IKG3C3/ TEKNIK PENGKODEAN 10/20/2015

Media Transformasi: FT, DCT, Wavelet Background Needed Mathematicis Signal Processing Image Processing 10/20/2015

Kaitan Citra dengan frekuensi? Citra  ambil 1 baris  plot (sumbu x: posisi piksel dalam baris, sumbu y: intensitas keabuan/warna) Columns 1-9 : 71 70 70 70 73 77 81 83 73 …………………….. Columns 307-315: 92 93 84 93 96 79 121 218 232 Columns 316-324: 233 74 0 11 24 14 14 13 11 Columns 397 through 400 : 24 8 13 15 10/20/2015

Kaitan (cont.) Frekuensi dapat dilihat perbaris dan perkolom atau perbidang 10/20/2015

Domain Transformasi Transformasi juga diperlukan bila kita ingin mengetahui suatu informasi tertentu yang tidak tersedia sebelumnya Contoh : Untuk mengetahui informasi frekuensi citra maka transformasi yang diperlukan adalah transformasi Fourier Untuk mengetahui informasi kombinasi skala dan frekuensi kita memerlukan transformasi wavelet 10/20/2015

Mengapa perlu transformasi ? Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatu teknik analisis dengan transformasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974] Contoh: penyelesaian fungsi y = x/z Analisis konvensional : pembagian secara manual Analisis transformasi : melakukan transformasi log(y) = log(x) – log(z) look-up table  pengurangan  look-up table 10/20/2015

Transform on Compression Encoder Codeword assignment Input data Transform Quantization Coded bit-string Decoder Codeword decoder Inverse Transform Output data 10/20/2015

Transformasi Transformasi dapat diklasifikasikan menjadi 2 jenis, yakni: Transformasi transformasi geometris/piksel Transformasi ruang/domain/space 10/20/2015

Transformasi Geometris Transformasi piksel masih bermain di ruang/domain yang sama (domain spasial), hanya posisi piksel yang kadang diubah Contoh: rotasi, translasi, scaling, invers, shear, dll. Transformasi jenis ini relatif mudah diimplementasikan dan banyak aplikasi yang dapat melakukannya (Paint, ACDSee, dll) 10/20/2015

Transformasi Ruang Transformasi ruang merupakan proses perubahan citra dari suatu ruang/domain ke ruang/domain lainnya, contoh: dari ruang spasial ke ruang frekuensi Masih ingat istilah ‘ruang’ ? Ingat-ingat kembali pelajaran Aljabar Linier tentang Basis dan Ruang  Contoh : Ruang vektor. Salah satu basis yang merentang ruang vektor 2 dimensi adalah [1 0] dan [0 1]. Artinya, semua vektor yang mungkin ada di ruang vektor 2 dimensi selalu dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari basis tersebut. 10/20/2015

Transformasi Ruang Ada beberapa transformasi ruang, a.l.: Transformasi Fourier (basis: cos-sin) Transformasi DCT (basis: cos) Transformasi Wavelet (basis: scaling function dan mother wavelet) 10/20/2015

Historical Development Pre-1930 Joseph Fourier (1807) with his theories of frequency analysis The 1930s Using scale-varying basis functions; computing the energy of a function 1960-1980 Guido Weiss and Ronald R. Coifman; Grossman and Morlet Post-1980 Stephane Mallat; Y. Meyer; Ingrid Daubechies; wavelet applications today 10/20/2015

Fourier Transform Seluruh gelombang periodic dapat degenerate menjadi kombinasi gelombang Sin and Cos Jumlah dari Frekuensi tidak harus selalu terbatas Transformasi Fourier mendekomposisi gelombang periodic menjadi Komponen Frekuensi 10/20/2015

Transformasi Fourier (FT) Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis menemukan bahwa: setiap fungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan gelombang-gelombang sinus/cosinus. Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi sinus f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9 … 10/20/2015

Fungsi kotak sebagai penjumlahan fungsi-fungsi sinus Bangun program matlab berikut: function kotak(n) t = 0:pi/200:8*pi; kot = sin(t); for i = 3 : 2: n kot = kot + (sin(i*t))/i; end plot(kot) Tentukan nilai n agar hasil plot program diatas menghasilkan fungsi kotak? 10/20/2015

Gambar a) n = 1, b) n =3, c) n = 7, d) n = 99 10/20/2015

FT - Motivasi Jika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalam penjumlahan fungsi-fungsi sinus-cosinus, pertanyaan berikut muncul : Jika saya memiliki sebuah sinyal sembarang, bagaimana saya tahu fungsi-fungsi cos – sin apa yang membentuknya ? Atau dengan kata lain Berapakah frekuensi yang dominan di sinyal tersebut ? Pertanyaan di atas dapat dijawab dengan menghitung nilai F(u) dari sinyal tersebut. Dari nilai F(u) kemudian dapat diperoleh kembali sinyal awal dengan menghitung f(x) 10/20/2015

Rumus FT – 1 dimensi Rumus FT kontinu 1 dimensi Rumus FTdiskret1 dimensi 10/20/2015

Contoh FT 1 dimensi Contoh berikut diambil dari Polikar (http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html) Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus sbb: 𝑥 𝑡 = cos 2 𝜋 5𝑡 + cos 2𝜋 10𝑡 +cos⁡(2 𝜋 20𝑡) + cos⁡(2𝜋 50𝑡) Sinyal ini memiliki empat komponen frekuensi yaitu 5,10,20,50 10/20/2015

FT dari sinyal tersebut Terlihat bahwa FT dapat menangkap frekuensi-frekuensi yang dominan dalam sinyal tersebut, yaitu 5,10, 20, 50 (nilai maksimum F(u) berada pada angka 5,10, 20, 50) 10/20/2015

Contoh Penghitungan FT 1 dimensi (Gonzalez hlm 90-92) 10/20/2015

Contoh FT 2 Dimensi Sumber: http://www. icaen. uiowa Untuk menampilkan nilai FT suatu citra, karena keterbatasan display, seringkali digunakan nilai D(u,v)= c log [1 + |F(u,v)|] 10/20/2015

Sifat-sifat FT 2 dimensi Separable : Pemrosesan FT 2 dimensi dapat dilakukan dengan melakukan FT 1 dimensi terhadap kolom, kemudian dilanjutkan dengan FT 1 dimensi terhadap baris Translasi : 10/20/2015

Sifat-sifat FT 2 dimensi Periodik FT dan IFT bersifat periodik dengan periode N (N adalah jumlah titik) Rotasi Jika kita merotasikan f(x,y) sebanyak θ0. maka F(u,x) juga akan berotasi sebanyak θ0, demikian pula sebaliknya. Distributif FT dan IFT bersifat distributif terhadap penjumlahan tapi tidak terhadap perkalian 10/20/2015

Sifat-sifat FT 2 dimensi Penskalaan Nilai Rata-rata 10/20/2015

Proses Konvolusi pada Domain Kontinue 10/20/2015

Konvolusi pada Domain Transformasi Konvolusi merupakan proses penting pada analisis domain frekwensi karena f(x)*g(x) dan F(u)G(u) membentuk suatu pasangan transformasi Fourier (Fourier transform pair) Teori konvolusi: f(x)*g(x)  F(u)G(u) f(x)g(x)  F(u)*G(u) 10/20/2015

Fast Fourier Transform (FFT) Merupakan algoritma penghitungan yang mengurangi kompleksitas FT biasa dari 𝑁2 menjadi 𝑁 log2𝑁 saja Pada implementasinya, FFT merupakan cara yang umum digunakan untuk menghitung FT diskret Invers FT juga dapat dihitung dengan kompleksitas 𝑁 log2𝑁 (IFFT) Di Matlab : 𝑓𝑓𝑡(𝑥) atau 𝑓𝑓𝑡2(𝑋) untuk FT dan 𝑖𝑓𝑓𝑡(𝑥) atau 𝑖𝑓𝑓𝑡2(𝑋) untuk invers FT 10/20/2015

Discrete Cosine Transform (1D-DCT) The one-dimensional forward Discrete Cosine Transform (1-D DCT) of N samples is formulated by 𝐹 𝑢 = 2 𝑁 𝐶 𝑢 𝑥=0 𝑁−1 𝑓 𝑥 cos Π 2𝑥+1 𝑢 2𝑁 for u = 0, 1, . . . , N - 1, where 𝐶 𝑢 ={ 1 2 ;𝑓𝑜𝑟 𝑢=0 1;𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 The function f(x) represents the value of the xth sample of the input signal. F(u) represents a Discrete Cosine Transformed coefficient for u = 0, 1, … , 𝑁 –1First of all we apply this transformation to the rows, then to the columns of image data matrix. 10/20/2015

Inverse DCT(1D-IDCT) The one-dimensional inverse Discrete Cosine Transform (1-D IDCT) of N samples is formulated by: 𝐹 𝑥 = 2 𝑁 𝑢=0 𝑁−1 𝐶 𝑢 𝐹 𝑢 cos Π 2𝑥+1 𝑢 2𝑁 for x = 0, 1, . . . , N – 1, where 𝐶 𝑢 ={ 1 2 ;𝑓𝑜𝑟 𝑢=0 1;𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 The function f(x) represents the value of the xth sample of the input signal. F(u) represents a Discrete Cosine Transformed coefficient for u = 0, 1, … , N – 1 For image decompression we use this 1D-DCT 10/20/2015

Two-dimensional DCT (2D-DCT) We divide image matrix 8x8 blocks and apply 2D-DCT which is defined by: Inverse DCT: 10/20/2015

Partitioning to 8x8 Blocks 10/20/2015

Langkah DCT 2-D 10/20/2015

Koefisien frekuensi pada DCT 10/20/2015

Pengurutan Secara Zig-zag 10/20/2015

Pemetaan Koefisien DCT ke dalam Subband 10/20/2015

Wavelet Transform 10/20/2015

SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT) Dennis Gabor (1946) Used STFT To analyze only a small section of the signal at a time -- a technique called Windowing the Signal. The Segment of Signal is Assumed Stationary A 3D transform A function of time and frequency 10/20/2015

Fourier  Wavelet Tranformasi wavelet (WT) merupakan perbaikan dari transformasi Fourier(FT). FT : hanya dapat menangkap informasi apakah suatu sinyal memiliki frekuensi tertentu ataukah tidak, tapi tidak dapat menangkap dimana frekuensi itu terjadi. Ilustrasi : seperti pada konser musik. FT hanya bisa mengatakan apakah suatu ‘nada’ tertentu muncul, tapi tidak dapat mengatakan kapan nada itu muncul dan berapa kali 10/20/2015

Kekurangan FT Gambar atas : ada 4 frek pada suatu sinyal, muncul secara bersamaan Gambar bawah : ada 4 frek pada suatu sinyal, muncul secara bergantian  bentuk FT keduanya hampir sama FT (http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html) 10/20/2015

Kekurangan FT Jika transformasi Fourier hanya memberikan informasi tentang frekuensi suatu sinyal, maka transformasi wavelet memberikan informasi tentang kombinasi skala dan frekuensi. Selain itu, FT berdasarkan pada basis sin-cos yang bersifat periodik dan kontinu, sehingga sulit bagi kita jika ingin melakukan perubahan hanya pada posisi tertentu (pasti akan mempengaruhi posisi-posisi lainnya) 10/20/2015

Contoh Contoh pada halaman berikut menggambarkan dekomposisi 2 buah sinyal yang hampir sama Jika didekomposisi menggunakan basis Walsh, maka semua koefisien dekomposisinya memiliki nilai yang berbeda (ditunjukkan dengan warna merah), sedangkan jika didekomposisi menggunakan wavelet Haar, koefisien dekomposisinya tidak terlalu banyak berbeda. Hal ini disebabkan basis Walsh (dan FT) sama-sama bersifat periodik, sehingga sulit mengubah satu bagian tanpa mempengaruhi bagian lainnya. 10/20/2015

10/20/2015

10/20/2015

Transformasi Wavelet Wavelet berasal dari sebuah scaling function. Dari scaling function ini dapat dibuat sebuah mother wavelet. Wavelet-wavelet lainnya akan muncul dari hasil penskalaan, dilasi dan pergeseran mother wavelet. Scaling function  mother wavelet  mother wavelet yang diskalakan, didilasikan dan digeser. 10/20/2015

Rumus Scaling Function dan Wavelet Rumus wavelet: Wavelet dapat dibedakan berdasarkan rumusan scaling functionnya Wavelet Haar memiliki scaling function dengan koefisien c0 = c1 = 1. Wavelet Daubechies dengan 4 koefisien (DB4) memiliki scaling function dengan koefisien c0 = (1+√3)/4, c1 = (3+√3)/4, c2 = (3-√3)/4, c3 = (1-√3)/4 10/20/2015

Basis Wavelet Haar Jadi Scaling function dan wavelet sama-sama membentuk sebuah basis baru. 10/20/2015

Wavelet Haar sebagai basis Dalam ruang vektor 4 dimensi, kita biasa memiliki basis seperti berikut: Wavelet Haar juga merentang ruang vektor 4 dimensi dengan vektor-vektor basis sebagai berikut 10/20/2015

Wavelet Haar Sekarang, jika kita memiliki sebuah vektor, bagaimana merepresentasikan vektor tersebut sebagai kombinasi linier dari basis-basis wavelet Haar ? Bagaimana menentukan nilai a,b,c dan d ? 10/20/2015

Contoh wavelet Haar Jadi, koefisien yang disimpan adalah a0, d0, dan d1. a berarti ‘aproksimasi’ d berarti ‘detail’ Penghitungan dengan cara seperti ini disebut dengan Algoritma piramida Mallat 10/20/2015

Wavelet Transform where x(t) = given signal tau = translation parameter s = scaling parameter = 1/f phi(t) = Mother wavelet , All kernels are obtained by scaling and/or translating mother wavelet 10/20/2015

Examples 10/20/2015

Continuous Wavelet transform The kernel functions used in wavelet transform are all obtained from one prototype function known as mother wavelet , by scaling and/or translating it Here a = scale parameter b = translation parameter Continuous Wavelet transform 10/20/2015

CWT (Contd..) In order to become a wavelet a function must satisfy the above two conditions 10/20/2015

Inverse wavelet transform 10/20/2015

Trans. Wavelet 2 dimensi Transformasi wavelet Haar 2 dimensi sebanyak 2 level, menggunakan Wavelet Toolbox pada Matlab 6. 10/20/2015

Macam-macam Wavelet Seperti telah disebutkan sebelumnya, berdasarkan scaling functionnya, wavelet dapat dibedakan menjadi beberapa macam, diantaranya : Wavelet Haar Wavelet Daubechies Wavelet Symlet dll 10/20/2015

Mother wavelet 10/20/2015

Discrete wavelet Transform Discrete domain counterpart of CWT Implemented using Filter banks satisfying PR condition Represents the given signal by discrete coefficients {dk,n} DWT is given by 10/20/2015

Trans. Wavelet 2 dimensi LL LH HL HH Trans. Wavelet 2 dimensi dilakukan terhadap baris, kemudian terhadap kolom, atau sebaliknya dengan pembagian sebagai berikut : LL LH HL HH 10/20/2015

Implementasi 2D-DWT H ~ 1 2 G LL ~ H 2 1 …… LH …… H ~ 1 2 G HL ~ G 2 1 1 2 G COLUMNS LL ~ ROWS H 2 1 COLUMNS …… LH INPUT IMAGE ROWS COLUMNS …… H ~ 1 2 G HL ~ G 2 1 ROWS HH COLUMNS INPUT IMAGE LH HL HH LHH LLH LHL LLL LLH LL LH LH LL LHL LHH HL HH HL HH 10/20/2015

Downsample columns along the rows: For each row, keep the even indexed columns, discard the odd indexed columns 2 1 Downsample rows along the columns: For each column, keep the even indexed rows, discard the odd indexed rows 1 2 Upsample columns along the rows: For each row, insert zeros at between every other sample (column) 2 1 Upsample rows along the columns: For each column, insert zeros at between every other sample (row) 1 2 10/20/2015

Reconstruction LL 1 2 H 2 1 H LH 1 2 G HL H 1 2 2 1 G HH 1 2 G 1 2 H 2 1 H LH 1 2 G ORIGINAL IMAGE HL 1 2 H 2 1 G HH 1 2 G 10/20/2015

Kegunaan Wavelet Kompresi data (citra  format JPEG 2000) Ekstraksi ciri Penghilangan noise Grafika komputer Kompresi video dll 10/20/2015

References Solomon David, “Data Compression” , Fourth Edition, Springer, 2007. Hoque Imran, Yipeng Li, Diwei Zhang, “Run Length Encoding/Decoding”. Hendrawan, “Huffman dan Arithmetic Coding”, ITB 10/20/2015

10/20/2015