KOVARIANS DUA PEUBAH ACAK Materi Pokok 25 KOVARIANS DUA PEUBAH ACAK Ukuran Keterikatan Dua Peubah Acak Ambil sepasang peubah acak dan ingin diketahui bagaimana perubahan yang satu berhubungan dengan perubahan yang lainnya misalnya jika X meningkat apakah Y juga ikut meningkat dan jika demikian maka bagaimana kuatnya ketergantungan antara keduanya. Langkah pertama untuk menjawabnya dengan menghitung kovarians. Definisi 25.1 Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak dengan nilai tengah x dan y, kovarians X dan Y adalah Cov(X, Y) = E[(X - x) (Y - y)] Konsep kovarians adalah bentuk umum dari varians karena cov(X, X) = var(X).
Fxy(X, Y) = 8xy, 0 x < y < 1 Teorema 25.1 Untuk peubah acak X dan Y dengan nilai tengah x dan y, maka cov(X, Y) = E(XY) - x y Contoh 25.1 Ambil dua peubah acak kontinu X dan Y yang mempunyai fungsi kepakatan gabungan: Fxy(X, Y) = 8xy, 0 x < y < 1 Hitunglah kovarians X dan Y. Pertama hiutng terlebih dahulu fungsi kepekatan marginal X = fx(x) dan fungsi marginal Y = fy(y).
Hubungan Antara Kovarians dan Sifat Kebebasan Jika peubah acak X dan Y berubah secara bebas dan x - x, y - y bisa positif atau negatif. Teorema 25.2 Jika X dan Y adalah bebas maka cov(X, Y) = 0 dan sebaliknya tidak berlaku sehingga tidak dapat mengatakan karema cov(X, Y) = 0 maka X dan Y bebas. Jika X dan Y bebas maka E(XY) = E(X) . E(Y) = x . y sehingga cov(X, Y) = x - y - x . y = 0 Contoh 25.2 Perhatikan ruang contoh: S = {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)} X = peubah acak komponen pertama Y = peubah acak komponen kedua X(-2, 4) = -2, Y(-2, 4) = 4 dst
Hubungan Antara Kovarians dan Ragam Jumlah Jika X1, X2, …., Xn merupakan himpuanan peubah cak bebas dan ragam X1 + X2 + …. + Xn = jumlah ragam Xi, i = 1, 2, …., n. Teorema 25.3 Misalkan X1, X2, …., Xn adalah himpunan n buah peubah acak dan S = X1 + X2 + …. + Xn maka
Contoh 25.3 Pada model hipergeometrik, misalnya dlam kotak ada N bola yang terdiri dari bola merah r dan bola putih , N = r + . Contoh acak berukuran n diambil tanpa pemulihan dan peubah acak X menyatakan banyaknya bola merah yang terambil dari contoh acak. Tentukan var(X). Setiap penarikan contoh