STATISTIKA INFERENSI : UJI HIPOTESIS (SAMPEL TUNGGAL)

Prosedur Umum Pengujian Hipotesis Secara umum, hipotesis statistik  pernyataan mengenai distribusi probabilitas populasi. Kesalahan jenis pertama (type-I error) adalah bila menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Kesalahan jenis kedua (type-II error) adalah bila menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.

Prosedur Uji hipotesis Pernyataan Hipotesis nol dan hipotesis alternatif Pemilihan tingkat kepentingan ( level of significance ), α Penentuan distribusi yang digunakan Pendefinisian daerah penolakan atau daerah kritis Pernyataan aturan keputusan ( Decision Rule) Perimbangan pada data sampel dan perhitungan rasio sampel Pengambilan keputusan secara statistik

Pernyataan Hipotesis nol dan hipotesis alternatif Hipotesis nol (H0) adalah asumsi yang akan diuji. Hipotesis nol dinyatakan dengan hubungan sama dengan. Jadi hipotesis nol adalah menyatakan bahwa parameter (mean, presentase, variansi dan lain-lain) bernilai sama dengan nilai tertentu. Hipotesis alternatif (H1) adalah hipotesis yang berbeda dari hipotesis nol. Hipotesis alternatif merupakan kumpulan hipotesis yang diterima dengan menolak hipotesis nol.

Contoh Dalam suatu prosedur pengujian hipotesis mengenai mean dari suatu populasi, pernyataan-pernyataan mengenai hipotesis nol sebagai mean populasi bukan 100 secara umum dinotasikan : H0 : µ = 100, H1 : µ ≠100; µ > 100; µ < 100; µ = 120.

Pemilihan tingkat kepentingan ( level of significance ), α Tingkat kepentingan ( level of significance )  menyatakan suatu tingkat resiko melakukan kesalahan dengan menolak hipotesis nol. Dengan kata lain, tingkat kepentingan menunjukkan  probabilitas maksimum yang ditetapkan untuk menghasilkan jenis resiko pada tingkat yang pertama. Dalam prakteknya, tingkat kepentingan yang digunakan adalah 0.1, 0.05 atau 0.01. Jadi dengan mengatakan hipotesis bahwa ditolak dengan tingkat kepentingan 0.05  keputusan itu bisa salah dengan probabitas 0.05.

Penentuan distribusi yang digunakan Sebagaimana dalam masalah estimasi,  pada pengujian hipotesis digunakan distribusi probabilitas teoritis. Meliputi distribusi standart z, distribusi t dan distribusi chi-kuadrat.

Pendefinisian daerah penolakan atau daerah kritis Daerah penolakan atau daerah kritis : bagian daerah dari distribusi sampling yang dianggap tidak mungkin memuat suatu daerah statistik sampel jika hipotesis nol (H0) benar. Sedangkan daerah lainnya disebut  daerah penerimaan. Setelah tingkat kepentingan dinyatakan dan distribusi yang cocok dipilih, dalam tahap ini perlu ditentukan batas-batas penolakan dan batas-batas penerimaan yang dinyatakan dalam satuan standard.

Misalnya yang dinyatakan dalam hipotesis penyamaan populasi. Jika pernyataan dalam mean populasi dalam mean populasi yang dinyatakan dalam hipotesis nol µH0 memiliki nilai yang berada di daerah penolakan ( disebut juga memiliki perbedaan yang berarti (significant differerence )  maka hipotesis nol ditolak.

Pernyataan aturan keputusan ( Decision Rule) Suatu keputusan adalah pernyataan formal mengenai kesimpulan yang tepat yang akan dicapai mengenai hipotesis nol berdasarkan sampel yang merupakan aturan umum dari sebuah keputusan : ‘’Tolak H0 jika perbedaan yang telah di standartkan misalnya antara dan µH0 berada dalam daerah penolakan dan jika sebaliknya terima H0’’.

Perhitungan pada data sampel dan perhitungan Rasio sampel Setelah aturan-aturan dasar ditentukan untuk melaksanakan pengujian, langkah berikutnya adalah menganalisis data aktual. Sebuah sampel dikumpulkan, statistic sample dihitung dan asumsi parameter dilakukan (hipotesis nol). Kemudian suatu rasio uji (RU) dihitung, yang kemudian dijadikan sebagai dasar dalam menentukan apakah hipotesis akan diterima atau ditolak. Rasio uji (RU) : perbedaan antara statistik dan parameter asumsi yang dinyatakan dalam hipotesis nol yang telah distandardkan.

Pengambilan keputusan secara statistik Jika Rasio uji berada di daerah penolakan  maka Hipotesis nol akan ditolak.

Uji Hipotesis dengan Mean Tunggal Pengujian ini dibedakan atas dua jenis yaitu : Uji dua ujung ( two tailed test) Uji satu ujung ( one tailed test). Pada kedua jenis statistik uji tersebut masing-masing dapat dilakukan dengan dua kondisi yaitu  dengan nilai variansi populasi yang diketahui atau tidak diketahui.

Uji Dua Ujung Uji dua ujung (two tailed) adalah uji hipotesis yang menolak hipotesis nol jika statistik sampel secara significant lebih tinggi atau lebih rendah dari pada nilai parameter populasi yang di asumsikan. Dalam hal ini hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya masing-masing : H0 : µ = nilai yang diasumsikan H1 : µ ≠ nilai yang diasumsikan

Dengan uji dua ujung ini maka terdapat dua daerah penolakan. Karena hipotesis nol akan ditolak jika nilai sampelnya terlalu tinggi atau terlalu rendah, maka jumlah total resiko kesalahan dalam menolak hipotesis nol ( disebut juga tingkat kepentingan) sebesar α akan berdistribusi sama pada kedua ujung distribusi. Jadi luas pada setiap daerah penolakan adalah α/2.

Uji dua ujung dan variansi populasi yang diketahui. Jika n >30 atau jika simpangan baku ( deviation standard ) diketahui dan populasi berdistribusi normal maka  dapat digunakan tabel berdistribusi normal standart (tabel z) batas-batas penolakan di tentukan dengan nilai z yang bersesuaian dengan nilai α/2 ujung kiri dan 1- α/2 untuk ujung kanan.

Dalam uji hipotesis, batas penolakan biasanya dinyatakan dengan notasi zα, yang menyatakan nilai numerik pada sumbu z di mana luas daerah di bawah kurva normal bak di sebelah kanan zα dan α. Sebagai contoh untuk α=0.05 daerah penolakan setiap ujung adalah α/2 = 0.05/2 = 0.025. Dengan melihat tabel distribusi normal z dapat ditentukan bahwa nilai z0.025 yang membatasi luas daerah di bawah kurva di sebelah kanannya sebesar 0,025. dengan kata lain luas daerah kurva di sebalah kirinya adalah 0,0975 adalah 1,960. Batas batas penolakan untuk tingkat kepentingan α = 0,05 pada uji dua ujung ini adalah -z0,025= -1,96 dan +z0,025 = +1,96.

Contoh Manager sebuah produk pemasaran sebuah produk aditif bahan bakar mengatakan bahwa jumlah rata-rata produk aktif yang terjual adalah 1500 botol. Seorang karyawan pabrik ingin menguji pernyataan manager pemasaran itu dengan mengambil sampel selama 36 hari dan dia mendapati bahwa jumlah penjualan rata ratanya adalah 1450. Dari catatan yang ada deviasi standard penjualan adalah 120 botol dengan menggunakan tingkat kepentingan 0,01 apakah yang bisa ditarik kesimpulan dari karyawan tersebut?

Hipotesis H0 : µ = 1500 H1 : µ ≠ 1500. Tingkat kepentingan α = 0,01. Karena n =36 >30 maka dapat digunakan distribusi z. Batas daerah penolakan uji dua ujung (two tailed) α = 0,01 maka α/2 = 0,005 dan z0,005. Dari table z didapatkan nilai sebagai berikut z0,005 = ±2,575 Aturan keputusan : Tolak H0 dan terima H1 jika RUz <-2,575 atau RUz > +2,575 dan jika tidak demikian maka terima H0.

Rasio Uji Pengambilan keputusan Karena RUz berada di antara nilai ±2,575 maka H0 diterima Dengan kata lain, pernyataan manager tidak dapat ditolak dengan resiko tingkat kesalahan 0,01.

Uji dua ujung dengan variasi populasi tidak diketahui Pada kenyataanya variansi populasi jarang diketahui. Oleh karena itu uji hipotesis dengan variansi populasi tidak diketahui dilakukan dengan memperhatikan aspek-aspek berikut : Distribusi sampling hanya dapat diasumsikan mendekati bentuk normal (Gaussian) jika ukuran sampel n > 30. Dalam perhitungan rasio uji (RUz) digunakan error standart estimasi s/n dengan s = simpangan baku (standard deviation) sampel. Selanjutnya prosedur dan langkah yang dilakukan sama seperti uji dua ujung dengan variansi yang diketahui.

Uji Satu Ujung Dalam uji satu ujung (one tailed test) hanya ada satu daerah penolakan dan hipotesis nol ditolak hanya jika nilai statistic sample berada dalam daerah ini. Jika daerah penolakan ini berada di ujung distribusi sampling maka uji hipotesisnya disebut ujung kanan (right test tailed ) sedangkan jika berada di ujung kiri disebut berada ujung kiri (left tailed test).

Uji satu ujung variansi populasi diketahui Dalam hal ini hipotesis nol dengan hipotesis alternatifnya adalah : H0 : µ = nilai yang diasumsikan H1 : µ > nilai yang diasumsikan maka uji ujung kanan atau µ < nilai yang diasumsikan maka uji ujung kiri sedangkan aturan pengambilan keputusan uji hipotesis ini adalah : Untuk uji ujung kiri “ Tolak H0 dan terima H1 jika RUz < -zα jika tidak demikian terima H0 Untuk Uji Ujung Kanan “ Tolak H0 dan terima H1 jika RUz > +zα, jika tidak demikian terima H0

Uji satu ujung dengan variansi populasi tidak diketahui Prosedur pengujian hipotesis satu ujung dengan variansi populasi yang tidak diketahui sama dengan prosedur pengujian dengan variansi diketahui dengan memperhatikan aspek-aspek pengujian yang telah dibahas sebelumnya yaitu : Distribusi sampling hanya dapat diasumsikan mendekati normal (Gaussian) jika ukuran sample n > 30. Dalam perhitungan rasio uji RUz digunakan error standart estimasi s/n dengan s adalah simpangan baku (standart deviasi) sampel.

Contoh Pemilik sebuah usaha batu granit mengatakan bahwa rata rata per hari penambang 4500 kg batu granit dari pertambangan milik perusahaannya. Seorang investor curiga angka tersebut dibesar-besarkan untuk menarik investor baru. Kemudian ia mengambil sampel selama 40 hari dan mendapati bahwa rata-rata per hari didapatkan bahwa nilainya adalah 4660 kg dengan standart deviasinya adalah 250 kg. Terbuktikah calon investor tersebut ?

Perlu di ketahui bahwa uji hipotesis harus diuji dengan satu ujung untuk mengetahui apakah rata-rata sesungguhnya kurang dari rata-rata yang diasumsikan untuk uji hipotesis maka dilakukan dengan langkah sebagai berikut : Hipotesis H0 : µ = 4500 H1 : µ < 4500. Tingkat signifkansi / tingkat kepentingan α = 0,01 ( misalnya dipilih tingkat kepentingan 1%). Karena n = 40 > 30 maka digunakan distribusi z. Batas daerah penolakan ujung kiri : α = 0,01. Dari tabel distribusi normal dengan z pada tabel didapatkan nilai -2,325.

Aturan keputusan Tolak H0 dan terima H1 jika RUz < - 2,325 jika tidak demikian maka terima H1. Rasio Uji Pengambilan keputusan Karena RUz > -2,325 maka H0 diterima. Hal ini berarti klaim pemilik tambang dapat diterima dengan resiko tingkat kesalahan 0,01.

Nilai-p dan uji hipotesis Suatu nilai-P didefinisikan sebagai nilai tingkat kepentingan yang teramati yang merupakan nilai tingkat signifikan terkecil di mana hipotesis nol akan ditolak apabila suatu prosedur pengujian hipotesis tertentu pada data sampel. Dengan demikian nilai-P diperoleh dengan cara menentukan nilai tingkat kepentingan yang bersesuaian dengan nilai rasio uji hasil perhitungan.

Setelah nilai-P diperoleh maka penarikan kesimpulan dalam uji hipotesis dilakukan dengan cara membandingkan nilai-P tersebut dengan tingkat kepentingan α yang telah ditentukan sebelumnya dengan kriteria sebagai berikut : Jika nilai- P  α maka hipotesis nol diterimauntuk tingkat kepentingan α, Jika nilai-P < α maka hipotesis nol ditolak dengan tingkat kepentingan α.

Contoh : Uji Hipotesis dengan nilai-p

Penggunaan nilai-p dalam uji hipotesis Ho :  = 60 versus H1 :   60 Tingkat signifikansi α = 5 % Ho ditolak jika nilai-p lebih kecil dari 5 % dan jika sebaliknya Ho diterima. Karena nilai-p = 0,6741 sehingga lebih besar dari 5 % berarti Ho diterima artinya rata-rata populasi sama dengan 60.

Ho :  = 40 H1 :   40 Tingkat signifikansi α = 5 % Ho ditolak jika nilai-p lebih kecil dari 5 % dan jika sebaliknya Ho diterima. Karena nilai-p = 1,331 × 10-7 sehingga lebih besar dari 5 % berarti Ho ditolak artinya rata-rata populasi tidak sama dengan 40.

Uji Hipotesis Variansi dengan Sampel Tunggal

LATIHAN SOAL ESTIMASI & UJI HIPOTESIS SAMPEL TUNGGAL

Soal 1

Soal 2

Soal 3

Soal 4

Soal 5

TUGAS

SOAL 1

SOAL 2

SOAL 3

SOAL 4

TERIMA KASIH