STATISTIK 1 Pertemuan 9: Ukuran Kemencengan dan Keruncingan Dosen Pengampu MK: Evellin Lusiana, S.Si, M.Si

UKURAN KEMENCENGAN KURVA Ukuran kemencengan kurva adalah derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan suatu distribusi data Ukuran kemencengan kurva daapat dihitung dengan rumus-rumus berikut: Rumus Pearson Rumus Momen Rumus Bowley

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON) Mean = Median = Modus Mean > Median > Modus Mean < Median < Modus Kurva Condong ke Kiri Kurva Condong ke Kanan Kurva Normal Positive Skew Negative Skew Data Lebih Kecil Data Lebih Besar

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON) Kelas Frekuensi A B C D 2,5 - 7,5 2 1 7,5 - 12,5 4 9 10 12,5 - 17,5 6 8 17,5 - 22,5 3 22,5 - 27,5 27,5 - 32,5 32,5 - 37,5 N 33 Mean 20 16,52 23,48 Median 15 25 Modus - 30

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON) Pada kelompok A, data menyebar secara normal, sehingga histogram yang terbentuk mengikuti kurva normal. Informasi yang dapat diambil dari tabel frekuensi tersebut adalah mean = med = mod = 20

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON) Pada kelompok B, data simetris kanan & kiri, sehingga histogram yang terbentuk bersifat simetris. Informasi yang dapat diambil dari tabel frekuensi tersebut adalah mean = median = 20, memiliki 2 modus

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON) Pada kelompok C, data lebih menyebar ke data yang lebih kecil, sehingga histogram yang terbentuk panjang ke kanan. Informasi yang dapat diambil dari tabel frekuensi tersebut adalah mean (16,52) > med (15) > mod (10)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON) Pada kelompok D, data lebih menyebar ke data yang lebih besar, sehingga histogram yang terbentuk panjang ke kiri. Informasi yang dapat diambil dari tabel frekuensi tersebut adalah mean (23,48) < med (25) < mod (30)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON) K = ukuran kemencengan Mo = modus = rata-rata Apabila K bernilai positif, maka keragaman disebut dengan positive skew/right-skewed (ekor bagian kanan lebih panjang). Sebaliknya, apabila K bernilai negatif, maka keragaman disebut dengan negative skew/left-skewed (ekor bagian kiri lebih panjang)

DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON) CK = koefisien kemencengan S = simpangan baku Mod = modus Med = median = rata-rata CK = 0 Distribusi data simetris CK < 0 Distribusi data menceng ke kiri CK > 0 Distribusi data menceng ke kanan

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON) – data tunggal Contoh: Berikut ini adalah waktu tunggu (dalam menit) 20 pelanggan di restoran ABC saat malam minggu untuk memperoleh meja. 28 39 23 67 37 56 40 50 51 45 44 65 61 27 24 34

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON) – data tunggal Mean= = 28.6 Modus=28 Standar deviasi = S =14.19 Ukuran kemencengan Pearson K= 28.6 – 28 = 0.6 Koefisien kemencengan (CK)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON) – data kelompok Contoh Diberikan data tinggi badan karyawan suatu perusahaan. Tentukan besarnya kemencengan kurva dari data tersebut Kelas Frekuensi (fi) 93 – 97 2 98 – 102 10 103 – 107 12 108 – 112 113 – 117 7 118 – 122 4 123 – 127 3 128 – 132 1 133 – 137 138 – 142

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON) Ukuran data dari tabel frekuensi tersebut adalah Mean = = 109,6 Median = Med = 108 Modus = Mod = 105 Standar Deviasi = S = 9,26 Ukuran kemencengan Pearson adalah K = 109.6 – 105 = 4.6. Koefisien kemencengan (CK) adalah

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS BOWLEY) K = ukuran kemencengan Q1 = kuartil pertama Q2 = kuartil kedua Q3 = kuartil ketiga

DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS BOWLEY) CK = koefisien kemencengan K = ukuran kemencengan Q1 = kuartil pertama Q2 = kuartil kedua Q3 = kuartil ketiga

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS BOWLEY) – data tunggal Contoh: Berikut ini adalah waktu tunggu (dalam menit) 20 pelanggan di restoran ABC saat malam minggu untuk memperoleh meja. 28 39 23 67 37 56 40 50 51 45 44 65 61 27 24 34

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS BOWLEY) – data tunggal Q1= 28 Q2=42 Q3=54.75 Ukuran kemencengan Bowley Koefisien kemencengan (CK)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS BOWLEY) Contoh Diberikan data tinggi badan karyawan suatu perusahaan. Tentukan besarnya kemencengan kurva dari data di atas. Kelas Frekuensi (fi) 93 – 97 2 98 – 102 10 103 – 107 12 108 – 112 113 – 117 7 118 – 122 4 123 – 127 3 128 – 132 1 133 – 137 138 – 142

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS BOWLEY) Ukuran data dari tabel frekuensi tersebut adalah Q1 = 102,71 Q2 = 108 Q3 = 116 Ukuran kemencengan Bowley adalah Koefisien kemencengan (CK) adalah

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Konsep Rata-rata dan varians sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok ukuran lain yang disebut momen. Momen juga dapat digunakan sebagai cara untuk mengukur ketidaksimetrisan terhadap distribusi data dalam suatu variabel. Lambang Momen dapat ditulis “ Mr (momen ke-r) “

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Momen Data Tunggal Momen Data Berkelompok Untuk r = 1, maka M1 (momen pertama) = mean Untuk r = 2, maka M2 (momen kedua) = varians Untuk r = 3, maka M3 (momen ketiga) = kemencengan Untuk r = 4, maka M4 (momen keempat) = keruncingan

DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Data Tunggal α3 = koefisien kemencengan M3 = momen ketiga, mengukur kemencengan S3 = simpangan baku n = banyaknya data pengamatan Xi = data frekuensi ke-i = rata-rata aritmatika atau mean

DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Data Berkelompok α3 = koefisien kemencengan M3 = momen ketiga, mengukur kemencengan S3 = simpangan baku n = banyaknya data pengamatan k = banyaknya kelas fi = frekuensi kelas ke-i = rata-rata hitung atau mean

DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Data Berkelompok α3 = koefisien kemencengan M3 = momen ketiga, mengukur kemencengan S3 = simpangan baku n = banyaknya data pengamatan k = banyaknya kelas c = besarnya kelas interval fi = frekuensi kelas ke-i di = simpangan kelas ke-I terhadap titik asal asumsi = rata-rata hitung atau mean

DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Jika α3 = 0, maka distribusi datanya simetris. Jika α3 < 0, maka distribusi datanya menceng ke kiri. Jika α3 > 0, maka distribusi datanya menceng ke kanan.

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN) – data tunggal Contoh: Berikut ini adalah waktu tunggu (dalam menit) 20 pelanggan di restoran ABC saat malam minggu untuk memperoleh meja. 28 39 23 67 37 56 40 50 51 45 44 65 61 27 24 34

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN) – data tunggal   Xi  1 28 -14.6 213.16 -3112.136  2 39 -3.6 12.96 -46.656  3 23 -19.6 384.16 -7529.536  4 67 24.4 595.36 14526.784  5 37 -5.6 31.36 -175.616  6  7 56 13.4 179.56 2406.104  8 40 -2.6 6.76 -17.576  9  10 50 7.4 54.76 405.224  11 51 8.4 70.56 592.704  12 45 2.4 5.76 13.824  13 44 1.4 1.96 2.744  14 65 22.4 501.76 11239.424  15 61 18.4 338.56 6229.504  16 27 -15.6 243.36 -3796.416  17 24 -18.6 345.96 -6434.856  18  19 34 -8.6 73.96 -636.056  20 Jumlah 852 0.00 3826.8 13675.44 Mean 42.6

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN) – data kelompok Contoh Berikut ini data tinggi badan 50 siswa dalam suatu sekolah. Tentukan ukuran kemencengan data tersebut.  Kelas Frekuensi (fi) 93 – 97 2 98 – 102 10 103 – 107 12 108 – 112 113 – 117 7 118 – 122 4 123 – 127 3 128 – 132 1 133 – 137 138 – 142  Jumlah 50

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Jawaban  Kelas Frekuensi  (fi) Nilai Kelas (Xi)  93 – 97 2 95 -29.2 426 -6224 98 – 102 10 100 -96 922 -8847 103 – 107 12 105 -55.2 254 -1168 108 – 112 110 4 1 113 – 117 7 115 37.8 204 1102 118 – 122 120 41.6 433 4499 123 – 127 3 125 46.2 711 10957 128 – 132 130 20.4 416 8490 133 – 137 135 138 – 142 140 30.4 924 28094  Jumlah 50   4292 36904

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Jadi kurva yang terbentuk akan memiliki ekor yang menceng ke kanan (α3 > 0)

UKURAN KERUNCINGAN KURVA Konsep Ukuran keruncingan kurva adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Ukuran keruncingan kurva erat kaitannya dengan kurva normal Nama Lain Ukuran keruncingan kurva disebut kurtosis.

UKURAN KERUNCINGAN KURVA Jenis Kurtosis terdiri dari: Leptokurtis, puncak kurva tinggi Mesokurtis, puncak kurva normal Platikurtis, puncak kurva rendah

UKURAN KERUNCINGAN KURVA Leptokurtik Mesokurtik Platikurtik

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Momen Data Tunggal Momen Data Berkelompok Untuk r = 1, maka M1 (momen pertama) = mean Untuk r = 2, maka M2 (momen kedua) = varians Untuk r = 3, maka M3 (momen ketiga) = kemencengan Untuk r = 4, maka M4 (momen keempat) = keruncingan

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Data Tunggal α4 = koefisien kemencengan M4 = momen ketiga, mengukur kemencengan S4 = simpangan baku n = banyaknya data pengamatan Xi = data frekuensi ke-i = rata-rata aritmatika atau mean

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Data Berkelompok α4 = koefisien kemencengan M4 = momen keempat, mengukur kemencengan S4 = simpangan baku n = banyaknya data pengamatan k = banyaknya kelas fi = frekuensi kelas ke-i = rata-rata hitung atau mean

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Data Berkelompok α3 = koefisien kemencengan M3 = momen ketiga, mengukur kemencengan S3 = simpangan baku n = banyaknya data pengamatan k = banyaknya kelas c = besarnya kelas interval fi = frekuensi kelas ke-i di = simpangan kelas ke-I terhadap titik asal asumsi = rata-rata hitung atau mean

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Jika α4 > 3, maka bentuk kurva leptokurtis (meruncing) Jika α4 = 3, maka bentuk kurva mesokurtis (normal) Jika α4 < 3, maka bentuk kurva platikurtis (mendatar)

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN) – data tunggal Contoh: Berikut ini adalah waktu tunggu (dalam menit) 20 pelanggan di restoran ABC saat malam minggu untuk memperoleh meja. 28 39 23 67 37 56 40 50 51 45 44 65 61 27 24 34

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN) – data tunggal   Xi  1 28 213.16 -3112.136 45437.1856  2 39 12.96 -46.656 167.9616  3 23 384.16 -7529.536 147578.9056  4 67 595.36 14526.784 354453.5296  5 37 31.36 -175.616 983.4496  6  7 56 179.56 2406.104 32241.7936  8 40 6.76 -17.576 45.6976  9  10 50 54.76 405.224 2998.6576  11 51 70.56 592.704 4978.7136  12 45 5.76 13.824 33.1776  13 44 1.96 2.744 3.8416  14 65 501.76 11239.424 251763.0976  15 61 338.56 6229.504 114622.8736  16 27 243.36 -3796.416 59224.0896  17 24 345.96 -6434.856 119688.3216  18  19 34 73.96 -636.056 5470.0816  20 Jumlah 852 3826.8 13675.44 1345192.46 Mean 42.6 Jadi kurva yang terbentuk adalah kurva platikurtis (α4 < 3)

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN) – data kelompok Contoh Berikut ini data tinggi badan 50 siswa dalam suatu sekolah. Tentukan ukuran keruncingan data tersebut.  Kelas Frekuensi (fi) 93 – 97 2 98 – 102 10 103 – 107 12 108 – 112 113 – 117 7 118 – 122 4 123 – 127 3 128 – 132 1 133 – 137 138 – 142  Jumlah 50

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN)  Kelas Frekuensi  (fi) Nilai Kelas (Xi)  93 – 97 2 95 -6224 90874 98 – 102 10 100 -8847 84935 103 – 107 12 105 -1168 5373 108 – 112 110 1 113 – 117 7 115 1102 5952 118 – 122 4 120 4499 46794 123 – 127 3 125 10957 168735 128 – 132 130 8490 173189 133 – 137 135 138 – 142 140 28094 854072  Jumlah 50   36.904 1429924

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN) Jadi kurva yang terbentuk adalah kurva leptokurtis (α4 > 3)

Tugas Kelompok [1] Diketahui data mengenai jumlah pengeluaran untuk hiburan selama tiga bulan dari 25 mahasiswa sebagai berikut (satuan dalam ribuan rupiah). Tentukan ukuran kemencengan (Pearson, Bowley, Momen) dan ukuran keruncingan kurva data tersebut. 684 731 698 737 696 763 711 693 738 710 736 723 717 721 681 722 701 697 688 768 743 752 685

Tugas Kelompok [2] Persentase penduduk berumur 20 tahun ke atas yang bekerja menurut jam kerja selama seminggu. Hitunglah ukuran kemencengan (rumus momen) dan keruncingan kurva dari data tersebut Jam Kerja Persentase 0 – 9 3 10 – 19 7 20 – 29 20 30 – 39 15 40 – 49 30 50 – 59 10 60 – 69