Program Studi Statistika, semester Ganjil 2012/2013 Ekonometrika Program Studi Statistika, semester Ganjil 2012/2013 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Matriks Pembobot Spasial Informasi mengenai konfigurasi lokasi antar unit spasial dalam bentuk matriks W, berukuran N × N. Dibentuk berdasarkan informasi tentang konfigurasi lokasi (kontiguitas) dan kedekatan (jarak) satu lokasi relatif terhadap lokasi – lokasi yang lain. Ketika dibentuk berdasarkan sifat kontiguitas  matriks kontiguitas spasial. Ketika dibentuk berdasarkan jarak  matriks pembobot berdasarkan jarak.

Matriks pembobot spasial dalam bentuk standard:

Metode standarisasi yang digunakan adalah standardisasi baris. Dengan tujuan untuk mempermudah interpretasi. Ketika digunakan untuk memboboti variabel yang dianggap mempunyai pengaruh spasial, mis: variabel X, Baris ke i matriks W merupakan bobot yang membentuk rata – rata X untuk semua lokasi j sebagai lokasi tetangga i.

Matriks Kontiguitas Spasial bagi grid beraturan Matriks kontiguitas spasial C adalah matriks biner berukuran n × n dengan elemen 0 atau 1. Elemen bernilai 1 jika wilayah/lokasi i dan j bertetangga, dan 0 selainnya. Elemen diagonal bagi matriks C adalah 0: Pada wilayah pengamatan yang disajikan dalam grid yang teratur (regular grid), lokasi tetangga dapat didefinisikan dalam beberapa cara: rook contiguity, bishop contiguity dan queen contiguity.

Rook Contiguity Unit spasial atau lokasi tertentu dikatakan tetangga unit/lokasi yang lain ketika wilayah bagi keduanya berbagi sisi yang sama. Pada gambar, unit B1, B2, B3 dan B4 adalah tetangga bagi A.   unit B2 unit B1 unit A unit B3 unit B4

Queen Contiguity Unit spasial/lokasi dinyatakan tetangga bagi lokasi lainnya ketika kedua wilayah keduanya berbagi sisi yang sama atau berbagi sudut. Pada gambar berdasarkan prinsip queen contiguity unit B1, B2, B3, B4, C1, C2, C3 dan C4 dan adalah tetangga bagi A.   unit C1 unit B2 unit C2  unit B1 unit A unit B3 unit C4 unit B4 unit C3 

Bishop Contiguity Unit spasial dikatakan tetangga dari unit spasial/lokasi yang lain jika wilayah keduanya berbagai sudut. Seperti pada gambar, unit C1, C2, C3 dan C4 adalah tetangga bagi A.   unit C1 unit C2  unit A unit C4 unit C3 

Matriks Kontiguitas bagi grid yang tidak teratur Bagi grid yang tidak teratur (irregular grids), dua lokasi didefinisikan saling bertetangga jika berbagi batas wilayah. Seperti pada gambar, konsep ketetanggan dari lokasi 1 sampai dengan 5 dapat dinyatakan pada matriks kontiguitas spasial berukuran 5 × 5 sbb: 1 2 4 5   3

Dengan standarisasi baris:

Jika digunakan untuk memboboti variabel tertentu (X) yang diasumsikan mempunyai sifat ketergantungan spasial, hubungan berikut: WX disebut pula sebagai operator spasial lag, yang perannya sama seperti operator time lag Xt-k pada analisis deret waktu.

Matriks Pembobot Berdasarkan Jarak Dengan asumsi bahwa interaksi spasial akan berkurang seiriring jarak geografis Jarak di antara dua wilayah adalah hasil pengukuran jarak dari pusat (centroid) dua wilayah tersebut. Terdapat beberapa fungsi yang digunakan untuk membentuk elemen dari matriks kontiguitas spasial C dengan konsep jarak.

Jika diasumsikan bahwa perubahan karakter atau sifat tertentu di suatu lokasi memberikan efek global kepada lokasi – lokasi lain, walaupun efek yang diberikan akan menurun seiring jarak, dapat digunakan inverse jarak dengan rumusan sbb: i: indeks lokasi i j: indeks lokasi j Perhitungan jarak berdasarkan koordinat easting, northing dari masing – masing lokasi

Jika diasumsikan bahwa perubahan karakter atau sifat tertentu di suatu lokasi hanya memberikan efek lokal atau jarak dekat, maka didefinisikan nilai yang menggambarkan sifat lokal pengaruh sbb: di mana r0 adalah jarak kritis sejauh mana pengaruh masih dapat dirasakan.

Autokorelasi Spasial Statistik uji yang paling sering digunakan untuk menguji keberartian autokorelasi spasial adalah Moran – I. Hipotesis yang digunakan untuk menguji keberartian autokorelasi spasial bagi variabel X adalah: H0 : Variabel X tidak berautokorelasi spasial (bersifat random secara spasial), H1 : Variabel X berautokorelasi spasial. Statistik uji Moran – I yang digunakan untuk menguji hipotesis di atas didefinisikan sebagai berikut:

Statistik uji: di mana, Xi : variabel yang menjadi pengamatan pada lokasi ke i, i = 1, 2, …, n wij : elemen ke ij dari matriks pembobot spasial W (yang sudah distandarkan).

Di bawah H0, sebaran bagi statistik uji Moran – I dapat didekati dengan sebaran normal, dengan nilai tengah dan ragam sbb:

Digunakan sebaran normal baku dengan transformasi sbb: Keberartian statistik uji ditentukan melalui perhitungan nilai p berdasarkan sebaran normal baku.

Contoh: Hukum Okun untuk 20 region di Italia Hukum Okun adalah hubungan terbalik/negatif antara keragaman tingkat pengangguran (VUR) dan keragaman GDP (VGDP) Dilakukan observasi selama tahun 1990 – 2010 untuk masing – masing variabel tingkat pengangguran dan GDP di setiap region VUR: ragam dari tingkat pengangguran setiap region selama periode waktu pengamatan VGDP: ragam GDP (riil) selama di setiap region selama periode waktu pengamatan Ingin dibuktikan apakah hukum tersebut juga berlaku pada wilayah ini Identitas lokasi dinyatakan dalam koordinat easting northing (x dan y) dari pusat region.

ID_1 Region VUR VGDP coor X (m) coor Y (m) 1 Abruzzo 6.2 0.5 13.86 42.23 2 Puglia 11.2 1.8 16.62 40.98 3 Basilicata 9.6 1.4 16.08 40.50 4 Calabria 11.3 0.2 16.35 39.07 5 Campania 0.4 14.84 40.86 6 Emilia-Romagna 2.9 11.02 44.54 7 Friuli-Venezia Giulia 3.4 1.9 13.06 46.16 8 Latium 6.4 12.77 41.98 9 Liguria 4.8 2.3 8.71 44.27 10 Lombardy 1.7 9.77 45.62 11 Marche 4.2 13.11 43.37 12 Molise 8.1 0.9 14.60 41.68 13 Piedmont 7.93 45.06 14 Sardinia 9.9 0.7 9.04 40.09 15 Sicily 0.1 14.16 37.59 16 Tuscany 4.3 1.1 11.14 43.46 17 Trentino-Alto Adige 2.75 11.28 46.44 18 Umbria 4.6 12.49 42.97 19 Aosta Valley 3.2 7.39 45.73 20 Veneto 3.3 11.84 45.66

Peta 20 regions di Italia ID_1 Nama Region 1 Abruzzo 11 Marche 2 Puglia 12 Molise 3 Basilicata 13 Piedmont 4 Calabria 14 Sardinia 5 Campania 15 Sicily 6 Emilia-Romagna 16 Tuscany 7 Friuli-Venezia Giulia 17 Trentino-Alto Adige 8 Latium 18 Umbria 9 Liguria 19 Aosta Valley 10 Lombardy 20 Veneto

Daerah di selatan (2, 3, 4, 5, 8, 12, 14, 15) secara sistematis mempunyai VUR di atas yang diharapkan (di atas garis prediksi)  sisaan positif Daerah di utara (1, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 18, 19, 20) berperilaku sebaliknya  sisaan negatif

Sisaan dari model dengan penduga OLS mempunyai pola sesuai lokasi  Autokorelasi spasial Perlu dilakukan uji autokorelasi spasial terhadap sisaan model OLS Perlu dibentuk terlebih dahulu matriks pembobot spasial Dapat dibentuk dengan bantuan software R menggunakan package “spdep”

Analisis spasial dengan R >install.packages(“spdep”) >instal.packages(“maptools”) >library(spdep) >library(maptools) File peta harus tersimpan dalam bentuk file shp (compatible dengan ARCGIS) Banyak penyedia database batas wilayah Negara – Negara tertentu secara online. Untuk kasus Italia, file batas wilayah: ITA_adm1.shp

coord<-coordinates(italy) Untuk memanggil peta jika disimpan di directory atau folder tertentu italy<readShapePoly("C:\\...\\ITA_adm1.shp“,Idvar=“ID_1”) Perintah tersebut menyimpan peta dengan nama “italy” Untuk menyajikan dalam gambar plot(italy) Untuk menyimpan koordinat pusat wilayah dengan nama ‘coord’ coord<-coordinates(italy)

Untuk memberi label ID wilayah: text(coord,label=sapply(slot(italy,"polygons"),function(i) slot(i,"ID"))) Akan dihasilkan peta batas wilayah 20 region di Italia, seperti pada peta di slide awal.

Membentuk Matriks kontiguitas pada R Akan dibentuk list tetangga dari setiap region ‘italy’ dengan nama ‘contnb’ Perintah yang dipakai adalah merubah polygon menjadi daftar tetangga: contnb<-poly2nb(italy,queen=T) Akan dibentuk matriks (dalam format daftar) dengan nama ‘W’ bagi daftar tetangga ‘contnb’ dengan perintah neighbor menjadi matriks daftar: W<-nb2listw(contnb) Akan muncul hasil error, karena ada satu region (14) yang tidak punya tetangga berbatasan wilayah Error in nb2listw(contnb) : Empty neighbour sets found

Daftar tetangga masing-masing region diketik pada notepad, Perlu dibentuk matriks ketetanggaan dari file external, dengan konsep kontiguitas yang dimodifikasi Tetap digunakan prinsip kontiguitas Queen, akan tetapi khusus untuk region 14, diasumsikan tetangga terdekat adalah region 16 yang mempunyai jarak terdekat antar pusat wilayah. Daftar tetangga masing-masing region diketik pada notepad, Disimpan dengan ekstensi .GAL (Italy.GAL)

Membuat kode sifat ketetanggan di notepad 0 20 italy ita_regions 1 4 8 11 12 18 2 3 3 5 12 3 3 2 4 5 … 18 5 1 6 8 11 16 19 1 13 20 4 6 7 10 17 end of file syntax header sesuai nama sistem wilayah yang dianalis, 20 # wilayah  1 adalah nomor wilayah 1,  4 adalah # tetangga yang berbagi batas  Nomor – nomor wilayah yang bertetangga dengan 1

Cara membentuk matriks ketetanggan dari file eksternal (.GAL) Pendefinisian wilayah pada polygon (peta) Italy: ita_regions<- c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 ) Membaca daftar tetangga, dinamakan ‘nbitaly’ dari file eksternal beserta definisi wilayah yang sudah dinyatakan, nbitaly<-read.gal("italy.GAL",region.id=ita_regions) Merubah daftar tetangga ‘nbitaly’ menjadi matriks daftar dengan nama ‘witaly’, dengan perintah neighbor menjadi matriks daftar W<-nb2listw(nbitaly)

itamat<-nb2mat(nbitaly) Matriks dalam format daftar tersebut yang akan digunakan sebagai input uji Moran maupun analisis regresi spasial yang lainnya. Untuk mengetahui isi matriks ketetanggan, daftar tersebut (‘nbitaly’) dapat dirubah dalam format matriks (dengan nama ‘itamat’) menggunakan perintah neigbour menjadi matriks: itamat<-nb2mat(nbitaly)

Pendugaan Regresi Non Spasial dan sisaan di R Supaya dapat mengimport data dari excel, dan dapat melakukan uji LM library(gdata) library(lmtest) Memanggil data yang sudah disimpan di folder yang sama dalam format txt “ITA_adm1.txt” dat<-read.table("ITA_adm1.txt",header=TRUE) Menyatakan variabel VUR dari komponen VUR ‘dat’ VUR<-dat$VUR Menyatakan variabel VGDP dari komponen VGDP ‘dat’ VGDP<-dat$VGDP

model1<-lm(VUR ~VGDP) Membentuk model regresi linier non spasial (‘model1’) VUR sebagai fungsi dari VGDP: model1<-lm(VUR ~VGDP) Menampilkan model secara keseluruhan: summary(model1) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -3.4449 -1.7419 -0.3307 1.4994 6.2162 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 10.971 1.283 8.551 9.38e-08 *** VGDP -3.326 0.835 -3.984 0.000871 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 2.562 on 18 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.4686, Adjusted R-squared: 0.4391 F-statistic: 15.87 on 1 and 18 DF, p-value: 0.0008705

lm.morantest(model1,witaly) Melakukan uji Moran bagi sisaan ‘model1’, diperlukan daftar matriks ketetanggan ‘witaly’ lm.morantest(model1,witaly) Dengan hasil sbb: Global Moran I for regression residuals data: model: lm(formula = VUR ~ VGDP) weights: witaly Moran I statistic standard deviate = 2.9481, p-value = 0.001599 alternative hypothesis: greater sample estimates: Observed Moran I Expectation Variance 0.38936435 -0.06610059 0.02386861

Ada bukti dari hasil pengujian mengenai keberadaan autokorelasi spasial sisaan model regresi linier sederhana. Perlu digunakan model regresi spasial.