Pertemuan # 2 Logika dan Pembuktian Matematika Diskrit Pertemuan # 2 Logika dan Pembuktian

1. 1 LOGIKA Lgika Merupakan studi penalaran Penalaran : cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau pengalaman (Kamus Besar bahasa Indonesia). Logika pertama kali dikembangkan oleh filusuf yunani (Aristoteles, sekitar 2300 tahun lalu) Tinjau Argumen: Semua penegendara sepeda motor memakai helem. Setiap orang yang memakai helem adalah mahasiswa. Jadi,semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa

1.2 Logika simbolik Merupakan penalaran menggunakan bantuan simbol- simbol (notasi) Notasi adalah alat atau perangkat untuk mengekspresikan suatu objek yang dapat berupa benda, kalimat, bilangan, dsb. Contoh 1: Ada sebuah bilangan yang jika di tambahkan dengan 5 menghasilkan 9. Carilah bilangan tersebut..! Penyelesayan : Kalimat tersebut dapat dinyatakan dalam kalimat matematika : x + 5 = 9

1.3 Proposisi Didalam matematika,tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yg digunakan dalam penalaran. PROPOSISI Kalimat deklaratif yg bernilai benar (true )atau Salah (false ), tapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalah dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya. Contoh 2: 6 adalah bilangan genap Palangka raya adalah ibukota negara republik indonesia Bilangan biner digunakan dalam sistem digital Catatan : Semua kalimat tersebut merupakan Proposisi

Proposisi (lanjut…) Contoh 3: Jam Berapa kereta api argo bromo tiba di gambir? Serahkan uangmu sekarang! x + 3 = 8 Catatan : Semua kalimat tersebut bukan merupakan Proposisi Catatan : Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf Kecil seperti, p, q, r,….Misalnya p : 6 adalah bilangan genap q : Hari ini adalah hari senin

Latihan 1. Tentukan apakah kalimat berikut merupakan proposisi atau bukan.! Muh Hatta adalah presiden indonesia pertama. Kehidupan hanya ada di permukaan bumi. Pulau komodo adalah salah satu tempat keajaiban didunia. 12 >= 19 x > 3

1.4 Mengkombinasikan Proposisi Kita dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut Operator Logika Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan Proposisi Majemuk a. Operator Logika Dibaca (indonesia) Dibaca (english) Simbol nama “dan” AND Konjungsi “atau” OR Disjungsi “tidaklah” NOT Negasi “jika … maka …” IF … THEN … Implikasi “… jikadanhanyajika …” IF ONLY IF Bi-implikasi

b. Konjungsi Dua proposisi dihubungkan dengan kata “dan”, ditulis p˄q. Contoh : p : Hari ini cerah q : Aku datang ke rumah mu p dan q : Hari ini cerah dan Aku datang ke rumahmu Proposisi diatas bernilai benar jika hari ini benar2 cerah dan saya datang k rumahmu. Tabel Kebenaran konjungsi B S

c. Disjungsi Dua proposisi dihubungkan dengan kata “or/atau”, ditulis p˅q. Kata (or /atau) dalam disjungsi digunakan dalam 2 cara DISJUNGSI EKSKLUSIF OR INKLUSIF OR Inklusif or : p atau q atau keduanya. Eksklusif or : p atau q tapi bukan keduanya, dilambangkan dengan p q +

c. Disjungsi (Lanjut) Disjungsi secara inklusif or : p atau q bernilai benar jka salah satu dari proposisi atomiknya bernilai benar atau keduanya benar. Disjungsi secara eksklusif or : p atau q bernilai benar hanya jka salah satu dari proposisi atomiknya bernilai benar (bukan keduanya). Tabel Kebenaran disjungsi p q p˅q P q B S +

c. Disjungsi (Lanjut) Contoh : Tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai Bahasa C++ atau Java (Inklusif Or) Pemenang Lomba mendapat hadiah berupa TV atau Uang. (Eksklusif or)

d. Negasi Negasi suatu proposisi p dibaca tidak p atau bukan p. Di tulis ~p . Contoh : p : Jakarta adalah ibu kota Negara RI maka ~p : Jakarta bukan ibu kota Negara RI Tabel Kebenaran Negasi p ~p B S

e. Proposisi bersyarat (Implikasi) Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p, maka q” disebut proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan : p q Proposisi p disebut hipotesis (premis atau kondisi) dan proposisi q disebut konklusi (konsekuen) Contoh : Tabel Kebenaran disjungsi p q P q B S

Implikasi (lanjut…) Contoh 1 : p : Hari ini cerah q : Aku datang ke rumahmu Maka p q : Jika Hari ini cerah, maka aku datang ke rumahmu Contoh 2 : Jika Paris adalah ibukota prancis, maka 1 + 1 =2 Catatan : Implikasi dari contoh 2 diatas bernilai benar karena hipotesisnya benar dan konkulisnya benar.

Implikasi (lanjut…) Beberapa variasi perangkai dasar dari Impliksai yaitu : Invers : (~p ~q) Konvers : (q p) Kontaraposisi : (~q ~p) Tabel nilai Kebenaran Invers,konvers dan kotraposisi 1

Bi-implikasi  

Bi-implikasi (Lanjutan)  

Bi-implikasi (Lanjutan)  

Bi-implikasi (Lanjutan) Tabel Nilai Kebenaran Bi-implikasi 1

Tautologi dan Kontradiksi Definisi: Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus

Tautologi dan Kontradiksi  

Tautologi dan Kontradiksi   1

Tautologi dan Kontradiksi   1

Latihan: Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk lain bi-implikasi! Jika udara di luar panas maka saya membeli es krim, dan jika saya membeli es krim maka udara di luar panas Syarat cukup dan perlu agar saya dapat memenangkan pertandingan adalah saya melakukan banyak latihan

Latihan: Anda lama menonton televisi jika dan hanya jika mata anda lelah Kereta api datang terlambat tepat pada hari- hari ketika saya membutuhkannya

TUGAS NO.1  

TUGAS NO.2 Misalkan p adalah “saya menguasai bahasa pemrograman Java”, q adalah “saya menguasai bahasa pemrograman Pascal, dan r adalah “saya menguasai bahasa pemrograman C++”. Terjemahkan kalimat majemuk berikut kedalam notasi simbolik! Saya menguasai bahasa pemrograman Java atau C++ Saya menguasai bahasa pemrograman Pascal tetapi tidak bahasa pemrograman Java Tidak benar bahwa saya menguasai bahasa pemrograman Java dan C++ Tidak benar bahwa saya menguasai bahasa pemrograman Java, Pascal maupun C++

TUGAS NO.3  

TUGAS NO.4  

TUGAS NO.5 Manakah dari kalimat berikut yang menyatakan “atau” sebagai inclusive or atau exclusive or? Untuk mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, anda harus sudah mengambil mata kuliah kalkulus atau Pengantar Teknologi Informasi Sekolah diliburkan jika banjir melebihi 1 meter atau jika hujan masih belum berhenti Jika anda membeli sepeda motor saat ini, anda mendapat potongan Rp.500.000,- atau voucher BBM sebesar 2% dari harga motor Untuk makan malam, tamu boleh memesan 2 macam sup atau 1 macam bistik

Thank you, see you next week