Metode Eliminasi Gauss Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Metode Numerik Ir. Kutut Suryopratomo, MT, MSc Teknik Fisika, Universitas Gadjah Mada

Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem Persamaan Linier (SPL) banyak dijumpai dalam keteknikan, terlebih saat berurusan dengan penyelesaian persamaan diferensial parsial. SPL melibatkan n persamaan dengan n variabel (xi) yang harus ditentukan nilainya:

Sistem Persamaan Linier SPL bisa ringkas ditulis dalam bentuk matriks:

Metode2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Metode penyelesaian SPL secara umum ada 2 macam, yaitu: Metode eliminasi: Gauss Gauss-Jordan Dekomposisi LU Metode iterasi: Jacobi Gauss-Seidel

Metode2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Di sini hanya akan dibahas 3 metode dari semua yang disebutkan tadi, yaitu: Metode Eliminasi Gauss Metode Dekomposisi LU Metode Iterasi Gauss-Seidel

Ide Dasar Metode Eliminasi Gauss Metode ini bekerja 2 tahap: Eliminasi elemen diagonal bawah Substitusi mundur

Ide Dasar Metode Eliminasi Gauss Tahap eliminasi untuk menolkan semua elemen diagonal bawah: Eliminasi ini dilakukan bertahap per kolom dari j=1 ke (n-1) dan dari baris i=(j+1) ke n.

Ide Dasar Metode Eliminasi Gauss Eliminasi kolom 1. Caranya: [elemen baris i=2..n] dikurangi [elemen baris 1 yg diboboti dg faktor (ai1/a11)]

Ide Dasar Metode Eliminasi Gauss Eliminasi kolom 2. Caranya: [elemen baris i=3..n] dikurangi [elemen baris 2 yg diboboti dg faktor (ai2/a22)]

Ide Dasar Metode Eliminasi Gauss Eliminasi kolom 3. Caranya: [elemen baris i=4..n] dikurangi [elemen baris 3 yg diboboti dg faktor (ai3/a33)]

Ide Dasar Metode Eliminasi Gauss Eliminasi kolom k=4..(n-1) dilakukan dengan cara serupa: [elemen baris i=(k+1)..n] dikurangi [elemen baris 3 yg diboboti dg faktor (aik/akk)]

Ide Dasar Metode Eliminasi Gauss Tahap substitusi mundur:

Catatan Tambahan: Determinan = hasil kali elemen2 diagonal: Matriks hasil eliminasi bisa digunakan untuk menghitung determinan. Determinan = hasil kali elemen2 diagonal:

Contoh: Tabel data Waktu, t (detik) Kecepatan, v (m/s) 5 106,8 8 177,2 Tabel merekam data kecepatan roket pada tiga saat waktu. Kecepatan bisa dimodelkan dengan polinom orde-2: v(t)=a0+a1.t+a2t2 Dengan persamaan ini bisa ditentukan kecepatan pada waktu sembarang dalam rentang 5-12 detik. Waktu, t (detik) Kecepatan, v (m/s) 5 106,8 8 177,2 12 279,2

Contoh: Sebaran data

Contoh: Sistem Persamaan Linier

Contoh: Eliminasi kolom 1 (diagonal bawah) Baris 2 dikurangi baris 1 yang dibobot dengan a21/a11 = 1/1 = 1.

Contoh: Eliminasi kolom 1 (diagonal bawah) Baris 3 dikurangi baris 1 yang dibobot dengan a31/a11 = 1/1 = 1.

Contoh: Eliminasi kolom 2 (diagonal bawah) Baris 3 dikurangi baris 2 yang dibobot dengan a32/a22 = 7/3.

Contoh: Substitusi balik Hitung ai mulai dari baris 3 ke 1: 28.a2 = 8,1333 a2 = 8,1333/28 = 0,290476 3.a1+29.a2 = 3.a1+29.(0,290476) = 70,4 a1 = 19,69048 a0+5.a1+25.a2 = 106,48 a0 = 1,085714

Contoh: Persamaan hasil Hubungan kecepatan dan waktu dalam rentang waktu 5 sampai 12 detik adalah:

Teknik Penumpuan (pivoting) Untuk mengatasi kemungkinan terjadinya elemen diagonal menjadi nol, dan untuk mengurangi error pembulatan.

Teknik Penumpuan Teknik penumpuan dilakukan pra eliminasi tiap kolom. Penumpuan dilakukan untuk memastikan elemen diagonal memiliki nilai mutlak terbesar. Jika nilai elemen diagonal suatu kolom lebih kecil dari elemen baris bawahnya pada kolom yang sama, maka pertukarkan kedua baris tersebut sebelum dilakukan eliminasi.

Teknik Penumpuan Teknik ini lebih akan mudah dipahami melalui contoh. Berikut adalah SPL yang akan diselesaikan.

Teknik Penumpuan Tanpa penumpuan, SPL setelah eliminasi kolom 1 menjadi: dengan elemen diagonal kedua nol sehingga tidak ada penyelesaiannya. Ini bisa dihindari dengan penumpuan.

Teknik Penumpuan Pra eliminasi kolom 1, pastikan nilai elemen diagonal di kolom 1 (yaitu a11) adalah yang terbesar. Di sini a11 = 12, sementara di bawahnya (pada kolom 1 juga) nilai elemen terbesar adalah 24 (baris 3). Supaya 24 jadi tumpuan (pivot) eliminasi, maka baris 1 semua elemennya dipertukarkan dengan baris 3.

Teknik Penumpuan Hasilnya:

Teknik Penumpuan Eliminasi kolom 1 (baris 2 dikurang [a21/a11] * baris 1, dan baris 3 dikurang [a31/a11] * baris 1) akan menghasilkan:

Teknik Penumpuan Pra eliminasi kolom 2 pastikan nilai elemen diagonal di kolom 2 (yaitu a22) adalah yang terbesar. Di sini a22 = 5,25, sementara di bawahnya (pada kolom 2 juga) nilai elemen terbesar adalah 10,5 (baris 3). Supaya 10,5 jadi tumpuan eliminasi, maka baris 2 semua elemennya dipertukarkan dengan baris 3.

Teknik Penumpuan Hasilnya:

Teknik Penumpuan Eliminasi kolom 2 (baris 3 dikurang [a31/a11] * baris 1) akan menghasilkan:

Teknik Penumpuan Hitung xi mulai dari baris 3 ke 1: 6,5.x3 = 6,5 x3 = 6,5/6,5 = 1 10,5.x2-9,5.x3 = 10,5.x2-9,5.(1) = 1 x2 = 1 24.x1-1.x2+5.x3 = 28 x1 = 1