MATRIKS MATEMATIKA DASAR 1 http://www.mercubuana.ac.id 1

MATRIKS Matriks merupakan suatu array persegi http://www.mercubuana.ac.id Matriks merupakan suatu array persegi panjang dari bilangan-bilangan :  a 11 ... a 1 n a 12  a  21  .   a m 1 a 22 a m 2 ... a 2 n  a mn A m = banyaknya baris n = banyaknya kolom 2

3 Ordo Matriks Ordo Matriks = menyatakan jumlah baris dan http://www.mercubuana.ac.id Ordo Matriks = menyatakan jumlah baris dan kolom matriks, Misal, matriks A ordo (mxn) : Amxn 3

masing-masing m-triple horisontal disebut baris- baris matriks http://www.mercubuana.ac.id a11,a12,...,a13,a21,a22,...,a2n,...,am1,am2,...,amn sedangkan m-triple vertikal disebut kolom-kolom matriks :  a 11   . .  a m 1     a 12   . .  a m 2     a 1 n   . .  a mn     a 21  a 22  a 2 n …    Secara sederhana matriks dapat ditulis A = (aij). 4

Matriks yang sejenis dan matriks yang sama : Dua matriks dikatakan sejenis jika kedua matriks mempunyai ordo yang sama. Jika A sejenis dengan B ditulis A B Dua matriks di katakan sama jika kedua matriks mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama (= , untuk setiap I dan j ) Jika A sama dengan B di tulis A = B http://www.mercubuana.ac.id 5

3 4 c d 3 4 A B sejenis Contoh : A = C sama 6 2 http://www.mercubuana.ac.id 2 3 4 c d 3 4 A B sejenis A = C sama 6

a). Penjumlahan dan Pengurangan Matriks OPERASI PADA MATRIKS a). Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua buah matirks dapat dijumlahkan atau dapat di kurangkan jika kedua matriks sejenis atau mempunyai ordo yang sama. Jika A=(aij) dan B=(bij) masing-masing berukuran sama maka A+/- B (A ditambah atau dikurangi B) adalah suatu matriks C=(cij) dimana cij=aij+/-bij , untuk setiap i dan j. http://www.mercubuana.ac.id 7

Contoh: 2 0 3 (1)  2 4  7 5 3  6   5 6  1 2 3  0  1 1 2 3 4 5  3 6 4 5 6 2 0 3 (1) http://www.mercubuana.ac.id  2 3    1  2 4  7 5 6  5 6

A dan C tidak dapat dijumlahkan maupun dikurangkan 2 11  A B23 0 1C 2 4 4 5  6  1 A dan C tidak dapat dijumlahkan maupun dikurangkan karena kedua matriks tidak sejenis. Catatan : http://www.mercubuana.ac.id A A B BB AA ,(mempunyai sifat komutatif A + ( B + C) = ( A + B ) + C , mempunyai sifat assosiatif 8 3  4 3 +  = +   B )

a b  , dan k suatu d b). Perkalian Matriks kxA Perkalian Skalar Matrik http://www.mercubuana.ac.id a b  , dan k suatu Jika A suatu matriks, A skalar, maka:c d ka kb kxA , hasilnya merupakan matriks baru yang sejenis dengan matriks A (untuk k 1) 9

Perkalian Dua Matriks Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya http://www.mercubuana.ac.id Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks ke dua. Pada perkalian matriks AB, matriks A disebut matrik pertama dan B matriks kedua Catatan : sebelum melakukan perkalian cek dahulu ordo dari masing-masing matriks sesuai dengan persyaratan di atas. 10

Cara mengalikan = Misal matriks A = (ai j ) berukuran (p x q) dan B = http://www.mercubuana.ac.id Misal matriks A = (ai j ) berukuran (p x q) dan B = (bi j) berukuran (q x r). Maka perkalian AB adalah suatu matriks C = (ci j ) berukuran (p x r), dimana ci j = ai1b1j + ai2b2j +…+ aiqbqj. Atau mudahnya “ Depan Atas Belakang Bawah” 11

Contoh: 1  5 6  1 C  2 A 2 4  5 6 B  1 C Contoh: 3  7 8  2 berapa AxB, CxA, AxC http://www.mercubuana.ac.id Catatan : sebelum melakukan perkalian cek dulu ordo dari masing-masing matriks sesuai dengan persyaratan perkalian. Jawab : Ordo matriks A = (2x2), B = (2x2), C = (2x1) AxB= (2x2)x(2x2) menghasilkan matriks dengan ordo (2x2) Harus sama 1 25 6 ..a .. ..a12 .. 19 22 3 47 8 ..a 21.. ..a 22 .. 43 50 a11 = (1x5) + (2x7) = 19 , caranya : Depan (1) Atas (5) Belakang (2) Bawah (7) a12 = (1x6) + (2x8) = 22 , dengan cara yang sama a21 = (3x5) + (4x7) = 43 , dengan cara yang sama a22 = (3x6) + (4x8) = 50 , caranya : Depan(3) Atas (6) Belakang (4) Bawah (8) 12

1 21 5 3 4 112x AxC CxA = (2x1)x(2x2) = tidak bisa dikalikan http://www.mercubuana.ac.id Tidak sama sehingga tidak bisa di kalikan AxC = (2x2)x(2x1) = matriks dengan ordo (2x1) Sama, sehingga bisa di kalikan 1 21 5 3 4 112x AxC 13

Beberapa hukum pada perkalian matrik Jika A, B, C matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat perkalian matriks yang diperlukan, maka : http://www.mercubuana.ac.id 1. A(B+C) = AB + AC, (B+C)A = BA + BC memenuhi hukum distributif 2. A(BC) = (AB)C, memenuhi hukum assosiatif 3. Perkalian tidak komutatif, AB BA. Tetapi ada beberapa matriks yang berlaku AB = BA 4. Bila AB = 0, dimana 0 adalah matriks nol yaitu matriks yang semua elemennya = 0, kemungkin-kemungkinannya: (i) A = 0 dan B = 0 (ii) A = 0 atau B = 0 (iii)A 0 dan B 0 5.Bila AB = AC belum tentu B = C 14

Contoh: 7 87 1814 18  AB AC  A( B C ) http://www.mercubuana.ac.id  3  0 2  1 3 , C  2 1  3 4 1 2  2  1 1 1 1 1. A , B 1  4  3 6 4 3  4 1 x 3  3 6 14 4 3  2  1 19 9 1 Maka, B C 3 dan A ( B C ) 1  7  3 2 0 1 1 4 1 1 7 8  2 1 1 7 18 2 1 Sedangkan, AB x 1 3 , AC x 2 1   4 16 0 1  3 3 1 0 1  3 2 7 87 1814 18  Sehingga, AB AC  A( B C ) 3 34169 7 15

2. A Terlihat A(BC) = (AB)C 2 34 31 ,  0 3 2 34 31 ,  0 3 2. A  maka : 1 4B1, C2 1  4 31 0 10 9 2 310 A( BC ) Ax  Ax    9 29 27 21  1 1x2 3  3 3 1 4x 3 3 22 2 34 311 911 91 029 27  7 Terlihat A(BC) = (AB)C http://www.mercubuana.ac.id 16

3. Pada umumnya AB BA. Misal , A http://www.mercubuana.ac.id  3 1 1  0 2  3 2 1 Misal , A  , B maka AB terdifinisi dengan ukuran (2x2)  3 11 2 6  0 2x 3 1 6 7 2 AB sedang BA juga terdifinisi tetapi AB 1 23 13 BA 5 5 3 1x0 29 17

02   1  0 03 0  1  1 1 1 2 3 4. A 3  2 2 1  1 , B 2 0 6 3 4 2   1  1 AB 3  2  1 2 1 11 3 20 0 0  1 x2 6 40 0 0 02   1  0 03 0 18

2 11 13 2  BC 13 06 2 4  2 11 , 1 0 , 1 0 5. A  ternyata:  4 2B 1 0C  3 2 11 13 2  1 10 BC 13 06 2 4 1 0x3 ternyata meskipun B C tetapi AB = AC http://www.mercubuana.ac.id 19

Misal matriks A=(ai j ) berukuran ( m x n ) maka TRANSPOSE DARI SUATU MATRIKS Misal matriks A=(ai j ) berukuran ( m x n ) maka transpose dari A adalah matriks AT berukuran ( n x m ) yang di dapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-I dari A, i=1,2,3…,m, sebagai kolom ke-I dari AT. dengan perkataan lain lain AT = (aj i). 1 3 1 1 2 0 Contoh : maka A2 4 5 0 7 6 AT3 4 7 1 5 6 http://www.mercubuana.ac.id

20

Beberapa sifat Matriks Transpose : http://www.mercubuana.ac.id 1. (A+B)T = AT + BT 2. (AT)T = A 3.(AT) = (A)T, Bila suatu skalar 4. (AB)T = BT AT 21

BEBERAPA JENIS MATRIKS KHUSUS 1. Matriks bujur sangkar Matriks dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Barisan elemen a11, a22, a33, …ann disebut diagonal utama dari matriks bujur sangkar A tersebut. 2. Matriks Nol Yaitu matriks di mana semua elemennya nol (0) 3. Matriks Diagonal Ialah Matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar diagonal utama adalah nol. Atau dengan kata lain (ij) adalah matriks diagonal bilaij =0 untuk i j. http://www.mercubuana.ac.id 22

Matriks identitas (satuan) 4. Matriks identitas (satuan) Ialah matriks diagonal yang elemen-elemen diagonalnya adalah =1, dengan perkataan lain (uij) adalah matriks identitas bila uij=1, bila I=j, dan =0 bila ij. Matriks identitas biasa ditulis I atau In dimana n menunjukkan ukuran matriks bujur sangkar tersebut. Sifat matriks identitas adalah seperti bilangan 1 (satu) dalam operasi-operasi dengan bilangan biasa, yaitu: AI = A IA = A 5. Matriks Skalar Ialah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama = k. Matriks I adalah bentuk khusus dari ,atriks skalar dimana k=1. http://www.mercubuana.ac.id 23

6. Matriks Segitiga Bawah (lower trianguler) Yakni matriks bujur sangkar yang semua elemennya di baeah diagonal utamanya =0. dengan perkataan lain (aij) adalah adalah matriks segitiga bawah bila aij=0, untuk i<j. 7. Matriks Segitiga Atas (upper trianguler) Yaitu matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama = 0. dengan perkataan lain (aij) adalah matriks segitiga atas bila aij = 0, untuk i<j. http://www.mercubuana.ac.id 24

8. Matriks Simetris Matriks yang trasnpose-nya sama dengan dirinya sendiri,denganperkataan lain bila A = AT atau aij = aji http://www.mercubuana.ac.id untuksemua i dan j. 1 2 01 2 0 Contoh : A2 3 1 dan AT2 3 1 maka A adalah 0 0 1 1 1  1 simetris. 25

Ialah matriks yang transposenya adalah negatifnya, dengan 9. Matriks Antisimetris Ialah matriks yang transposenya adalah negatifnya, dengan perkataan lain bila AT = -A atau aji =-aji untuk semua i dan j sehingga mudah di pahami bahwa semua elemen diagonalnya adalah = 0 http://www.mercubuana.ac.id   0  1 2  1 1 0  3 1  3 4 3 AT  1   2 1  0    1 3

Contoh : A 0 2  1  1  1 0  2 4  4  1  4  1 26  1  1 0  2 4  4 Contoh : A  1

10. Matriks Hermitian  3 2 i 2 i  4 http://www.mercubuana.ac.id Matriks A disebut matriks Hermitian bila transpose hermitiannya = dirinya sendiri, dengan perkataan lain bila AH = A. Mudah dimengerti bahwa matriks yang simetris adalah matriks hermitian. Disebut antihermitian bila AH = -A  3 2 i 2 i  H 3 A 2 i 4 Contoh: A 4 2 i dan jadi A hermitian 27

Kalau A dan B matriks-matriks bujur sangkar berordo n dan 11. Matriks Invers (Kebalikan) http://www.mercubuana.ac.id Kalau A dan B matriks-matriks bujur sangkar berordo n dan berlaku AB = BA = I maka dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A-1, sebaliknya A adalah invers dari B, dan ditulis B-1. Sebuah matriks yang inversnya adalah dirinya sendiri, dengan perkataan lain AA=I, disebut matriks yang Involutory. 1 2 3  6  2 3 Contoh: A1 3 3 1 2 4 Matriks mempunyai invers A1 1  1 1 0 1 0 1 0 0  A1 A0 1 0 Karena AA1 01  28

12. Matriks Komutatif http://www.mercubuana.ac.id Kalau A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku AB= BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. Jelas bahwa setiap matriks bujur sangkar berkomutatif dengan I (yang ukurannya sama) dan dengan inversnya (bila ada) Kalau AB =-BA, dikatakan antikomutatif. 2 1 A 3 1 B Contoh: dan berkomutatif karena 1 2 1 3 2 13 17 5 AB 3 12 17 5 x sedangkan : BA 1 3125 7 29

Bila berlaku AA=A2=A, dikatakan matriks bujur 13. Matriks Idempoten, Periodik, Nilpotent Bila berlaku AA=A2=A, dikatakan matriks bujur sangkar A adalah matriks yang idempotent Secara umum bila p bilangan asli (bulat positif) terkecil sehingga berlaku AAA…A= AP=A. maka dikatakan A matriks periodik dengan periode p-1. Kalau Ar = 0 dikatakan A nilpoten dengan indeks r (di mana r adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi hubungan di atas) http://www.mercubuana.ac.id 30

Contoh:  1 adalah nilpoten dengan indeks r = 3 karena = =  1 1 3 http://www.mercubuana.ac.id 1 3 A 5 6 2 adalah nilpoten dengan indeks r = 3  2 1 3  1 1 3  1 3  1 3 1 1 karena A3 5 6 2 2 x 5 6 2 x 5 6  2 1 3  0 0 0 1 1 3  2 1 3  2 1 3 = 3 3  9 x 5 6  1 1 3 2 1 3 2 0 0 0  = 0 0 0 0 0 0 0 31