Logic and Computer Design Fundamental Chapter 2 Rangkaian Logika Kombinasi Bagian 1 : Rangkaian Gerbang dan Persamaan Boolean M. Mano & Charles R. Kime 2008, Pearson Education, Inc

Overview Bagian 1 – Rangkaian Gerbang dan Persamaan Boolean. Logika Biner dan Gerbang Aljabar Boolean Standard Forms Bagian 2 – Optimasi Rangkaian Optimasi 2 – level Manipulasi Peta Optimasi Praktis (Espresso) Optimasi Rangkaian Multi-Level Bagian 3 – Gerbang2 tambahan dan rangkaian Tipe2 gerbang yang lain Operator Exclusive-OR dan Gerbang Outputs High-Impedance

Logika Biner dan Gerbang Variabel Biner : salah satu dari 2 nilai Operator Logika : Beroperasi pada nilai biner dan variabel biner. Dasar operator logika adalah merupakan fungsi logika AND, OR and NOT. Gerbang Logika mengimplementasikan fungsi logika Aljabar Boolean : Suatu sistem matematika yang sangat berguna untuk menspesifikasikan dan mentransformasikan fungsi Aljabar Boolean dipakai sebagai dasar untuk mendesain dan menganalisa sistem digital.

Variabel Biner. Dua nilai biner disebut dengan beberapa nama berbeda: True/False On/Off Yes/No 1/0 Digunakan 1 dan 0 untuk menyatakan 2 nilai. ContohVariable identifier : A, B, y, z, or X1 RESET, START_IT, atau ADD1 (y.a.d)

Operasi Logikal Tiga dasar operasi logikal adalah: AND OR NOT AND dinyatakan dengan titik (·). OR dinyatakan dengan tambah (+). NOT dinyatakan dengan overbar ( ¯ ), single quote mark (') sesudah, atau (~) sebelum variabel.

Contoh: Contoh: Catatan: Pernyataan: tidak sama dengan : dibaca “Y adalah : A AND B.” dibaca “z adalah : x OR y.” dibaca “X adalah : NOT A.” Y = A × B y x z + = A X Catatan: Pernyataan: 1 + 1 = 2 (dibaca “one plus one equals two”) tidak sama dengan : 1 + 1 = 1 (read “1 or 1 equals 1”).

Definisi Operator 0 · 0 = 0 0 + 0 = 0 = 1 0 · 1 = 0 0 + 1 = 1 Operasi penerapan untuk nilai "0" and "1" untuk masing2 operator : AND   0 · 0 = 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 1 · 1 = 1 OR 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 NOT 1 =

Truth Tables/Tabel Kebenaran Truth table - Suatu daftar tabular dari nilai suatu fungsi untuk semua kemungkinan kombinasi. Contoh: Truth tables untuk operasi dasar : 1 Z = X·Y Y X AND OR X Y Z = X+Y 1 1 X NOT Z =

Implementasi Fungsi Logika. MenggunakanSwitch Untuk inputs: logic 1 is switch closed logic 0 is switch open Untuk outputs: logic 1 is light on logic 0 is light off. NOT menggunakan switch seperti: logic 1 is switch open logic 0 is switch closed Switches in parallel => OR Switches in series => AND C Normally-closed switch => NOT

Implementasi Fungsi Logika. (Continued) Contoh: Logic Using Switches Lampu nyala (L = 1) untuk: L(A, B, C, D) = Dan bila tidak, mati (L = 0). Model yang berguna untuk rangk relay dan untuk rangk gerbang CMOS , merupakan dasar dari teknologi logika digital saat ini. B C A D L (A, B, C, D) = A ((B C') + D) = A B C' + A D

Gerbang Logika(Logic Gates) Pada awal komputer, switches terbuka dan tertutup menggunakan medan magnit yang dihasilkan oleh energi dari koil pada relays. Switches secara bergantian membuka dan menutup jalan arus. Kemudian, vacuum tubes membuka dan menutup jalan arus secara elektronik, menggantikan relays. Saat ini, transistors dipakai sebagai electronic switches yang membuka dan menutup jalannya arus. Optional: Chapter 6 – Part 1: The Design Space

Simbol Gerbang Logika dan perilakunya. Gerbang Logika mempunyai simbol khusus, And waveform behavior in time as follows:

Delay pada Gerbang . Secara aktual, physical gates, bila satu atau lebih input berubah menyebabkan output berubah, perubahan tersebut tidak terjadi secara instan. Delay antara perubahan input dan perubahan hasil output adalah gate delay dinyatakan : tG 1 Input tG tG tG = 0.3 ns 1 Output 0.5 1 1.5 Time (ns)

Diagram Logika dan Ekspresi-nya. Tabel Kebenaran 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 X Y Z Z Y X F × + = Persamaan: Z Y X F + = X Y F Z Diagram Logika Persamaan Boolean, tabel kebenaran dan Diagram Logika mentayakan Fungsi yang sama! Tabel Kebenaran adalah unik; ekspresi dan diagram logika tidak. Ini memberikan fleksibilitas dalam implementasi fungsi.

Aljabar Boolean Struktur Aljabar didefinisikan pada satu set atau minimum 2 elemen, B, dengan tiga operator biner (denoted +, · and ) yang dirumuskan secara mendasar sbb: 1. 3. 5. 7. 9. X + 0 = + 1 X + X X = X 2. 4. 6. 8. X . 1 = . 0 X . X 10. 12. 14. 16. X + Y Y + X = (X + Y) Z + X + (Y Z) X(Y + XY XZ X . Y 11. 13. 15. 17. XY YX = (XY) Z X(Y Z) X + YZ (X + Y) (X + Z) X . Y X + Y Commutative Associative Distributive DeMorgan ’ s

Beberapa properti dari identitas dan Aljabar. If the meaning is unambiguous, we leave out the symbol “·” The identities above are organized into pairs. These pairs have names as follows: 1-4 Existence of 0 and 1 5-6 Idempotence 7-8 Existence of complement 9 Involution 10-11 Commutative Laws 12-13 Associative Laws 14-15 Distributive Laws 16-17 DeMorgan’s Laws “Dual” dari ekspresi suatu ekspresi aljabar didapat dengan menggantikan + and · dan menggantikan 0’s dan 1’s.

Beberapa properti dari identitas dan Aljabar. (Continued) Contoh : F = (A + C) · B + 0 dual F = (A · C + B) · 1 = A · C + B Contoh : G = X · Y + (W + Z) dual G = Contoh : H = A · B + A · C + B · C dual H = Are any of these functions self-dual? Dual G = ((X+Y) · (W · Z)') = ((X+Y) ·(W' + Z') Dual H = (A + B)(A + C)(B + C). Using the Boolean identities, = (A +BC) (B+C) = AB + AC + BC. So H is self-dual.

Beberapa properti dari identitas dan Aljabar. (Continued) Kemungkinan dapat lebih dari 2 elemen in B, yaitu elemen selain1 and 0. Umumnya disebut apa Aljabar Boolean dengan lebih dari 2 elemen? Bika B terdiri hanya 1 dan 0, maka B disebut switching algebra yang merupakan aljabar yang sering digunakan. Algebra of Sets Algebra of n-bit binary vectors Algebra of Sets correspondence to switching algebra: Set - variable, Union - OR, Intersect AND ., Universe - 1, Empty set - 0, Complement of Set - NOT, Subset – AND of variables and variable complements. Algebra of n-bit binary vectors correspondence to switching algebra: {n-bit binary vectors} – {0,1}, bitwise OR - OR, bitwise AND - AND, bitwise NOT - NOT, Vector of all 1s – 1, Vector of all 0s – 0.

Operator Boolean Urutan Evaluasi pada Ekspresi Boolean adalah : 1. Parentheses/kurung 2. NOT 3. AND 4. OR Akibatnya: Kurung muncul sekitar ekspresi OR Contoh : F = A(B + C)(C + D)

Contoh 1: Pembuktian Aljabar Boolean A + A·B = A (Absorption Theorem) Proof Steps Justification (identity or theorem) A + A·B = A · 1 + A · B X = X · 1 = A · ( 1 + B) X · Y + X · Z = X ·(Y + Z)(Distributive Law) = A · 1 1 + X = 1 = A X · 1 = X Alasan melakukan pembuktian untuk mempelajari: Ber-hati2 dan secara efisien menggunakan rumus dan teorema Aljabar Boolean. Bagaimana memilih identitas dan teorema yang cocok untuk diterapkan, untuk melanjutkan penyelesaian berikutnya.

Contoh 2: Pembuktian Aljabar Boolean AB + AC + BC = AB + AC (Consensus Theorem) Proof Steps Justification (identity or theorem) AB + AC + BC = AB + AC + 1 · BC ? = AB +AC + (A + A) · BC ? = (lanjutkan!) Justification 1: 1 . X = X Justification 2: X + X’ = 1 = AB + A’C + ABC + A’BC X(Y + Z) = XY + XZ (Distributive Law) = AB + ABC + A’C + A’BC X + Y = Y + X (Commutative Law) = AB . 1 + ABC + A’C . 1 + A’C . B X . 1 = X, X . Y = Y . X (Commutative Law) = AB (1 + C) + A’C (1 + B) X(Y + Z) = XY +XZ (Distributive Law) = AB . 1 + A’C . 1 = AB + A’C X . 1 = X

Contoh 3: Pembuktian Aljabar Boolean Proof Steps Justification (identity or theorem) = (lanjutkan!) ) Z X ( Y + = Y X Z ) ( + = X’ Y’ Z + X Y’ (A + B)’ = A’ . B’ (DeMorgan’s Law) = Y’ X’ Z + Y’ X A . B = B . A (Commutative Law) = Y’ (X’ Z + X) A(B + C) = AB + AC (Distributive Law) = Y’ (X’ + X)(Z + X) A + BC = (A + B)(A + C) (Distributive Law) = Y’ . 1 . (Z + X) A + A’ = 1 = Y’ (X + Z) 1 . A = A, A + B = B + A (Commutative Law)

Teorema yang berguna. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x × y + x × y = inimizatio n ( ) x + x × y = x + y x × x + y = x × y Simplifica tion x y + x × z + y × z = x × y + × x × z Consensus ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x + y × x + z × y + z = x + y × x + z x + y = x × y x × y = x + y DeMorgan' s Laws

Pembuktian dengan penyederhanaan. ( ) ( ) × + × = + + = x y x y y x y x y y x . y + x’ . y = (x + x’) . y X(Y + Z) = XY + XZ (Distributive Law) = 1 . y X + X’ = 1 = y X . 1 = X Second expression holds by duality from the first expression.

Proof of DeMorgan’s Laws = × × = x + y x y x y x + y It is important that we do not USE DeMorgan’s Laws in doing this proof. This requires a different proof method. We will show that, x’ . y’, satisfies the definition of the complement of (x + y), defined as (x + y)’ by DeMorgan’s Law. To show this we need to show that A + A’ = 1 and A.A’ = 0 with A = x + y and A’ = x’. y’. This proves that x’. y’ = (x + y)’. Part 1: Show x + y + x’. y’ = 1. x + y + x’. y’ = (x + y + x’) (x + y + y’) X + YZ = (X + Y)(X + Z) (Distributive Law) = (x + x’ + y) (x + y + y’) X + Y = Y + X (Commutative Law) = (1 + y)(x + 1) X + X’ = 1 = 1 . 1 1 + X = 1 = 1 1 . X = 1 Part 2: Show (x + y) . x’. y’ = 0. (x + y) . x’. y’ = (x . x’. y’ + y . x’. y’) X (Y + Z) = XY + XZ (Distributive Law) = (x . x’. y’ + y . y’ . x’) XY = YX (Commutative Law) = (0 . y’ + 0 . x’) X . X’ = 0 = (0 + 0) 0 . X = 0 = 0 X + 0 = X (With X = 0) Based on the above two parts, x’y’ = (x + y)’ The second DeMorgans’ law is proved by duality. Note that DeMorgan’s Law, given as an identity is not an axiom in the sense that it can be proved using the other identities.

Evaluasi Fungsi Boolean = xy z F2 = x + y z F3 = x y z + x y z + x y F4 = x y + x z F3 is 1 for x’y’z’, x’yz, xy’z’ and xy’z => F3 = 1,0,0,1,1,1,0,0 F4 is 1 for xy’z’, xy’z, x’y’z and x’y z => F4 = 0,1,0,1,1,1,0,0

Penyederhanan Ekspresi Suatu Penerapan Aljabar Boolean Sederhanakan agar didapat jumlah literal terkecil. (variabel complemen dan tidak complemen): = AB + ABCD + A C D + A C D + A B D = AB + AB(CD) + A C (D + D) + A B D = AB + A C + A B D = B(A + AD) +AC = B (A + D) + A C 5 literals + D C B A

Fungsi Complemen x + z y G = Gunakan Teorema DeMorgan's untuk mengkomplemen-kan fungsi: 1. Saling ditukar operators AND dan OR Komplemen-kan masing2 nilai konstan dan literal.    Contoh:Komplemen-kan F = F = (x + y + z)(x + y + z) Contoh:Komplemen-kan G = (a + bc)d + e G = x + z y G' = ((a (b' + c'))+ d ) e' = (a (b' + c') + d) e'

Overview Bentuk Fungsi Kanonik Apa itu Bentuk Kanonik? Minterms and Maxterms Index Merepresentasikan Minterms dan Maxterms Representasi Sum-of-Minterm (SOM) Representasi Product-of-Maxterm (POM) Representasi Fungsi Komplemen Konversi antar Representasi

Bentuk Kanonik Sangat berguna untuk menspecify Fungsi Boolean dalam bentuk seperti: Allows comparison for equality. Has a correspondence to the truth tables Bentuk Kanonik yang umum digunakan : Sum of Minterms (SOM) = Sum of Product (SOP) Product of Maxterms (POM)= Product of Sum (POS)

Minterms Minterms adalah AND terms dengan adanya setiap variabel baik itu ‘true’ atau bentuk komplemen form. Diketahui masing2 variabel biner adalah normal (e.g., x) atau komplemen (e.g., ), maka ada 2n minterms untuk n variable. Contoh: Dua variable (X and Y) akan didapat 2 x 2 = 4 kombinasi: (both normal) (X normal, Y complemented) (X complemented, Y normal) (both complemented) Berarti ada empat minterms dari dua variabel. x Y X XY X Y

Maxterms Maxterms adalah OR terms dengan setiap variable ‘true’ atau bentuk complemen . Diketahui masing2 variabel biner adalah normal (e.g., x) atau komplemen (e.g., x), maka ada 2n maxterms untuk n variable. Contoh: Dua variable (X and Y) menghasilkan 2 x 2 = 4 kombinasi: (both normal) (x normal, y complemented) (x complemented, y normal) (both complemented) Y X +

Maxterms and Minterms Contoh: Dua variable minterms dan maxterms. Indeks diatas sangat penting untuk menentukan variabel yang mana dalam terms tersebut ‘true’ dan yang mana komplemen. Index Minterm Maxterm x y x + y 1 2 3

Urutan Standard. Minterms dan maxterms didisain dengan subscript Subscript adalah angka , tergantung pada binary pattern-nya Bit pada pattern menyatakan komplemen atau kondisi normal untuk masing2 variable yang ditulis dalam urutan standard. Semua variabel akan ada dalam minterm atau maxterm dan akan ditulis dalam urutan yang sama (umumnya alphabetically) Contoh: Untuk variable a, b, c: Maxterms: (a + b + c), (a + b + c) Terms: (b + a + c), a c b, dan (c + b + a) TIDAK dalam urutan standard. Minterms: a b c, a b c, a b c Terms: (a + c), b c, and (a + b) tidak terdiri dari semua variables

Tujuan dari Index Index untuk minterm atau maxterm, menyatakan sebagai bil biner, yang dipakai untuk menentukan apakah variable yang ada bentuk ‘true’ atau bentuk komplemen. Untuk Minterms: “1” berarti var ini “Bukan komplemen” dan “0” berarti var ini “Komplemen”. Untuk Maxterms: “0” berarti var ini “Bukan komplemen” dan “1” berarti var ini “Komplemen”.

Contoh Index untuk Tiga Variabel Contoh: (Untuk tiga variabel) Misalkan Variabel tersebut adalah : X, Y, and Z. Urutan standard-nya adalah : X, then Y, then Z. Index 0 (basis 10) = 000 (basis 2) untuk tiga variables). Ketiga var tersebut adalah komplemen utk minterm 0 ( ) dan tidak ada var yang komplemen untuk Maxterm 0 (X,Y,Z). Minterm 0, disebut m0 = . Maxterm 0, disebut M0 = (X + Y + Z). Minterm 6 ? Maxterm 6 ? Z , Y X m6 = X Y Z’ M6 = (X’ + Y’ + Z) Z Y X

Contoh Indeks– Empat Variable. Index Binary Minterm Maxterm i Pattern mi Mi 0 0000 1 0001 3 0011 5 0101 7 0111 10 1010 13 1101 15 1111 a b c d a b c d ? ? a + b + c + d a b c d a + b + c + d ? a + b + c + d M1 = a + b + c + d’ m3 = a’ b’ c d m7 = a’ b c d M 13 = a’ + b’ + c + d’ a b c d a + b + c + d a b c d ? a + b + c + d

Hubungan Minterm and Maxterm Mengulangi: DeMorgan's Theorem and Contoh Dua Variabel: dan Jadi M2 adalah komplemen dari m2 dan sebaliknya. Bila DeMorgan's Theorem terdiri dari n variabel, maka term diatas juga terdiri dari n variabel. Bila : dan Maka Mi adalah komplemen dari mi. x · y = x + y x + y = x × y M = x + y m = x· y 2 2 i m M =

Tabel Fungsi ke-dua2-nya. Minterms dari Maxterms dari 2 variabel 2 variabel Masing2 kolom pada tabel fungsi maxterm adalah komplemen dari kolom tabel fungsi minterm, maka Mi adalah komplemen dari mi. x y m 1 2 3 0 0 0 1 1 0 1 1 x y M 1 2 3 0 0 0 1 1 0 1 1

Observasi Pada Tabel fungsi: Masing2 minterm mempunyai satu dan hanya satu, 1 berada pada 2n terms ( minimum dari 1s). Selain itu adalah 0. Masing2 maxterm mempunyai satu dan hanya satu, 0 berada pada 2n terms ( maximum of 0s). Selain itu adalah 1. Kita dapat mengimplementasikan dengan "ORing" minterms dengan memasukkan "1" kedalam tabel fungsi. Ini disebut Fungsi dari minterm. Kita dapat mengimplementasikan dengan "ANDing" maxterms dengan memasukkan "0" kedalam tabel fungsi. Ini disebut Fungsi dari maxterm. Jadi ada dua bentuk kanonik: Sum of Minterms (SOM) – Jumlah sukumin Product of Maxterms (POM) – Hasil kali sukumax untuk menyatakan Fungsi Boolean.

Contoh Fungsi Minterm Example: Find F1 = m1 + m4 + m7 F1 = x y z + x y z + x y z x y z index m1 + m4 m7 = F1 0 0 0 = 0 0 0 1 1 = 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7

Contoh Fungsi Minterm F(A, B, C, D, E) = m2 + m9 + m17 + m23 F(A,B,C,D,E) = A’B’C’DE’ + A’BC’D’E + AB’C’D’E + AB’CDE

Contoh Fungsi Maxterm Contoh: Implementasikan F1 dalam maxterms: F1 = M0 · M2 · M3 · M5 · M6 ) z y z)·(x ·(x z) (x F 1 + = x )·( ·( x y z i M0  M2 M3 M5 M6 = F1 0 0 0 1 = 0 0 0 1 = 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7

Contoh Fungsi Maxterm F(A, B,C,D) = M ) D , C B A ( F × = 14 11 8 3 F = (A + B + C’ + D’) (A’ + B + C + D) (A’ + B + C’ + D’) (A’ + B’ + C’ + D)

Kanonikal Jumlah dari Minterms Setiap fungsi Boolean dapat dinyatakan dalam : Sum of Minterms. For the function table, the minterms used are the terms corresponding to the 1's For expressions, expand all terms first to explicitly list all minterms. Do this by “ANDing” any term missing a variable v with a term ( ). Example: Implement as a sum of minterms. First expand terms: Then distribute terms: Express as sum of minterms: f = m3 + m2 + m0 v + y x f + = f = x ( y + y ) + x y f = xy + x y + x y

Another SOM Example Example: There are three variables, A, B, and C which we take to be the standard order. Expanding the terms with missing variables: Collect terms (removing all but one of duplicate terms): Express as SOM: C B A F + = F = A(B + B’)(C + C’) + (A + A’) B’ C = ABC + ABC’ + AB’C + AB’C’ + AB’C + A’B’C = ABC + ABC’ + AB’C + AB’C’ + A’B’C = m7 + m6 + m5 + m4 + m1 = m1 + m4 + m5 + m6 + m7

Shorthand SOM Form From the previous example, we started with: We ended up with: F = m1+m4+m5+m6+m7 This can be denoted in the formal shorthand: Note that we explicitly show the standard variables in order and drop the “m” designators. C B A F + =

Canonical Product of Maxterms Any Boolean Function can be expressed as a Product of Maxterms (POM). For the function table, the maxterms used are the terms corresponding to the 0's. For an expression, expand all terms first to explicitly list all maxterms. Do this by first applying the second distributive law , “ORing” terms missing variable v with a term equal to and then applying the distributive law again. Example: Convert to product of maxterms: Apply the distributive law: Add missing variable z: Express as POM: f = M2 · M3 v × y x ) z , ( f + = y x ) (x 1 )(x + = × ( ) z y x + = ×

Another POM Example Convert to Product of Maxterms: Use x + y z = (x+y)·(x+z) with , and to get: Then use to get: and a second time to get: Rearrange to standard order, to give f = M5 · M2 f(A, B, C) = A C + B C + A B A y C), B (A x = + C B z = f = (A C + B C + A )(A C + B C + B ) x + x y = x + y f = ( C + BC + A )(A C + C + B ) ) B C )(A A ( f + = f = ( A + B + C )(A + B + C)

Function Complements F ( x , y , z ) = S ( , 2 , 4 , 6 ) F ( x , y , z The complement of a function expressed as a sum of minterms is constructed by selecting the minterms missing in the sum-of-minterms canonical forms. Alternatively, the complement of a function expressed by a Sum of Minterms form is simply the Product of Maxterms with the same indices. Example: Given ) 7 , 5 3 1 ( z y x F m S = F ( x , y , z ) = S ( , 2 , 4 , 6 ) m F ( x , y , z ) = P ( 1 , 3 , 5 , 7 ) M

Conversion Between Forms To convert between sum-of-minterms and product-of-maxterms form (or vice-versa) we follow these steps: Find the function complement by swapping terms in the list with terms not in the list. Change from products to sums, or vice versa. Example:Given F as before: Form the Complement: Then use the other form with the same indices – this forms the complement again, giving the other form of the original function: ) 6 , 4 2 ( z y x F m S =

Standard Forms A B C + A B C + B Standard Sum-of-Products (SOP) form: equations are written as an OR of AND terms Standard Product-of-Sums (POS) form: equations are written as an AND of OR terms Examples: SOP: POS: These “mixed” forms are neither SOP nor POS A B C + A B C + B (A + B) · (A + B + C ) · C (A B + C) (A + C) A B C + A C (A + B)

Standard Sum-of-Products (SOP) A sum of minterms form for n variables can be written down directly from a truth table. Implementation of this form is a two-level network of gates such that: The first level consists of n-input AND gates, and The second level is a single OR gate (with fewer than 2n inputs). This form often can be simplified so that the corresponding circuit is simpler.

Standard Sum-of-Products (SOP) A Simplification Example: Writing the minterm expression: F = A B C + A B C + A B C + ABC + ABC Simplifying: F = Simplified F contains 3 literals compared to 15 in minterm F F = A’ B’ C + A (B’ C’ + B C’ + B’ C + B C) = A’ B’ C + A (B’ + B) (C’ + C) = A’ B’ C + A.1.1 = A’ B’ C + A = B’C + A

AND/OR Two-level Implementation of SOP Expression The two implementations for F are shown below – it is quite apparent which is simpler!

SOP and POS Observations The previous examples show that: Canonical Forms (Sum-of-minterms, Product-of-Maxterms), or other standard forms (SOP, POS) differ in complexity Boolean algebra can be used to manipulate equations into simpler forms. Simpler equations lead to simpler two-level implementations Questions: How can we attain a “simplest” expression? Is there only one minimum cost circuit? The next part will deal with these issues.

Terms of Use All (or portions) of this material © 2008 by Pearson Education, Inc. Permission is given to incorporate this material or adaptations thereof into classroom presentations and handouts to instructors in courses adopting the latest edition of Logic and Computer Design Fundamentals as the course textbook. These materials or adaptations thereof are not to be sold or otherwise offered for consideration. This Terms of Use slide or page is to be included within the original materials or any adaptations thereof.