Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu.

B E S A R A N Skalar Vektor massa, waktu, kecepatan, percepatan, jarak gaya Vektor direpresentasikan dengan simbol anak panah Penulisan vektor F = |F| atau F = F   Vektor vektor satuan besar vektor Vektor

Penjumlahan Vektor

Mengikuti hukum : Komutatif :

Assosiatif :

Vektor adalah vektor yang memiliki besaran yang sama dengan vektor tetapi berlawanan arah, bila dijumlahkan akan menghasilkan :

PENJUMLAHAN VEKTOR DENGAN JJ. GENJANG B A A+B B -A B -A+B A+B=? -A+B ?

PENJUMLAHAN VEKTOR DENGAN POLIGON A+B+C ? A B C C A+B+C -B C A B A+(-B)+C ? -A+B-C=?

CONTOH LAIN

SIFAT VEKTOR

PENJUMLAHAN DENGAN GRAFIS F1=10 N X 30O F1+F2 5 cm F2=10 N Y 5V2 cm 120O 30O 5 cm 30O X 1 cm mewakili 2 N Y

PENJUMLAHAN DENGAN COSINUS V2 HASIL RESULTAN DAPAT DIHITUNG DENGAN RUMUS COSINUS: R θ R= V1

KOMPONEN VEKTOR FY KOMPONEN VEKTOR F ADALAH: FX= F COS ao Fy= F SIN ao Contoh: F= 10 N, ao= 30 Maka komponen vektor F adalah FX= F COS ao = 10. COS 30O= FY= F SIN ao = 10. SIN 30O = 10. (1/2)=5 N FX

MENJUMLAH VEKTOR SECARA y MENJUMLAH VEKTOR SECARA ANALITIS F2 F2sin2 F1sin1 F1 2 3 F3cos3 F2cos2 1 x F1cos1 F3sin3 F3

CONTOH PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ANALISIS . KONSEP PENTING: URAIKAN SETIAP VEKTOR MENJADI KOMPONENNYA BUAT TABEL DAN ISI JUMLAHKAN KOMPONEN VEKTOR YANG KEARAH SUMBU-X(DEMIKIAN PADA SUMBU-Y) HITUNG RESULTAN (R), DAN ARAHNYA Y B A 60O 30O X 45O C ARAH VEKTOR R: Tan θ=Ry/Rx R=

MAKA JUMLAH RESULTANTE SBB ANALISIS PADA TABEL VEKTOR NILAI VEKTOR (SATUAN) SUDUT KOMP. VEKTOR -X KOMP. VEKTOR - Y A 20 30O B 120O C 40 225O RX=……. RY= ……. 10√3 10 -10 10√3 -20√2 -20√2 RX=-21 RY=-1 JIKA √2=1,4 DAN √3=1,7 MAKA JUMLAH RESULTANTE SBB

HITUNG BESAR R DAN ARAHNYA? BESAR R=√(-21)2+(-1)2 ARAH R =√441+1 TAN AO=RY/RX =√442 = (-1/-21) = 21,…. SATUAN = ….. AO=…..

EXERCISE Tentukan Resultante dari : a. – A – B (Jajaran genjang) b. – A – B + C (Poligon) c. – A + B (Grafis) 2. Tiga buah vektor gaya masing-masing 20 N, 5 N, dan 20 N membentuk sudut 60o, 150o, dan 315o terhadap sumbu X positif, tentukan: a. gambarnya b. komponen-komponen vektornya c. tabel analisis vektornya d. Resultante dan arahnya

Komponen vektor merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem koordinat disebut komponen skalar atau komponen

Besar vektor : Khusus untuk penjumlahan 2 vektor ( ), besar vektor dapat dicari dengan rumus : Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus trigonometri : Dalil cosinus : Dalil sinus :

Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z diberi tanda :

Kita dapat tulis vektor dan sebagai berikut : disebut komponen vektor

Penjumlahan vektor dengan komponen , setiap komponen sama dengan komponen

Perkalian vektor : Perkalian vektor dengan skalar : Jika vektor dikalikan dengan skalar s akan menghasilkan vektor baru dengan besar nilai absolute s dengan arah jika s positif, dan berlawanan arah jika s negatif. Vektor dibagi dengan s berarti kita mengkalikan dengan 1/s. Perkalian vektor dengan vektor : Menghasilkan skalar : Scalar Product Dikenal sebagai : Dot product

Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut : Scalar product berlaku hukum komutatif Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar : Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :

Menghasilkan vector : Vector Product Dikenal sebagai : Cross Product Dengan besar c adalah : Besaran ditulis jika dan maksimum jika

Arah dari vektor tegak lurus bidang yang berisi vektor dikenal sebagai hukum tangan kanan.

Penulisan dalam vektor satuan : Hasil akhir :

Latihan soal : Dua buah vektor bertitik tangkap sama saling mengapit dengan sudut . Jika besar vektor dua kali vektor dan , hitung ! Jawab :

Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan sudut antara resultan dengan vektor pertama. Jawab : Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus Dalil Cosinus : Dalil Sinus :

Diketahui 3 buah vektor Hitung besar vektor dan sudut antara vektor ini dengan sumbu z jika . Hitung juga sudut antara vektor ! Jawab :

Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan dan arahnya terhadap sumbu x positif. Vektor b mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y. Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor tersebut. Jawab : Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah: Sehingga diperoleh :

VEKTOR SATUAN Vektor dapat dituliskan dalam vektor-vektor satuan. Sebuah vektor satuan mempunyai magnitudo/ukuran yang besarnya sama dengan satu (1). Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesis dinyatakan dengan i, j dan k yang saling tegaklurus. Vektor A dapat ditulis: y A j k x i z

PERKALIAN VEKTOR Perkalian titik A.B = AB cos  A.B = AxBx + AyBy + AzBz Perkalian Silang C = A x B C = AB sin  Cx = AyBz – AzBy Cy = AzBx – AxBz Cz = AxBy – AyBz q A C B q A

ALJABAR VEKTOR Kesamaan vektor Penjumlahan vektor Pengurangan vektor Perkalian vektor dengan bilangan real

Kesamaan Vektor Misalkan: a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k Jika: a = b , maka a1 = b1 a2 = b2 dan a3 = b3

Contoh Diketahui: a = i + xj - 3k dan b = (x – y)i - 2j - 3k Jika a = b, maka x + y = ....

Jawab: a = i + xj - 3k dan b = (x – y)i - 2j - 3k a = b 1 = x - y x = -2; disubstitusikan 1 = -2 – y;  y = -3 Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

Penjumlahan Vektor Misalkan: dan Jika: a + b = c , maka vektor

Contoh Diketahui: dan Jika a + b = c , maka p – q =....

jawab: a + b = c

3 + p = -5  p = -8 -2p + 6 = 4q 16 + 6 = 4q 22 = 4q  q = 5½; Jadi p – q = -8 – 5½ = -13½

Pengurangan Vektor Misalkan: a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k Jika: a - b = c , maka c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 - b3)k

Perhatikan gambar: vektor AB = vektor posisi: titik A(4,1) adalah: Y B(2,4) vektor AB = vektor posisi: A(4,1) titik A(4,1) adalah: X O titik B(2,4) adalah:

vektor AB = Jadi secara umum:

Contoh 1 Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan B(1,2,4). Tentukan komponen- komponen vektor AB Jawab:

Contoh 2 Diketahui titik-titik P(-1,3,0) dan Q(1,2,-2). Tentukan panjang vektor PQ (atau jarak P ke Q)

Jawab: P(1,2,-2) Q(-1,3,0) PQ = q – p =

Perkalian Vektor dengan Bilangan Real dan m = bilangan real Misalkan: Jika: c = m.a, maka

Contoh Diketahui: dan Vektor x yang memenuhi a – 2x = 3b adalah.... Jawab: misal