METODE NUMERIK Sistem Persamaan Linier (SPL) (2) Pertemuan ke – 8 Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom www.rkhacademy.com/wp

Penyelesaian SPL untuk n > 3 Eliminasi Eliminasi Gauss Gauss-Jordan Iterasi Gauss-Seidel Jacobi Successive Over Ralaxation (SOR) Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom www.rkhacademy.com/wp

ELIMINASI GAUSS (EG) Prinsipnya: merupakan operasi eliminasi dan substitusi variabel-variabelnya sedemikian rupa sehingga dapat terbentuk matriks segitiga atas, solusinya diselesaikan menggunakan teknik substitusi balik (backsubstitution). Prosedur penyelesaian metode Eliminasi Gauss adalah mengurangi sistem persamaan ke dalam bentuk segitiga sedemikian hingga salah satu dari persamaan tersebut hanya mengandung satu variabel (bilangan tak diketahui).

LANGKAH EG Ubahlah sistem persamaan linier tersebut menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n + 1) Periksalah elemen-elemen pivot. Apakah ada yang bernilai nol? Jika ada elemen diagonal yang bernilai nol, aii = 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (Pi) (Pj) dimana j = i + 1, i + 2, ..., n , sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol.

Proses triangularisasi. Lakukanlah operasi berikut: dimana j = i +1, i + 2, . . . , n. Maka matrik augment akan menjadi : Hitung nilai xn dengan cara : Lakukan lah proses substitusi mundur untuk memperoleh xn-1, xn-2, . . . , x1

ELIMINASI GAUSS JORDAN (EGJ) Eliminasi Gauss-Jordan prinsipnya: mirip sekali dengan metode Eliminasi Gauss metode pengembangan metode eliminasi gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Iterasi Jacobi Gauss-Seidel Successive Over Ralaxation (SOR)

JACOBI Metode Jacobi prinsipnya: merupakan metode iteratif yang melakuakn perbaharuan nilai x yang diperoleh tiap iterasi (mirip metode substitusi berurutan, successive substitution).

Dalam sistem dengan 3 persamaan dan 3 peubah a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 Dimana perrtama dignakan untuk menghitung x1 sebagai fungsi x2 dan x3. demikian pula persamaan kedua dan ketiga untuk menghitung x2 dan x3

Prosedur diulang hingga nilai variabel pada iterasi ke-n mendekati nilai iterasi ke n-1, dimana n adalah indek iterasi

Iterasi hitungan berakhr setelah : dan Atau dipenuhi kriteria berikut :

GAUSS - SEIDEL Metode Gauss-Seidel, prinsipnya: mirip metode Jacobi, namun melibatkan perhitungan implisit. 

Dimana nilai-nilai yang baru dihasilkan dari tahap sebelumnya langsung digunakan untuk menghitung persamaan berikutnya.

Metode Successive Over Ralaxation (SOR) Metode Successive Over Relaxation (SOR), prinsipnya: merupakan perbaikan secara langsung dari Metode GaussSeidel dengan cara menggunakan faktor relaksasi (faktor pembobot) pada setiap tahap/proses iterasi.