Statistika Deskriptif: Statistik Sampel Bab 3C Statistika Deskriptif: Statistik Sampel

STATISTIKA DESKRIPTIF: ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C STATISTIKA DESKRIPTIF: STATISTIK SAMPEL A. Sampel Acak 1. Populasi dan Sampel Populasi merupakan seluruh data yang menjadi perhatikan di dalam kegiatan kita Sampel acak merupakan sebagian dari data populasi yang ditarik secara acak dari populasi Pada tarikan secara acak setiap anggota populasi memiliki probabilitas sama untuk tertarik ke dalam sampel

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Ada berbagai cara untuk menarik sampel dari populasi (akan dibahas kemudian) dengan berusaha agar sampel adalah representatif (cocok dengan ciri populasi) Pada umumnya, data sampel digunakan untuk membahas atau berbicara tentang data populasi (mengandung kemungkinan keliru) Catatan: Jika seluruh data populasi diperoleh maka hal ini dikenal sebagai sensus Sensus : memperoleh seluruh data populasi Pensampelan: memperoleh sebagian data populasi Tarikan secara acak populasi sampel

Ciri populasi dikenal sebagai parameter ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ 2. Statistik Sampel Ciri populasi dikenal sebagai parameter Ciri sampel dikenal sebagai statistik Parameter Statistik proporsi proporsi rerata rerata variansi variansi simpangan baku simpangan baku kovariansi kovariansi koefisien korelasi koefisien korelasi koefisein regresi koefisien regresi sampel populasi

Biasanya, notasi parameter menggunakan abjad Yunani ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ 3. Notasi Statistik Biasanya, notasi parameter menggunakan abjad Yunani Notasi statistik menggunakan abjad Latin Besaran Parameter Statistiik Ukuran N n Proporsi  p Rerata X Y X Y Variansi 2X 2Y s2X s2Y Simpangan baku X Y sX sY Kovariansi XY sXY Koef korelasi linier XY rXY Koef regresi linier A B a b Perhatikan: rumus untuk variansi, simpangan baku, dan kovariansi berbeda di antara parameter dan sampel

B. Statistik Proporsi 1. Data Politomi ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ B. Statistik Proporsi 1. Data Politomi Rumus proporsi untuk statistik sama saja dengan rumus proporsi untuk parameter Perbedaan terletak pada notasi yakni parameter menggunakan notasi  dan statistik menggunakan notasi p Rumus proporsi Proporsi Batas nilai 0  p  1

Kumulasi proporsi adalah jumlah proporsi di antara rentangan data ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Kumulasi proporsi Kumulasi proporsi adalah jumlah proporsi di antara rentangan data Kumulasi bawah adalah jumlah proporsi secara bertahap dari data terkecil ke terbesar Kumulasi atas adalah jumlah proporsi secara bertahap dari data terbesar ke terkecil Contoh 1. Pada sampel Data X Frek f Prop p Kum baw Kum atas 5 5 0,20 0,20 1,00 8 6 0,24 0,44 0,80 11 9 0,36 0,80 0,56 14 5 0,20 1,00 0,20 25

Data X Frek f Prop p Kum baw Kum atas 67 6 70 3 75 9 80 2 20 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 2. Pada sampel Data X Frek f Prop p Kum baw Kum atas 67 6 70 3 75 9 80 2 20 Contoh 3. Pada sampel Data Y Frek f Prop p Kum baw Kum atas 4 3 5 5 6 10 7 15 8 11 9 6 50

Di samping proporsi untuk 1 (p) terdapat juga proporsi untuk 0 (q) ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ 2. Data Dikotomi Data dikotomi biasanya dinyatakan dengan 0 dan 1 (misalnya 0 gagal dan 1 sukses) Di samping proporsi untuk 1 (p) terdapat juga proporsi untuk 0 (q) p + q = 1 q = 1 – p Contoh 4 Data sampel 1 p = 3 / 5 = 0,6 1 q = 1 – 0,6 = 0,4 1

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 5 Data sampel X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 p q

Di sini hanya dibicarakan rerata hitung ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ C. Statistik Rerata 1. Data Politomi Di sini hanya dibicarakan rerata hitung Kecuali notasi yang berbeda, perhitungan rerata sama dengan perhitungan rerata pada populasi (hal sama juga untuk rerata ukur dan rerata harmonik) Rumus rerata Kalkulator Sama dengan cara pada parameter rerata (cara sama untuk parameter dan statistik rerata)

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 6 Data Sampel X Y 7 10 7 9 X = 40 / 8 = 5 6 9 5 6 Y = 50 / 10 = 5 4 5 4 4 4 3 3 2 1 40 50

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 7 Data sampel Data X Frek f fX 4 3 12 5 5 25 X = 344 / 50 = 6,88 6 10 60 7 15 105 8 11 88 9 6 54 50 344 Contoh 8 Data Y Frek f fY 1 1 2 0 3 5 4 9 Y = 5 15 6 23 7 15 8 17 9 9 10 6

Pada data dikotomi, rerata sama dengan proporsi X = pX Y = py ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ 2. Data Dikotomi Pada data dikotomi, rerata sama dengan proporsi X = pX Y = py Karena itu, biasanya, yang ditampilkan adalah proporsi Contoh 9 Data sampel X Y 1 1 X = pX = 2 / 5 = 0,4 0 1 0 1 Y = pY = 4 / 5 = 0,8 1 1 0 0

D. Statistik Variansi dan Simpangan Baku 1. Data Politomi ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ----------------------------------------------------------------------------- D. Statistik Variansi dan Simpangan Baku 1. Data Politomi (a) Simpangan Simpangan adalah jarak data dengan rerata Simpangan x = X – X y = Y – Y Di atas rerata, nilai simpangan adalah positif Sama dengan rerata, nilai simpangan adalah nol Di bawah rerata, nilai simpangan adalah negatif

Contoh 10 Data sampel X x Y y 7 + 2 10 + 5 7 + 2 9 + 4 6 + 1 9 + 4 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 10 Data sampel X x Y y 7 + 2 10 + 5 7 + 2 9 + 4 6 + 1 9 + 4 5 0 6 + 1 4 – 1 5 0 4 – 1 4 – 1 4 – 1 3 – 2 3 – 2 2 – 3 40 1 – 4 1 – 4 50 X = 40 / 8 Y = 50 / 10 = 5 = 5

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 11. Pada sampel Data X Frek f fX x Data Y Frek f fY y 4 3 1 1 5 5 2 5 6 10 3 9 7 15 4 15 8 11 5 10 9 6 6 25 7 17 8 9 9 6 10 3 Contoh 12 Pada sampel Data X Frek f fX x Data Y Frek f fY y 60 5 400 5 65 8 450 8 70 10 500 10 75 20 550 15 80 25 600 7 85 13 90 9 95 6 100 4

(b) Jumlah Kuadrat Simpangan Jumlah kuadrat simpangan (JK) ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ (b) Jumlah Kuadrat Simpangan Jumlah kuadrat simpangan (JK) Contoh 13 Data sampel X X2 7 49 7 49 nX = 8 6 36 5 25 JK(X) = 216 – (402) / 8 4 16 = 16 4 16 3 9 40 216

Contoh 14. Data sampel Contoh 15. Data sampel ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 14. Data sampel X f fX X2 fX2 4 3 12 16 48 nX = 50 5 5 25 25 125 6 10 60 36 360 JK(X) = 2458 – (3442)/50 7 15 105 49 735 = 91,28 8 11 88 64 704 9 6 54 81 486 50 344 2458 Contoh 15. Data sampel Y Y2 10 9 nY = 9 6 JK(Y) = 5 4 3 2 1

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 16 Data sampel Y f fY Y2 fY2 1 1 2 5 3 9 4 15 5 10 6 25 7 17 8 9 9 6 10 3 nY = JK(Y) =

(c) Statistik Variansi ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ (c) Statistik Variansi Rumus variansi pada statistik sampel agak beda dari rumus variansi pada parameter populasi Perbedaan terletak pada NX untuk parameter variansi tetapi nX – 1 untuk statistik variansi Statistik variansi menggunakan notasi s2 Sebelum menghitung variansi, perlu jelas dulu apakah data itu populasi ataukah sampel

(d) Statistik Simpangan Baku ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ (d) Statistik Simpangan Baku Statistik simpangan baku adalah akar dua positif dari statistik variansi Statistik simpangan baku diberi notasi s Contoh 17 Dari contoh 13 s2X = 16 / (8 – 1) = 2,29 sX = √ 2,29 = 1,51 Dari contoh 14 s2X = 91,28 / (50 – 1) = 1,86 sX = √ 1,86 = 1,36 Dari contoh 15 s2Y = sY = Dari contoh 16 s2Y =

(e) Statistik simpangan baku dengan kalkulator ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ (e) Statistik simpangan baku dengan kalkulator Statistik simpangan baku dapat dihitung dengan bantuan kalkulator elektronik Cara pemasukan data sama dengan cara pada parameter simpangan baku Cara menampilkan simpangan baku berbeda di antara parameter simpangan baku dan statistik simpangan baku Tekan tombol Shift xn – 1 (untuk tampilan sX) Shift yn = 1 (untuk tampilan sY) x2 (untuk variansi) Sebelum menekan tombol simpangan baku, perlu jelas dulu apakah data itu populasi atau sampel

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 18 Dengan anggapan data sampel, melalui bantuan kalkulator, tentukan simpangan baku sampel dan variansi sampel untuk data pada Contoh 11 sX = s2X = sY = s2Y = Contoh 12 sX =

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 19 Data sampel Dengan kalkulator, hitung simpangan baku dan variansi X1 X2 X3 X4 X5 8 5 9 3 6 sX1 = 3 9 4 8 3 s2X1 = 9 10 8 5 8 4 5 3 3 4 sX2 = 8 8 5 9 3 s2X2 = 9 4 8 4 5 4 6 3 7 6 sX3 = 7 4 7 6 7 s2X3 = 4 7 5 1 3 6 3 8 7 5 sX4 = s2X4 = sX5 = s2X5 =

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 20 Data sampel Dengan kalkulator, hitung simpangan baku dan variansi X1 X2 X3 X4 X5 6 7 5 8 7 sX1 = 9 4 7 3 6 s2X1 = 3 8 3 6 4 6 6 4 8 5 sX2 = 7 3 6 4 8 s2X2 = 4 9 8 5 3 3 5 4 7 4 sX3 = 8 3 6 3 5 s2X3 = 4 9 8 7 8 3 5 3 5 3 sX4 = s2X4 = sX5 = s2X5 =

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ 2. Data Dikotomi Pada data dikotomi, rumus statistik variansi dan statistik simpangan baku dapat disederhanakan menjadi Contoh 21 Data sampel X1 X2 0 1 nX1 = 10 pX1 = 0,6 qX1 = 0,4 1 1 1 0 s2X1 = 0,27 sX1 = 0,52 1 0 0 0 0 0 nX2 = 10 pX2 = 0,3 qX2 = 0,7 0 0 s2X2 = 0,23 sX2 = 0,48

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 22 Data sampel X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 p q s2 s

E. Statistik Kovariansi 1. Jumlah Perkalian Simpangan (JP) ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ E. Statistik Kovariansi 1. Jumlah Perkalian Simpangan (JP) Seperti halnya pada parameter JP, di sini pun JP merupakan jumlah dari perkalian pasangan simpangan Pada data X dan Y n = banyaknya pasangan data Nilai JP dapat positif (hubungan searah), nol (tiada hubungan), atau negatif (hubungan berlawanan arah)

Statistik kovariansi agak berbeda dengan parameter kovariansi ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ 2. Statistik Kovarinasi Statistik kovariansi agak berbeda dengan parameter kovariansi Pada parameter kovariansi terdapat N tetapi pada statistik kovariansi terdapat n – 1 Stastiksik kovariansi diberi notasi sXY Sebelum menghitung kovariansi, perlu jelas apakah data itu populasi ataukah sampel

Contoh 23 Data sampel Contoh 24 Data sampel ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 23 Data sampel X Y XY 3 2 6 JP = 82 – (18)(14)/5 = 3,6 4 3 12 6 3 18 7 2 14 sXY = 3,6 / (5 – 1) = 0,9 8 4 32 28 14 82 Contoh 24 Data sampel X Y XY 63 87 50 74 55 76 JP = 65 90 55 85 70 87 64 92 sXY = 70 98 58 82 68 91 52 77 60 78

1. Statistik Koefisien Korelasi Linier ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ F. Statistik Korelasi 1. Statistik Koefisien Korelasi Linier Dikenal juga sebagai koefisien korelasi momen-produk Pearson (Pearson product moment correlation) Koefisien korelasi linier diberikan notasi rXY Kalkulator Caranya sama dengan cara pada parameter koefisien korelasi linier (parameter dan statistik koefisien korelasi linier menggunakan cara yang sama pada kalkulator)

Contoh 25 Data sampel Contoh 26 Data sampel ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 25 Data sampel X Y XY 3 2 6 JP = 82 – (18)(14)/5 = 3,6 4 3 12 sXY = 3,6 / (5 – 1) = 0,9 6 3 18 sX = 2,07 7 2 14 sY = 0,84 8 4 32 28 14 82 rXY = 0,9 / (2,07)(0,84) = 0,52 Contoh 26 Data sampel X Y 63 87 50 74 Dengan kalkulator 55 76 65 90 rXY = 55 85 70 87 sX = 64 92 sY = 70 98 58 82 sXY = rXYsXsY = 68 91 52 77 60 78

2. Statistik Koefisien Korelasi Biserial Titik ----------------------------------------------------------------------------- Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ 2. Statistik Koefisien Korelasi Biserial Titik Salah satu data adalah dikotomi dan data pasangannya adalah politomi Rumus statistik koefisien korelasi biseral titik dalam hal X adalah dikotomi dan Y adalah politomi dengan Y1 = data Y yang berpasangan dengan X = 1 Y0 = data Y yang berpasangan dengan X = 0 p = porporsi dari X = 1 q = proporsi dari X = 0 Y1 = rerata dari Y1 Y0 = rerata dari Y0 Y = simpangan baku dari seluruh Y

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 27 Data sampel X Y Y1 Y0 1 59 59 0 67 67 n = 15 1 63 63 1 65 65 Y1 = 64,25 0 55 55 Y0 = 61,14 1 72 72 0 62 62 sY = 3,78 0 60 60 1 64 64 p = 8 / 15 1 66 66 q = 7 / 15 0 61 61 64,25 – 61,14 1 62 62 rbt = ------------------ √(8/15)(7/15) 0 63 63 3,78 0 60 60 = 0,41

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 28 Data sampel X Y Y1 Y0 1 16 0 12 p = 0 11 q = 1 7 1 15 Y1 = 1 14 Y0 = 0 10 0 11 sY = 1 15 0 9 1 13 rbt = 0 7 1 13 1 11 1 10

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 29 Data sampel X Y Y1 Y0 0 52 1 52 p = 0 44 q = 0 55 1 58 Y1 = 0 52 Y0 = 0 61 0 38 sY = 1 53 0 29 0 40 rbt = 0 40 0 45 1 59 1 57 1 50

Rumus regresi linier pada sampel Ŷ = a + bX ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ G. Statistik Koefisien Regresi Linier 1. Bentuk regresi linier Seperti halnya pada parameter koefisien regresi linier, tetapi dilakukan pada sampel Rumus regresi linier pada sampel Ŷ = a + bX a dan b adalah koefisien regresi b merupakan koefisien arah Pada nilai baku, rumus regresi linier pada sampel adalah zŶ = rXYzX

2. Koefisien regresi linier ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ 2. Koefisien regresi linier Rumus diperoleh melalui jumlah kuadrat residu terkecil Contoh 30 Data sampel X Y X = 5,714 1 3 Y = 5,286 3 2 rXY = 0,833 4 6 sX = 3,559 6 5 sY = 2,338 7 7 b = 0,547 9 6 a = 2,160 10 8 Ŷ = 2,160 + 0,547 X

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 31 Data sampel X Y 30 66 X = 38 54 Y = 38 43 43 42 sX = 34 49 sY = 42 45 31 64 rXY = 32 61 26 61 b = 34 66 a = Ŷ =

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 32 Data sampel X Y 13,9 66 X = 1,9 54 Y = 1,4 43 1,5 42 sX = 5,8 49 sY = 2,7 45 11,2 64 rXY = 8,2 61 7,9 61 b = 10,8 66 a = Ŷ =

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 33 Data sampel X Y 10 76 X = 19 74 Y = 11 77 17 73 sX = 14 74 sY = 24 73 15 75 rXY = 23 71 18 73 b = 21 72 a = 19 72 12 76 Ŷ =

Beberapa alat bantu mencakup Kalkulator elektronik ilmiah ------------------------------------------------------------------------------ Bab 3C ------------------------------------------------------------------------------ G. Alat Bantu Statistika desskriptif digunakan di berbagai bidang termasuk bidang ilmu Ada sejumlah alat bantu yang dapat digunakan oleh statistika deskriptif Beberapa alat bantu mencakup Kalkulator elektronik ilmiah Program komputer, di antaranya, seperti SPSS (Statistical Package for Social Sciences) Statgraph Minitab Statistica SAS Cara pakai mereka tercantum di dalam manual mereka