bagi antara unsur kolom B(i) atau kolom kuantitas dengan unsur yang bersesu-. aian pd kolom kunci. Pada tabel awal, LP memberikan nilai 0 pada semua unsur pada kolom ini.

Baris ini merupakan indikator optimalitas penyelesaian, berisi selisih Initial tableau -------------------------------------------------------------------------- │ │ │M │K │S1 │S2 │S3 │A3 │S4 │A4 │ │ B(i) │ │Basis│C(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ M │ 0│ M │B(i) │A(i,j)│ │S1 │ 0│4.000│2.000│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│60.00│ 0 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │S2 │ 0│2.000│4.000│ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│48.00│ 0 │ │A3 │ M │1.000│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│ 0│ 0│2.000│ 0 │ │A4 │ M │ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│4.000│ 0 │ │ C(j)-Z(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│6.000│ │ Baris C(j) – Z(j) Baris ini merupakan indikator optimalitas penyelesaian, berisi selisih antara cj dan zj. c(j) yang dimaksud adalah jumlah hasil kali unsur- unsur pada pada kolom c(j) atau kolom tujuan dengan unsur-unsur pada kolom yang bersesuaian. z(j) adalah koefisien fungsi tujuan yang diletakkan di bagian baris atas.

Untuk masalah minimisasi ini penyelesaian dinyatakan optimal jika Initial tableau -------------------------------------------------------------------------- │ │ │M │K │S1 │S2 │S3 │A3 │S4 │A4 │ │ B(i) │ │Basis│C(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ M │ 0│ M │B(i) │A(i,j)│ │S1 │ 0│4.000│2.000│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│60.00│ 0 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │S2 │ 0│2.000│4.000│ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│48.00│ 0 │ │A3 │ M │1.000│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│ 0│ 0│2.000│ 0 │ │A4 │ M │ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│4.000│ 0 │ │ C(j)-Z(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│6.000│ │ Untuk masalah minimisasi ini penyelesaian dinyatakan optimal jika sudah tidak ada lagi unsur bertanda negatif pada baris c(j) – Z(j) ini.

Pada tabel awal, nilai pada baris Big M dibiarkan dengan angka 0, Initial tableau -------------------------------------------------------------------------- │ │ │M │K │S1 │S2 │S3 │A3 │S4 │A4 │ │ B(i) │ │Basis│C(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ M │ 0│ M │B(i) │A(i,j)│ │S1 │ 0│4.000│2.000│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│60.00│ 0 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │S2 │ 0│2.000│4.000│ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│48.00│ 0 │ │A3 │ M │1.000│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│ 0│ 0│2.000│ 0 │ │A4 │ M │ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│4.000│ 0 │ │ C(j)-Z(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│6.000│ │ Baris Big M Pada tabel awal, nilai pada baris Big M dibiarkan dengan angka 0, kecuali pada baris yang berpotongan dengan B(i). Dalam kasus kita angkanya sebesar 6 (atau 6M),yang merupakan hasil perkalian antara C(j) dengan B(i)

Kolom X2 merupakan kolom kunci karena nilai negatif ((Cj – Zj) Iterasi 1 -------------------------------------------------------------------------- │ │ │M │K │S1 │S2 │S3 │A3 │S4 │A4 │ │ B(i) │ │Basis│C(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ M │ 0│ M │B(i) │A(i,j)│ │S1 │ 0│4.000│2.000│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│60.00│30.00 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │S2 │ 0│2.000│4.000│ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│48.00│12.00 │ │A3 │ M │1.000│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│ 0│ 0│2.000│ --- │ │A4 │ M │ 0│1.000│ 0│ 0│ 0│ 0│-1.00│1.000│4.000│4.000 │ │ C(j)-Z(j) │20.00│8.000│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ │ │ * Big M │-1.00│-1.00│ 0│ 0│1.000│ 0│1.000│ 0│6.000│ │ Current objective function value (Min.) = 0 + ( 6 Big M) < Highlighted variable is the entering or leaving variable > Entering: K Leaving: A4 Kolom X2 merupakan kolom kunci karena nilai negatif ((Cj – Zj) nya terbesar yaitu sebesar 8-M (pada maksimisasi kita cari nilai positif terbesar) dan X2 menjadi variabel pendatang (entering). Baris A4 merupakan baris kunci karena rasio kuantitasnya non-nega- tif terkecil, dan A4 menjadi variabel perantau (leaving).

Untuk Tahap-Tahap Selanjutnya Sama dengan Proses yang dilakukan dalam Metode Maksimisasi