KALKULUS 2 BY: DJOKO ADI SUSILO

beberapa penggunaan integral taktentu. Teorema Akibat (2) Jika F (x) merupakan suatu antiturunan dari f (x), maka bentuk umum antiturunan atau bentuk umum integral f (x) adalah F (x) + k, dengan ketentuan bahwa k adalah konstanta sebarang. Bentuk umum antiturunan dari f (x) dinyatakan dengan tanda Δx (f (x)| atau Δxf (x), atau Dx-1 (f (x)|, atau f (x). beberapa penggunaan integral taktentu. pengertian integral tektentu atau antiturunan rumus-rumus integral taktentu Definisi (1) Antiturunan atau antiderivatif dari fungsi f ialah fungsi F yang bersifat bahwa F = f Teorema (1) Apabila g dan h adalah fungsi yang bersifat bahwa g (x) = h (x) untuk setiap x  (a,b), maka ada konstanta k sedemikian Sehingga g (x) = h (x) + k untuk setiap x  (a, b).

Beberapa Rumus Dasar Terorama (3) Jika c konstan dan c ≠ -1, maka Δx (xC) = + k Atau  xcdx = + k Teorema (2) Untuk setiap fungsi f yang mempunyai antiturunan, berlaku hubungan Dx Δx f (x) = f (x) atau Teorema (4) Jika c konstan maka  cf (x) dx = cf (x) dx Teorema (5)  (f (x) + g (x)| dx =  f (x) dx +  g (x) dx Teorema (6)  u dv = uv -  vdu  f (x) dx = f (x). x x dx

Rumus-rumus Integral Taktentu ∫ ∫ dx = ln |x| + k. untuk x ≠ 0, dan f f (x) dx = ln |f (x)| + K ∫ du = u + k ∫ c du = c f d ∫ (f + g + …) du = f fdu + f g du + … ∫ udv = uv - f vdu ∫ undu = + k (n ≠ -1)

Bentuk Rasional dalam a + bu 1. [a + bu - a ln |a + bu|] + k 2.∫ = = ½ ( 3. ∫ . (a + bu) 2 - 2a (a + bu) + a2 ln |a + bu|] + k 4. ∫ = ½ [ + ln |a + bu|] + k 5. 6. 7.

Bentuk (a > 0) (a > 0)

bentuk a2  u2 dan a2 – a2

Bentuk

bentuk

Bentuk

Bentuk

Bentuk Trigonometri ∫ sin u du = - cos u + k 6. ∫ sec2 u du = tan u + k 2. ∫ cos u du = sin u + k 7. ∫ sec u tan u du = sec u + k Bentuk Trigonometri 3. ∫ tan u du = - ln |cos u| + k = ln.|sec u| + k 4. ∫ cot u du = ln |sin u| + k = - ln |csc u| + k, 5. ∫ sec u du = ln |sec u + tan u| + k = ln tan

8. ∫ csc u du = - ln |csc u| + cot u + k = ln |tan | + k 9. ∫ csc u cot u. du = -csc u - k 13. ∫ tan2 u du = tan u - u + k 10. ∫ csc u cot u. du = -csc u - k 14. ∫ u2 sin -u du = (2 - u2) cos u + 2u sin u + k 11.∫ sin2 u du = ½ (u - sin u cos u) + k 15. ∫ u cos u du = cos u + u sin u + k 12. ∫ cos2 u du = ½ (u + sin u cos u) + k. 16. ∫ usinudu = sinu - u cos u + k 17. ∫ sec3 u du = ½ sec u tan u + ½ ln sec u + tan u + k + k 18. ∫ sin mu sin nu du = 19. ∫ sin mu cos nu du = + k + k 20. ∫ cos mu cos nu du = 21. ∫ u2 sin -u du = (2 - u2) cos u + 2u sin u + k 22. ∫ u2 cos u du = (u2 - 2) sin u + 2u cos u + k

+ k,jika a>b ∫ sinm-2 u cosn u du ∫ sinm u cosn u du = -

∫ tan-1 u du = u Tan-1 u 2 ln (1 + u2) + k BENTUK BALIKAN TRIGONOMETRI BENTUK EKSPONEN DAN LOGARITMA ∫ sin-1 u du = u sin-1u + u + k ∫ cos-1 u du = u Cos-1 u- u2 + k ∫ tan-1 u du = u Tan-1 u 2 ln (1 + u2) + k ∫ eu du = eu + k ∫ au du = + k 3. ∫ ueu du = eu (u - 1) + k ∫ un eu du = un eu - n∫ un - 1 eu du ∫ ln u du = u ln u - u + k, (u > 0) ∫ un ln u du = un-1 + k, (u > 0) du ∫ = ln |In u| + k, (u > 0)

Beberapa Penggunaan Integral Taktentu Contoh Sebuah peluru ditembakkan gerak lurus ke atas dengan kecepatan letup 300m/dt. Berapakah kecepatan peluru itu pada jarak 2500 meter di atas titik awalnya? a. Persoalan Gerak Lurus Penentuan integral taktentu atau antiturunan fungsi dapat digunakan, untuk menganalisis beberapa macam gerak zarah atau gerak benda. Pada gerak lurus, antara percepatan saat, a (t), kecepatan saat v (t) dan jarak yang telah ditempuh dalam gerak itu, s (t), terdapat hubungan a (t)= Penyelesaian: Dianggap bahwa gesekan atau tekanan udara diabaikan dan percepatan gravitasi 10 m/det2 maka : = -10 (karena arah ke bawah) v (t) = f -10 dt = - 10 t + k1 v (0) = 300, maka kl = 300 v (t) = -10 t + 300 = -10t + 300 s (t)= f (-10 t + 300) dt = -5 t2 + 300 t + k2 S (0) = 0; maka k2 = 0 Jadi S (t) = -5t2 + 300t Pada waktu s (t) = 2500 2500 = -5t2 + 300t 5t2 - 300t + 2500 = 0 t2 - 60t + 500 = 0 (t - 10t) (t - 50) = 0 tl = 10 (detik) dan t2 = 50 (detik) Untuk t = 10 v = (t) = -100 + 300 = 200 (m/det) Untuk t = 50 v = (t) = -500 + 300 = -200 (m/det). dan v(t) = jadi v (t) = ∫ a (dt) dan s (t) = ∫ v (t) dt.

Diandaikan percepatan gravitasi 10 m/det2. maka Contoh: Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan 600 m/det dengan arah yang membentuk sudut (elavasi) sebesar 300. Carilah persamaan gerak lurus itu. Penyelesaian: Diandaikan percepatan gravitasi 10 m/det2. maka b) Persoalan Gerak Lengkung Persamaan gerak lengkung yang sebidang dapat dinyatakan sebagai y f (x) dengan komponen mendatar x = x (t) dan komponen tegak y = y (t). Jika komponen dari v (t) adalah vx (t) dan vy (t) maka x (t) = ∫ vx (t) dt dan y (t) = ∫vy (t) dt = -10 (m/det2), arah tegak, = 0, arah mendatar vx (t) = k1 dan vg (t0 = -10t + k2 vx (0) = 600 cos 30° = 300 √3 vy (0) = 600 sin 30 = 300° Jadi vx (t) = 300 √3 dan vy (t) = -10 t + 300 x (t) = f 300 √3 dt = 300 t √3 + k3 y (t) = f (-10t + 300) dt = -5 t2 + 300 t + k4 Titik tempat penembakan dianggap sebagai titik pangkal koordinat. Maka x (0) = 0 dan y (0) = 0; jadi k3 = 0 dan k4 = 0. Jadi persamaan gerak peluru tersebut adalah z (t) = 300 t √3 dan y (t) = -5t2 + 300 t Pelenyapan variabel t dari kedua persamaan gerak itu menghasilkan persamaan kurva yang merupakan lintasan peluru tersebut.

Contoh: Carilah rumus yang menyatakan besar arus listrik I = I (t) pada saat sebarang t setelah gaya gerak listrik dihilangkan jika diketahui bahwa besar arus awal, pada saat t = 0, adalah I (0) = 20 A dan laju perubahan besar arus mengikuti persamaan = -40 I(t) Penyelesaian: c) Persoalan Arus Listrik Salah satu persoalan arus listrik yang pemencahannya memerlukan penggunaan integral tertentu, misalnya penentuan besarnya anus jika etahui perubahan arus. = 40 (Ingatlah rumus Dx ln |f (x)| = -40 I (t). f(x) Dt ln |I (t)| = -40 ln |I (t)| = f -40 dt In |I (t)| = -40 t + k Karena ln |I (0)| = ln 20, maka k = ln 20 Jadi ln |I (t)| = -40 t + ln 20 Besarnya arus tidak dapat negatif, maka |I (t)| = I (t) jadi ln I (t) = -40 t + ln 20 I (t) = e-40t e = 20 a-40t = -40 I (t). Terdapatlah bahwa besar arus listrik pada saat t (detik) setelah gaya gerak listrik dihilangkan ialah I (t) yang tertentu dengan rumus I (t) = 20 e-40t (Ampere)

Misalkan persamaan kurva itu y = f (x) Contoh Carilah persamaan kurva yang melalui titik T (2, 3) dan yang tanjakannya di titik sebarang P (x, y) sama dengan dua kali absis titik P itu. Penyelesaian: Misalkan persamaan kurva itu y = f (x) Diketahui bahwa Dx (y) = 2 (x). maka y = ∫ 2x dx, y = x2 + k Karena kurva itu melalui titik T (2, 3) maka f (2) = 3 Berarti 3 = 4 + k. Maka k = -1 Jadi persamaan kurva yang ditanyakan (dicari) itu adalah y = x2 - 1 e) Persoalan tentang Fungsi Biaya dalam Bidang Ekonomi Dalam bidang ekonomi ada fungsi biaya, fungsi harga, fungsi pendapatan, fungsi keuntungan dan sebagainya. Yang untuk menentukannya dapat dilakukan dengan integral.

INTEGRAL TERTENTU Limit barisan Notasi jumlah  (sigma) Kita menggunakan lambang untuk menyatakan ungkapan kealjabaran a1 + a2 + … + an dan juga untuk menyatakan jumlah n suku itu. Limit barisan Secara umum didefinisikan limit barisan sebagai berikut. Dikatakan bahwa f (n) berlimit 1 untuk n menjadi besar tak terhingga apabila untuk setiap bilangan positip c ada bilangan asli m sedemikian Sehingga untuk setiap + n yang lebih besar atau sama dengan m berlaku hubungan |f (n) – | <  Jika f (n) berlimit 1 untuk n yang menjadi besar tak terhingga maka untuk menyatakan keadaan itu digunakan tanda f (n) = 