PERTEMUAN KE-8,9 INTEGRAL MATA KULIAH BERSAMA FMIPA UGM MATEMATIKA KONTEKSTUAL PERTEMUAN KE-8,9 INTEGRAL Oleh : KBK ANALISIS

INTEGRAL

Mengapa kita perlu belajar integral? Integral banyak digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan. Berikut ini, beberapa permasalahan yang melibatkan integral

Integral digunakan pada design Menara Petronas di Kuala lumpur, untuk perhitungan kekuatan menara.

Sydney Opera House di design berdasarkan irisan-irisan bola Sydney Opera House di design berdasarkan irisan-irisan bola. Banyak persamaan diferensial diselesaikan (dalam menyelesaikannya menggunakan integral) pada design gedung tsb

Integral dapat digunakan untuk menentukan konsumsi energi listrik dalam satu hari di suatu kota

Integral digunakan untuk menghitung volume tong wine (wine-casks) dan volume piramid

Crash tests Pada saat terjadi kecelakaan mobil, bagian tubuh yang beresiko tinggi untuk terluka yg menyebabkan kematian adalah kepala. Karena itu, di dalam mobil perlu dipasang alat-alat pengaman seperti sabuk pengaman dan airbag.

Untuk mendapatkan keefektifan sabuk pengaman dan airbag dalam mengurangi resiko kematian saat terjadi kecelakaan mobil, dilakukan eksperimen-eksperimen yang sering disebut dengan crash tests

Di dalam crash tests, banyak dilakukan perhitungan-perhitungan yang melibatkan integral . Resiko kepala terluka pada saat kecelakaan mobil dikuantitatifkan dalam model matematika, dan model pertama yg digunakan adalah Severity Index (SI) T : lama perlambatan selama kecelakaan a(t) : perlambatan pada waktu t

SI tidak terlalu akurat SI tidak terlalu akurat. Model selanjutnya yg digunakan adalah HIC (Head Injury Criterion) yg dimodelkan berdasarkan nilai rata-rata percepatan a(t) pada interval waktu t1 ke t2 Untuk HIC dimodelkan sbb

Semakin tinggi nilai HIC, resiko kepala terluka yg menyebabkan kematian saat kecelakaan, makin tinggi. Model tsb dimodifikasi lagi utk mempersingkat perhitungan komputer, dg menggunakan keluarga kurva dg d=t2-t1

Untuk HIC tanpa airbag digunakan model percepatan Dan untuk HIC dg airbag digunakan model percepatan

Grafik Ht,d utk beberapa nilai d

Diperoleh puncak tertinggi terjadi ketika d=50 dengan HIC tanpa airbag HIC sekitar725 dengan airbag HIC sekitar 310 Design airbag terus diperbaiki dengan menggunakan HIC dan crash tests th 1995 diperoleh nilai HIC sekitar 142

GAGASAN INTEGRAL integral bermula dari persoalan mencari luas bidang. Hal Gagasan ini sudah dimulai lebih dari 2500 th yg lalu. Eudoxus (408-355 SM, Yunani) mencari luas dg metode exhaustion. Prinsip metode ini adl mencari luas daerah yg dibatasi kurva dg pendekatan daerah-daerah poligon di dalam kurva. Archimedes (287-212 SM, Yunani) menunjukkan luas area segment parabolic adl 4/3 luas segitida dalam (inscribed triangle)

GAGASAN INTEGRAL Cavalieri ( 1635,Italy) dg metode Indivisible. Cavalieri memandang kurva sebagai titik yang bergerak dan area datar sebagai komposisi tak berhingga banyak garis. Misalkan utk daerah di bawah parabola y=x2, Cavalieri mempertimbangkan luas daerah yg dibatasi oleh m persegi panjang dengan lebar 1, dimulai dari titik ½ dan berakhir pada titik m+1/2 . Gambar berikut menunjukkan ilustrasi untuk m=5:

Gagasan Integral Cavalieri menyatakan luas area di bawah kurva y=x2 sebagai rasio dari luas suatu area yg diketahui. Dalam hal ini ia menggunakan luas area persegi panjang dg panjang m+1 dan lebar m2. Ia memperoleh rasio Setelah menghitung rasio di atas untuk berbagai nilai m, Cavalieri mendapatkan pola, bahwa rasio di atas sama dengan Perhatikan bahwa ketika m membesar nilai rasio mendekati 1/3.

Gagasan Integral Fermat menghitung luas daerah diantara sb X dan kurva y=xq, q bil rasional. Fermat mencari luas dg membagi daerah di bawah kurva mjd persegi panj-persegi panj yg semakin mengecil ketika x mendekati 0.

Gagasan Integral Untuk memahami gagasan integral yg telah berkembang selama ribuan th tsb, diberikan ilustrasi berikut : Dihitung area S diantara sb X dan kurva y=x2 dr x=0 sampai x=1. Area S dibagi mjd 4 pita S1 ,S2 ,S3 ,S4 . Luas setiap pita dihampiri dg luas persegi panj-persegi panj yg alasnya sama dg als pita.

GAGASAN INTEGRAL Luas total persegi panjang tsb adl: R4 =0,4687… Apabila persegi panj-persegi panj yg digunakan sbb maka diperoleh luas total persegi panjang L4 =0,2187…Jika A adl luas area S, mk 0,2187…<A<0,4687…

GAGASAN INTEGRAL Jk prosedur dilakukan dg membagi area S mjd 8 pita Diperoleh Rn=0,3984… dan Ln =0,2734…, shg 0,2734…<A<0,3984…

GAGASAN INTEGRAL Proses dpt diteruskan dg membagi area S mjd n pita

GAGASAN INTEGRAL Tabel nilai Ln dan Rn utk beberapa n Dari tabel terlihat bahwa semakin besar nilai n, nilai A semakin mendekati 1/3. Dg bahasa limit n Ln Rn 10 0,2850 0,3850 20 0,3087 0,3587 30 0,3168 0,3501 50 0,3234 0,3434 100 0,3283 0,3383 1000 0,3328 0,3338

GAGASAN INTEGRAL Kita terapkan gagasan ini untuk hal yg lbh umum, yaitu utk kurva y=f(x) yg kontinu. Penggunaan ttk-ttk ujung subinterval diganti dg sebarang titik diantara sub interval tsb.

GAGASAN INTEGRAL Luas area diantara sb X dan grafik y=f(x) dr x=a dan x=b, adalah dengan xi* sebarang titik di dalam interval [xi-1,xi]. Jika lebar selang bagian tidak harus sama, maka perlu dipastikan bahwa semua lebar tersebut mendekati 0 dalam proses limit. Ini bisa terjamin jika lebar terbesar dari lebar-lebar semua interval bagian mendekati 0.

Gagasan Integral Bentuk limit jumlahan seperti pada persoalan luas juga muncul pada persoalan lain seperti persoalan jarak.

Persoalan jarak Misalkan sebuah benda bergerak dg kecepatan v=f(t), dari t=a sampai t=b dg f(t) selalu positif. Ditentukan nilai kecepatan pada saat t0=a, t1, t2,…,tn=b dg selisih waktu-waktu tsb selalu sama. Pada saat ti kecepatan benda tsb kira-kira adalah f(ti). Jarak yg ditempuh selama selang waktu [a,b] kira-kira adalah dengan

Persoalan Jarak Semakin sering kecepatan diukur (n semakin besar), perkiraan jarak mjd semakin akurat, sehingga jarak yg ditempuh adalah

Integral tertentu Berdasarkan gagasan luas tsb didefinisikan integral yg dinamakan integral tertentu. Fungsi f didefinisikan pd [a,b], integral tertentu fungsi f dr x=a sampai x=b adalah dengan xi* di dalam interval [xi-1,xi] dan

Integral tertentu Konsep integral di atas,diperkenalkan oleh Bernhard Riemann (1826-1866,Germany), dan selanjutnya sering dinamakan dengan integral tertentu. Riemann memodifikasi konsep integral yang diperkenalkan oleh Louis Cauchy (1789-1857). Di dalam integralnya, Cauchy menggunakan titik-titik x0,x1,,…,xn-1 untuk mendapatkan nilai fungsi f di setiap sub interval. Riemann memodifikasi dengan menggunakan sebarang titik di setiap sub interval.

Integral tertentu Sifat linear integral tertentu. Jika f dan g terintegral pada interval [a,b] dan c konstanta, maka dan

Integral tak tentu Sebelumnya, Isaac Newton (1642-1723) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) secara terpisah, memandang integral sebagai proses kebalikan derivatif. Fungsi f pd [a,b] diintegralkan dengan mencari fungsi F shg F’=f. Selanjutnya, fungsi F ini dinamakan dengan antiderivatif atau integral tak tentu fungsi f dan ditulis Lambang integral tersebut diperkenalkan oleh Leibniz

Integral tak tentu Perhatikan bahwa, apabila F anti derivatif fungsi f, maka F+C dengan C sebarang konstanta juga anti derivatif fungsi f. Oleh karena itu, apabila F antiderivatif fungsi f, maka secara umum ditulis dengan C sebarang konstanta. Contoh : dengan C sebarang konstanta

Jadi integral tak tentu hasilnya berupa fungsi sedangkan integral tertentu (integral Riemann) hasilnya berupa bilangan.

Integral tak tentu Persoalan anti derivatif muncul dalam berbagai persoalan, misalnya Ahli fisika yg mengetahui kecepatan partikel, ingin mengetahui posisi partikel pada suatu waktu yang diinginkan Insinyur yang dapat mengukur laju variabel pada waktu air bocor dari tangki mungkin ingin mengetahui banyaknya air yang terbuang pada periode waktu tertentu. Ahli biologi yg mengetahui laju pertambahan populasi bakteri, ingin menyimpulkan ukuran populasi pada suatu waktu di masa depan.

Integral tak tentu Karena integral tak tentu merupakan kebalikan derivatif, maka integral tak tentu (anti derivatif) beberapa fungsi dapat diperoleh langsung berdasarkan rumus-rumus derivatif. Beberapa diantaranya :

Integral tak tentu Sifat linear integral tak tentu. Jika f dan g terintegral pada [a,b] dan c bil real, maka cf dan f+g terintegral pada [a,b] dan

Teorema Fundamental calculus Teorema Fundamental Calculus menghubungkan antara kalkulus diferensial dengan kalkulus integral. Kalkulus diferensial muncul dari persoalan garis singgung, sementara kalkulus integral muncul dari persoalan luas. Isaac Barrow (1630-1677), guru Newton di Cambridge menyadari bahwa pendiferensialan dan pengintegralan merupakan proses timbal balik. Hub timbal balik ini digunakan oleh Newton dan Leibniz (secara terpisah) untuk mengembangkan Kalkulus mjd metode matematis yg bersistem. Khususnya, mereka melihat bahwa hubungan ini memungkinkan mereka untuk menghitung luas area.

Teorema Fundamental Calculus. Newton dan Leibniz menemukan hub antara derivatif dengan integral yg disebut Teorema Fundamental Kalkulus, yaitu dengan F’=f. Selanjutnya, F(b)-F(a) sering dinotasikan dengan

Metode Pengintegralan Dengan Teorema Fundamental Calculus, menjadikan perhitungan integral tertentu menjadi jauh lebih mudah dibandingkan dengan menggunakan limit jumlahan asalkan anti derivatif (integral tak tentu) nya diketahui. Anti derivatif beberapa fungsi dapat diketahui langsung dengan rumus derivatif, tetapi masih banyak sekali fungsi yang anti derivatifnya tidak dapat diketahui secara langsung dari rumus derivatif. Karena itu diperlukan tehnik-tehnik (metode-metode) pengintegralan, diantaranya substitusi, pengintegralan parsial, pengintegralan fungsi pecah rasional, dan pengintegralan fungsi iirasional.

Metode pengintegralan Metode substitusi berkaitan dengan aturan rantai di dalam derivatif, yang dinyatakan sebagai berikut Jk u=g(x) mempunyai derivatif dg rangenya berupa interval I dan f kontinu pada I, maka

Metode pengintegralan Pengintegralan parsial berkaitan dengan aturan hasil kali di dalam derivatif. Aturan hasil kali menyatakan jk f dan g fungsi yg memp turunan, mk Dlm notasi integral, pers menjadi

Metode Pengintegralan atau dapat dituliskan sebagai Jika u=f(x), v=g(x) maka du=f’(x)dx dan dv=g’(x)dx. Jadi rumus pengintegralan parsial di atas mjd

Metode Pengintegralan Untuk mengintegralkan fungsi-fungsi rasional (fungsi dlm bentuk perbandingan polinomial), pada prinsipnya, fungsi rasional tersebut diubah menjadi jumlahan fraksi-fraksi yg lebih sederhana yg dinamakan dg fraksi parsial. Misalnnya persoalan integral Di ubah menjadi

Aplikasi Integral Volume benda putar. Pada mesin, banyak ditemukan benda-benda pejal yang bentuknya dapat diimaginasikan sebagai hasil perputaran suatu area, misalnya bagian-bagian di dalam mesin bubut (lathe). Pada bagian ini, akan diberikan gambaran bagaimana menetukan volume benda-benda pejal seperti itu dg menggunakan integral

APLIKASI INTEGRAL Volume benda. S benda pejal yg terletak diantara x=a dan x=b. Jk A(t) luas irisan S dg bidang x=t, mk volume benda S adalah

Aplikasi Integral Sebuah baji mrpkan hasil perpotongan sebuah silinder berjari-jari 4 dg dua buah bidang datar. Salah satu bidang tsb tegak lurus dg sumbu silinder, dan bidang lainnya memotong bidang yg pertama dg sudut 30o sepanjang diameter silinder. Volume baji tsb dapat dihitung dg rumus volume di atas. Sumbu X diletakkan sepanjang diameter silinder, tempat kedua bidang pemotong bertemu, mk alas baji berupa setengah lingkaran dg pers

Aplikasi Integral Sebuah penampang melintang tegak lurus thd sb X berjarak x dr ttk asal adl segitiga ABC spt tampak pada gambar

Aplikasi Integral Luas penampang ABC tsb adl dan volume baji adalah

APLIKASI INTEGRAL S benda pejal yg diperoleh dr memutar area dibatasi sb X dan kurva y=f(x) dr x=a sampai x=b, b>a>0. Volume S adalah

Aplikasi Integral Kerja/usaha (work). Di fisika, usaha terjadi ketika gaya beraksi pada suatu obyek sehingga menyebabkan perpindahan (Misalnya, mengendarai sepeda) Jika gaya tidak konstan, perlu digunakan integral untuk mendapatkan besarnya usaha yang terjadi. dengan F(x) menyatakan gaya

APLIKASI INTEGRAL Cth:Sebuah tangki berbentuk kerucut terbalik dg tinggi 10 m dan jari-jari alas 4m, diisi air sampai ketinggian 8m. Tentukan kerja yg diperlukan utk mengosongkan tangki dg memompa seluruh airnya melalui bagian atas tangki (kerapatan air = 1000 kg/m3 )

APLIKASI INTEGRAL

APLIKASI INTEGRAL Gaya Hidroststik. Cth:Sebuah bendungan memp bentuk trapesium spt pd gb, dg tinggi 20 m, lebar di atas 50 m dan lebar di dasar 30 m. Hitung gaya pd bendungan yg disebabkan oleh tekanan hidrostatik jk permukaan air adalah 4 m dari atas bendungan.

APLIKASI INTEGRAL Dipilih sb X vertikal dg ttk asal dipermukaan air (lihat gb)

Aplikasi Integral Integral dapat digunakan utk menentukan pusat massa suatu benda. Titik P di mana sebuah keping tipis akan seimbang secara horisontal sebagaimana diilustrasikan pd gambar, disebut pusat massa keping tersebut.

Aplikasi Integral Dua massa m1 dan m2 diletakkan pada kedua ujung sebuah batang (massa batang diabaikan), masing-masing berjarak d1 dan d2 dari tumpuan (lihat gb). Batang akan seimbang apabila Ini mrpkan fakta eksperimental yg ditemukan oleh Archimedes dan disebut Hukum Keseimbangan

Aplikasi Integral Hukum Keseimbangan tsb dapat digunakan utk mendapatkan pusat massa suatu area datar. Jk daerah R terletak diantara dua kurva y=f(x) dan y=g(x) dg spt diilustrasikan pd gb diperoleh pusat massa area R adalah dengan

Aplikasi integral Hukum Coulomb menyatakan bahwa gaya tarik antara dua partikel bermuatan berbanding langsung dengan hasil kali muatan dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua partikel, sehingga dapat ditulis : dengan q1 dan q2 dalam satuan coulombs (C), x dalam satuan metre, gaya dalam satuan newton dan k suatu konstanta positif. Usaha yang diperlukan ketika kedua muatan saling bergerak saling mendekati adalah

Aplikasi integral Prinsip Archimedes menyatakan bahwa gaya apung terhadap sebuah benda yang terendam dalam fluida, baik seluruhnya ataupun sebagian, sama dg berat fluida yg dipindahkan oleh obyek tsb. Jadi utk sebuah benda dg kerapatan yg terendam sebagian dalam fluida berkerapatan ,gaya apung diberikan oleh dg g adalah percepatan gravitasi dan A(y) luas penampang benda.

Aplikasi Integral Berat benda tsb adalah dan prosentase volume benda yg berada di atas permukaan air adalah

Aplikasi Integral Prinsip Archimedes tersebut dapat menjelaskan kenapa suatu kapal atau perahu dapat terapung di atas air

APLIKASI INTEGRAL Keluaran Kardiak jantung adalah volume darah yg dipompa oleh jantung per satuan waktu, yaitu laju aliran darah ke aorta. Metode pengenceran zat warna digunakan utk mengukur keluaran kardiak. Keluaran kardiak : dengan A jumlah zat warna yg disuntikkan ke dalam serambi kanan.

REFERENSI C.H Edwards, The historical development of the calculus, Springer-Verlag, 1979 F.E. Burk, A garden of integrals, The Mathematical Association of America, 2007 C.B Boyer, the history of the calculus and its conceptual development, Dover Publications, 1949 J.V Grabiner, The origins of Cauchy’s rigorous calculus, dover Publications, 1981 J.S Bardi, The calculus wars:Newton, Leibniz and the greatest mathematical clash of all time, Thunder’s mouth press, New York, 2006 J. Stewart, Calculus, Brooks/Cole Publishing Company, 1999 http://www.intmath.com