MODUL IV ESTIMASI/PENDUGAAN (3) A. ESTIMASI RAGAM Estimasi ragam digunakan untuk menduga ragam σ2 dari suatu populasi normal berdasarkan ragam s2 contoh acak berukuran n. Ragam contoh ini akan digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi σ2. Dengan demikian statistik S2 disebut penduga bagi σ2. Selang kepercayaan bagi σ2 dapat diperoleh dengan menggunakan statistik : (n 1)s 2  2  2 = Yang disebut Khi Kuadrat, yang sebaran penarikan contohnya dikenal sebagai sebaran Khi-Kuadrat , dengan v = n – 1 derajat bebas. Seperti sebelumnya v sama dengan pembagi dalam rumus s2. Nilai statistik khi-kuadrat dihitung dari suatu contoh acak berdasarkan rumus di atas. Ciri – ciri Khi Kuadrat adalah 1. Nilai Khi Kuadrat tidak pernah negatif 2. Kurva khi kuadrat tidak setangkup terhadap 2 = 0 3. Semakin besar derajat bebasnya maka nilai data akan semakin menyebar Dari rumus di atas jelaslah bahwa 2 tidak pernah negatif, sehingga kurva sebaran khi-kuadrat ini tidak mungkin setangkup terhadap 2 = 0. Persamaan matematik kurva ini agak rumit, tetapi untunglah kita dapat tidak mencantumkannya di sini. Dengan mudah kita dapat memperoleh sebaran penarikan contoh bagi 2 dengan mengambil secara berulang-ulang contoh acak berukuran n dari suatu populasi normal dan kemudian menghitung nilai 2 untuk setiap contoh tersebut. Dengan http://www.mercubuana.ac.id

2 n  n 0.135 < σ2 < 0.953   (10)(2.72) (1.2) 2 (10)(9) 46.0. Buat selang kepercayaan 95% bagi ragam volume kaleng buah peach hasil perusahaan tersebut bila diasumsikan volume kaleng tersebut menyebar normal. Jawab.  n xi2   i1 n(n 1) 2 xi   n i1   n (10)(2.72) (1.2) 2 (10)(9) S= 2 = = 0.286 Untuk mendapatkan selang kepercayaan 95%, maka kita mengambil α = 0.05. Selanjutnya dengan menggunakan Tabel A.6 dengan v = 9 derajat bebas, kita memperoleh 02.025 = 19.023 dan 02.975 = 2.700. Dengan mensubsitusikannya ke dalam rumus (n 1)S 2 2 2 (9)(0 . 286) 19.023 (n 1)S 2 2 (9)(0 . 286) 2.700 < σ2 < 1 2 0.135 < σ2 < 0.953 B. ESTIMASI RASIO DUA RAGAM Apabila terdapat dua populasi yang berbeda, maka dalam populasi tersebut terdapat 2 ragam yang berbeda pula. Nilai dugaan titik bagi rasio dua Ragam populasi 12 / 22 diberikan oleh rasio ragam contohnya masing – masing s12 / s 22 . Jadi statistik s12 / s 22 merupakan penduga bagi 12 / 22 . Bagi 12 dan 22 keduanya merupakan ragam populasi normal, maka kita dapat membuat Selang kepercayaan bagi 12 / 22 dengan menggunakan statistik  22 s12  12 s 22 F= Yang sebaran penarikan contohnya disebut sebaran/distribusi F. Secara teoritik kita dapat mendefinisikan statistik F sebagai rasio dua peubah khi-kuadrat bebas, yang http://www.mercubuana.ac.id

Jadi nilai f dengan 6 dan 10 derajat bebas yang disebelah kanannyaterdapat daerah seluas 0.95 adalah 1 f 0.05 (10,6) 1 4.06 f 0.95 (6,10)   0.246 Untuk mendapatkan selang kepercayaan bagi 2 / 2 1 2 P [ ƒ 1-α/2 (v1, v2) < F < ƒ α/2 (v1, v2) ] = 1 - α Sedangkan dalam hal ini [ ƒ 1-α/2 (v1, v2) dan ƒ α/2 (v1, v2) ] adalah nilai-nilai sebaran F dengan v1 dan v2 derajat bebas yang masing-masing di sebelah kanannya terdapat daerah seluas 1 – α/2 dan α/2. Dengan mensubsitusikan F kita memperoleh  22 s12  12 s 22 P [ ƒ 1-α/2 (v1, v2) < < ƒ α/2 (v1, v2) ] = 1 - α Dengan menggandakan setiap suku dalam ketaksamaan tersebut dengan S22 / S21 dan kemudian membalikkan suku-sukunya, kita memperoleh Selang kepercayaan bagi 12 / 22 . adalah s12 s 22  2 s 2 1 f 2 (v1, v 2 )  12 12 f 2 (v 2, v1 ) Dengan v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 -1 Contoh Suatu tes penempatan untuk matematika diberikan pada 25 siswa laki – laki dan 16 siswa perempuan. Siswa laki – laki mencapai nilai rata – rata 82 dengan simpangan baku 8, sedangkan siswa perempuan mencapai nilai rata – rata 78 dengan simpangan baku 7. Buat selang kepercayaan 98% bagi 12 / 22 dan 1 2 , bila 12 dan 22 masing – masing adalah ragam populasi semua nilai siswa laki – laki dan perempuan yang mungkin mengambil tes tersebut. Asumsikan bahwa populasinya menyebar normal. Jawab. Diketahui : n1 = 25 n2 = 16 http://www.mercubuana.ac.id