Pendahuluan Untuk mengetahui stabilitas suatu sistem, kita tidak perlu mencari lokasi aktual pole, namun cukup dengan melihat sign-nya, yang akan menunjukkan apakah pole berada di RHP (right-half-plane) atau LHP (left-halp-plane). Kriteria Hurwitz dapat digunakan untuk mengetahui instabilitas sistem, tapi tidak cukup untuk memastikan stabilitas sistem. Kriteria Routh-Hurwitz adalah metode yang efektif untuk menguji kestabilan sistem. Kriteria ini juga dapat menunjukkan jumlah pole pada RHP atau pada sumbu imajiner. Tes stabilitas yang handal untuk segala bentuk kasus dapat digunakan dalam proses disain untuk memastikan kestabilan sistem, misalnya untuk memantau kapan sistem mulai tidak stabil jika gain terus ditingkatkan. Penggunaan tes stabilitas dalam disain dinamakan disain untuk stabilitas relatif. Bagian 12

6.5 Kriteria Stabilitas Routh-Hurwitz 6.5.1 Larik Routh (Routh Array) Gambar berikut adalah sebuah sistem (sebagai contoh kasus) : Persamaan karakteristik closed-loop-nya adalah : Routh array adalah matriks dengan baris berjumlah n + 1, dengan n = order persamaan. Bagian 12

Langkah selanjutnya adalah menginsialisasi Routh array dengan mengisi dua baris pertama dengan koefisien polinom karakteristik sbb. : Untuk baris s4, elemen pertamanya adalah a4, yaitu koefisien s4. Elemen berikutnya adalah a2 dan elemen terakhir adalah a0. Jadi, baris pertama adalah : s4 : a4 a2 a0 Perhatikan bahwa pada langkah ini, s4 hanya diisi oleh koefisien genap, karena n = 4 (genap). Jika n ganjil, maka baris diisi dengan koefisien ganjil. Untuk baris ke dua (s3), dilakukan pengisian elemen yang tersisa. Jadi s3 : a3 a1 0 Angka 0 digunakal untuk menyamakan jumlah kolom. Setelah inisialisasi selesai, diperoleh matriks seperti di samping ini. Bagian 12

Langkah berikutnya adalah mengisi baris yang tersisa pada matriks Langkah berikutnya adalah mengisi baris yang tersisa pada matriks. Baris ke-3 diisi melalui pengoperasian baris ke-1 dan ke-2. Baris ke-4 diisi melalui pengoperasian baris ke-2 dan ke-3. Demikian seterusnya hingga seluruh baris terisi. Dimulai dengan pembentukan matriks 2 x 2 dengan mengambil elemen kiri-atas dari matriks. Matriks 2 x2 ini dinamakan matriks R1. Elemen pertama dari baris ke-3 Routh Array dinamakan b1, dimana b1 = -det(R1)/R1(1,2) dengan kata lain : Bagian 12

Elemen ke-2 dari baris ke-3, b2, dihitung dengan cara yang sama Elemen ke-2 dari baris ke-3, b2, dihitung dengan cara yang sama. R2 dibuat dengan mengganti elemen kolom-2 dengan elemen kolom-3, sementara elemen kolom-1 dibiarkan tetap. Langkah ini diteruskan hingga determinan bernilai nol, dimana selanjutnya elemen baris-3 diisi dengan nilai 0. Seluruh proses diulangi hingga seluruh matriks terisi. Tabel berikut menunjukkan keseluruhan perhitungan elemen matriks Routh array Bagian 12

Routh Array yang sudah terisi lengkap Bagian 12

6.5.2 Tes Routh-Hurwitz Dengan kriteria Routh-Rouwitz dapat dilakukan pengujian terhadap sistem, yang karakteristik closed-loop-nya telah lulus uji kriteria Hurwitz. Kriteria Routh-Hurwitz : Jumlah akar polinom karakteristik yang berada pada right-half-plane sama dengan jumlah perubahan sign pada kolom pertama Routh Array Contoh 6.1 Akan dilakukan uji kestabilan untuk sistem tergambar di samping ini Bagian 12

Jawab : Karena koefisien persamaan sudah lengkap, maka sistem lulus tes Hurwitz. Dilakukan pengujian lebih lanjut dengan kriteria Routh-Hurwitz. Hasil inisialisasi adalah sbb. : Routh Array tidak akan berubah karena perkalian suatu baris dengan suatu konstanta. Ini bisa digunakan untuk menyederhanakan langkah. Sebagai contoh, pada baris ke- dua terlihat bahwa baris bisa disederhanakan dengan mengalikannya dengan 1/10. Jadi : Bagian 12

Jadi matriksnya adalah dan isi kolom ke-1 adalah Kemudian dilakukan langkah-langkah untuk melengkapi isi tabel. Hasilnya sbb. : Jadi matriksnya adalah dan isi kolom ke-1 adalah Pada kolom-1 terjadi dua kali perubahan sign (dari 1 ke -72 dan dari -72 ke 103). Dengan demikian, sistem tidak stabil dan memiliki dua pole pada RHP. Bagian 12

Nilai nol bisa muncul pada kolom pertama array. 6.6 Kasus-kasus khusus Dua kasus khusus dapat terjadi pada saat pembuatan Routh array. Nilai nol bisa muncul pada kolom pertama array. Seluruh elemen pada satu baris bernilai nol. 6.6.1 Nilai nol di kolom pertama Jika kolom pertama memiliki elemen bernilai nol, maka akan terjadi operasi "pembagian dengan nol" pada langkah pencarian elemen untuk baris berikutnya. Untuk menghindari- nya, digunakan satu nilai kecil e (epsilon) sebagai pengganti nilai nol di kolom pertama. Contoh 6.2 Diketahui sebuah sistem kontrol memiliki fungsi transfer closed-loop sebagai berikut : Buatlah Routh-array sistem tersebut dan interpretasikan kestabilan sistem tersebut. Bagian 12

Jawab : Polinom karakteristiknya adalah sehingga Routh array-nya menjadi seperti yang terlihat pada tabel kiri. Pada tabel kanan, terlihat hasil analisis perubahan sign. Jika e dipilih bernilai +, akan terdapat dua perubahan sign. Jika e dipilih bernilai - , juga terdapat dua perubahan sign. Jadi, tidak jadi masalah apakah e dipilih bernilai + atau -. Hasil analisis adalah : sistem di atas memiliki dua pole pada RHP Bagian 12

6.6.2 Seluruh elemen pada baris bernilai nol Hal ini bisa terjadi untuk polinom genap Contoh 6.3 Buat Routh array untuk sistem dengan fungsi transfer closed-loop sbb. : Jawab : Routh array dari sistem adalah Perhitungan tidak bisa dilanjutkan dengan cara biasa karena seluruh elemen baris ke-3 bernilai nol. Agar perhitungan bisa berlanjut, digunakan polinom auksiliari Q(s), yang dibentuk dari baris sebelum baris nol, Q(s) = s4 + 6s2 + 8 Bagian 12

Selanjutnya, dilakukan diferensiasi Q(s) terhadap s : dan baris ke-3 diganti dengan koefisien hasil derivatif (setelah disederhanakan melalui pembagian dengan 4), seperti terlihat pada tabel kiri di bawah ini. Baris-baris lain dibuat dengan cara biasa, yang hasilnya terlihat di atas pada tabel kanan. Terlihat tidak adanya perubahan sign pada Routh array. Jadi, sistem stabil. Bagian 12

akar-akar real dan simetris terhadap sumbu imajiner (A) 6.6.3 Interpretasi baris nol Baris nol akan muncul pada Routh array jika polinom genap murni merupakan faktor dari polinom karakteristik. Sebagai contoh, polinom s4 + 5s2 + 7 adalah polinom genap murni, yang hanya memiliki pangkat genap untuk s. Polinom genap memiliki akar- akar simetris terhadap sumbu imajiner. Beberapa kondisi simetri dapat terjadi : akar-akar real dan simetris terhadap sumbu imajiner (A) akar-akar imajiner dan simetris terhadap sumbu real (B), atau akar-akar bersifat kuadrantal (C) Ketiga kondisi di atas dapat meng- hasilkan polinom genap. Bagian 12

Contoh berikut dapat menjelaskan hal ini. Adalah polinom genap yang menimbulkan baris nol pada Routh array. Dengan demikian, baris nol mengindikasikan adanya akar-akar simetris terhadap origin. Beberapa akar dapat berada pada sumbu imajiner (simetri jenis B). Sebaliknya, jika kita tidak mendapatkan baris nol, kemungkinan kita tidak memiliki akar pada sumbu j. Karakteristik lain dari Routh array untuk kasus di atas yang masih perlu diperta- nyakan adalah apakah baris sebelum baris nol mengandung polinom genap, yang merupakan faktor polinom asalnya. Pada contoh yang lalu, polinom s4 + 6s2 + 8 adalah faktor dari polinom asal. Akhirnya, uji Routh, dari baris yang mengan- dung polinom genap hingga baris terakhir, hanya menguji pole pada polinom genap. Contoh berikut dapat menjelaskan hal ini. Contoh 6.4 Hitung berapa pole yang berada pada RHP, LHP, dan di sumbu j untuk sistem dengan fungsi transfer closed-loop sebagai berikut : Bagian 12

Jawab : Dari persamaan dapat dibuat Routh array sbb. : Untuk mempermudah, baris s6 dikalikan dengan 1/10 dan baris s4 dikali 1/20. Terdapat baris nol pada baris s3. Kembali ke baris s4, ekstraksi polinom genap dan dibuat derivatifnya. Bagian 12

yang berarti ada dua pole di RHP. Dua pole lagi pasti ada di LHP. Baris nol diganti dengan 4, 6, 0 = 2, 3, 0 dan Routh array dapat dilengkapi : Interpretasi Kesimpulan yang bisa diambil adalah tidak ada perubahan sign dari bariss4 hingga s0 sehingga tidak ada pole pada RHP (berarti tidak ada pole pada sumbu real dan kuadrantal). Tapi karena harus ada pole-pole yang simetris, maka pasti ada 4 pole pada sumbu j. Akar lain bisa diperoleh dari baris lain pada Routh array. Terdapat dua perubahan sign, yang berarti ada dua pole di RHP. Dua pole lagi pasti ada di LHP. Bagian 12

Soal Latihan Setiap fungsi transfer di bawah ini adalah fungsi transfer open-loop untuk sistem kontrol dengan umpanbalik unity-gain. Untuk setiap kasus, buat Routh array untuk polinom karakteristik closed-loop dan beri komentar mengenai stabilitasnya juga mengenai lokasi pole closed-loop di bidang-s (jika perlu). Bagian 12

Jawab : Fungsi transfer closed-loop adalah 6.7 Contoh Penggunaan Kriteria Routh-Hurwitz pada Disain Sistem Kontrol Contoh 6.5 Untuk sistem tertutup pada gambar di bawah ini, tentukan rentang nilai parameter gain K, dimana sistem closed-loop bersifat stabil. Jawab : Fungsi transfer closed-loop adalah Jika K diasumsikan positif, kita dapat menggunakan kriteria Routh Hurwitz untuk menentukan limit nilai K agar sistem stail. Tidak akan ada perubahan sign jika K > 0 dan jika 1386 - K > 0, yaitu jika K < 1386. Jika K > 1386, akan ada dua perubahan sign, sehingga terdapat dua pole di RHP dan sistem jadi instabil Bagian 12

Jika K = 1386, maka baris s1 menjadi baris nol Jika K = 1386, maka baris s1 menjadi baris nol. Baris sebelumnya adalah Q(s) = 18s2 + 1386 dan derivatifnya adalah 36s, sehingga Routh array barunya adalah : Untuk polinom Q(s) tidak terdapat perubahan sign dari s1 hingga s0, sehingga pasti ada dua akar imajiner dan sistem bersifat stabil marginal. Contoh 6.6 Untuk kontrol azimuth antena pada gambar di samping ini, fungsi trans- fernya adalah : Hitung gain pre-amplifier K dimana sistem closed-loop stabil. Jawab : 0 < K < 2623.29 Bagian 12

Contoh 6.6 Fungsi transfer Untuk kontrol azimuth antena pada gambar di bawah ini adalah : Hitung gain pre-amplifier K dimana sistem closed-loop stabil. Jawab : 0 < K < 2623.29 Bagian 12

6.8 Stabilitas Relatif Pengujian stabilitas sistem kontrol berdasarkan sejumlah parameter adalah hal yang sangat penting. Namun dalam perancangan sistem kontrol, stabilitas absolut bukan- lah sesuatu yang menarik. Pada contoh sebelumnya, gain K maksimum yang diperoleh adalah 2623.29. Jika kita menginginkan "margin of safety" (margin aman) untuk memastikan bahwa sistem tidak akan pernah instabil. Sebagai contoh, untuk kasus di atas kita bisa batasi gain K maksimum sebesar 2620.29, yang berarti kita memberikan margin untuk gain sebesar 3. Gain margin (GM) adalah contoh parameter disain yang memastikan telah tercapainya "stabilitas relatif" dalam disain. Bagian 12