Teori Himpunan.

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
Matematika Diskrit (Solusi pertemuan 6)
Advertisements

BAB II HIMPUNAN.
Himpunan: suatu kumpulan dari obyek-obyek.
Himpunan.
Logika Matematika Konsep Dasar
Matematika Informatika 1
Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit
LOGIKA MATEMATIKA PERTEMUAN 2 HIMPUNAN II
BAB II HIMPUNAN.
Riri Irawati, M. Kom Logika Matematika - 3 SKS
Matematika Diskrit bab 2-Himpunan
Matematika Diskrit bab 2-Himpunan
HIMPUNAN Rani Rotul Muhima.
Pertemuan ke 4.
Oleh : Devie Rosa Anamisa
Pertemuan ke 4.
Pertemuan 6 : Teori Set/Himpunan (Off Class)
MATEMATIKA DISKRIT PERTEMUAN KE 2 SAFITRI JAYA, S.Kom, M.T.I
TEORI HIMPUNAN sugiyono.
Matematika Diskrit bab 2-Himpunan
Pendahuluan (Himpunan dan Sub himpunan)
Bahan kuliah Matematika Diskrit
BAB 1 Himpunan
Modul Matematika Diskrit Pertemuan ke-4
BAB II HIMPUNAN.
Matematika Diskrit bab 2-Himpunan
MATEMATIKA BISNIS & EKONOMI
Matematika Diskrit Himpunan Sri Nurhayati.
Himpunan Citra N, MT.
Matematika Diskrit (1) Himpunan.
Pertemuan 6 HIMPUNAN.
Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
Matematika Diskrit bab 2-Himpunan
Erna Sri Hartatik Matematika 1 Pertemuan 1 Himpunan.
Disusun Oleh: Novi Mega S
MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 2: Himpunan dan Sistem Bilangan
TEORI HIMPUNAN Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi Powerpoint Templates.
BAB II HIMPUNAN.
IF34220 Matematika Diskrit Nelly Indriani W. S.Si., M.T
Teori Himpunan (Set Theory)
PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan objek-objek (benda). Objek-objek yang dimaksud di sini adalah elemen atau anggota himpunan tersebut CARA.
Pertemuan III Himpunan
Mata Kuliah: MATEMATIKA DISKRIT Harni Kusniyati
Matematika Diskrit Himpunan
Teori Himpunan.
PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan objek-objek (benda). Objek-objek yang dimaksud di sini adalah elemen atau anggota himpunan tersebut CARA.
BAB II HIMPUNAN.
Himpunan (Lanjutan).
HIMPUNAN.
MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 2: Himpunan dan Sistem Bilangan
Transparansi Kuliah Kedua Matematika Diskrit
HIMPUNAN Oleh Cipta Wahyudi.
TEORI HIMPUNAN Pertemuan ke sembilan.
Himpunan.
PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan objek-objek (benda). Objek-objek yang dimaksud di sini adalah elemen atau anggota himpunan tersebut CARA.
MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 2: Himpunan dan Sistem Bilangan
PENDAHULUAN : ALJABAR ABSTRAK
Logika Matematika Teori Himpunan
Matematika Diskrit Himpunan Sri Nurhayati.
Diagram Venn Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama John Venn.
Diagram Venn Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama John Venn.
Logika Matematika Himpunan Sri Nurhayati.
BAB 1 Himpunan
PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan objek-objek (benda). Objek-objek yang dimaksud di sini adalah elemen atau anggota himpunan tersebut CARA.
BAB 1 HIMPUNAN.
BAB 1 HIMPUNAN.
1 Himpunan Bahan kuliah Matematika Diskrit. 2 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen,
Matematika Diskrit bab 2-Himpunan Himpu nan Oleh : Sri Supatmi,S.Kom.
MATEMATIKA EKONOMI & BISNIS. Konsep Himpunan  Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.  Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur,
1 Himpunan Bahan kuliah IF2091 Struktur Diskrit. 2 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen,
Transcript presentasi:

Teori Himpunan

Meski sekilas berbeda, akan kita lihat bahwa logika matematika dan teori himpunan berhubungan sangat erat. 2

Teori Himpunan Himpunan: Kumpulan dari objek (“elemen”) yang berbeda aA “a adalah elemen dari A” “a adalah anggota dari A” aA “a bukan elemen dari A” A = {a1, a2, …, an} “A mengandung …” Urutan dari penyebutan elemen tidak berpengaruh. Seberapa sering elemen yang sama disebutkan tidak berpengaruh. 3

Kesamaan Himpunan Contoh : A = {9, 2, 7, -3}, B = {7, 9, -3, 2} A = B Himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya memiliki elemen yang tepat sama. Contoh : A = {9, 2, 7, -3}, B = {7, 9, -3, 2} A = B A = {anjing, kucing, kuda}, B = {kucing, kuda, tupai, anjing} A  B A = {anjing, kucing, kuda}, B = {kucing, kuda, anjing, anjing} A = B 4

Contoh-contoh Himpunan Himpunan “Standard” : Bilangan Cacah N = {0, 1, 2, 3, …} Bilangan Bulat Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} Bil. Bulat Positif Z+ = {1, 2, 3, 4, …} Bil. Riil R = {47.3, -12, , …} Bil. Rasional Q = {1.5, 2.6, -3.8, 15, …} (definisi yg tepat akan dibahas kemudian) 5

Contoh-contoh Himpunan A =  “himpunan kosong/himp. nol” A = {z} Catatan: zA, tapi z  {z} A = {{b, c}, {c, x, d}} A = {{x, y}} Catatan: {x, y} A, tapi {x, y}  {{x, y}} A = {x | P(x)} “himpunan semua x sedemikian hingga P(x)” A = {x | xN  x > 7} = {8, 9, 10, …} “notasi pembentuk himpunan” 6

Contoh-contoh Himpunan Sekarang kita bisa mendefinisikan himpunan bilangan rasional Q: Q = {a/b | aZ  bZ+} atau Q = {a/b | aZ  bZ  b0} Bagaimana dengan bilangan riil R? R = {r | r adalah bilangan riil} Belum ada cara lain untuk menyatakannya dengan lebih baik. 7

Himpunan Bagian (Subset) A  B “A adalah himpunan bagian dari B” A  B jika dan hanya jika setiap elemen dari A adalah juga elemen dari B. Yang bisa diformalkan sebagai: A  B  x (xA  xB) Contoh: A = {3, 9}, B = {5, 9, 1, 3}, A  B ? Benar A = {3, 3, 3, 9}, B = {5, 9, 1, 3}, A  B ? Benar A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, A  B ? Salah 8

Himpunan Bagian B C A Aturan-aturan yg bermanfaat : A = B  (A  B)  (B  A) (A  B)  (B  C)  A  C (lih. Diagram Venn) C B A 9

Matematika Diskrit Kuliah-2 Himpunan Bagian Aturan-aturan yg bermanfaat:   A untuk sebarang himpunan A A  A untuk sebarang himpunan A Himpunan Bagian Sejati (proper subset): A  B “A adalah himp. bagian sejati dari B” A  B  x (xA  xB)  x (xB  xA) atau A  B  x (xA  xB)  x (xB  xA) Matematika Diskrit Kuliah-2 10

Kardinalitas dari himpunan Jika suatu himpunan memiliki n buah anggota yang berlainan, nN, kita menyebut S sebagai himpunan berhingga dengan kardinalitas n. Contoh: A = {Mercedes, BMW, Porsche}, |A| = 3 B = {1, {2, 3}, {4, 5}, 6} |B| = 4 C =  |C| = 0 D = { xN | x  7000 } |D| = 7001 E = { xN | x  7000 } E tak berhingga! Matematika Diskrit Kuliah-2 11

Himpunan Kuasa (Power Set) 2A atau P(A) “power set dari A” 2A = {B | B  A} (mengandung semua himpunan bagian dari A) Contoh: (1) A = {x, y, z} 2A = {, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}} (2) A =  2A = {} Catatan : |A| = 0, |2A| = 1 12

Himpunan Kuasa (Power Set) Kardinalitas dari power set : | 2A | = 2|A| Bayangkan setiap elemen didalam A memiliki saklar “ON/OFF” Setiap konfigurasi yang mungkin dari saklar didalam A berkorespondensi dengan satu elemen didalam 2A A 1 2 3 4 5 6 7 8 x y z Untuk A yang memiliki 3 elemen, terdapat 222 = 8 elemen didalam 2A Matematika Diskrit Kuliah-2 13

Matematika Diskrit Kuliah-2 Perkalian Kartesian Suatu n-tupel berurutan (ordered n-tuple) (a1, a2, a3, …, an) adalah sebuah koleksi berurut dari objek-objek. Dua buah n-tupel berurut (a1, a2, a3, …, an) dan (b1, b2, b3, …, bn) disebut sama jika dan hanya jika keduanya memiliki elemen-elemen yang tepat sama dalam urutan yang juga sama, yakni, ai = bi untuk 1  i  n. [jika n=2, disebut sbg pasangan berurut) Perkalian Kartesian dari dua himpunan didefinisikan sebagai : AB = {(a, b) | aA  bB} Contoh: A = {x, y}, B = {a, b, c} AB = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)} Matematika Diskrit Kuliah-2 14

Matematika Diskrit Kuliah-2 Perkalian Kartesian Perhatikan bahwa: A =  A =  Untuk himpunan A dan B yg tidak kosong: AB  AB  BA |AB| = |A||B| Perkalian Kartesian dari dua himpunan atau lebih didefinisikan sebagai: A1A2…An = {(a1, a2, …, an) | aiAi for 1  i  n} Matematika Diskrit Kuliah-2 15

Operasi terhadap himpunan Penggabungan/ Union: AB = {x | xA  xB} Contoh: A = {a, b}, B = {b, c, d} AB = {a, b, c, d} Irisan/Intersection: AB = {x | xA  xB} AB = {b} Matematika Diskrit Kuliah-2 16

Operasi terhadap himpunan Dua buah himpunan disebut disjoint jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong: AB =  Perbedaan (pengurangan) antara dua himpunan, A dan B, adalah suatu himpunan yang memiliki elemen-elemen didalam A yang bukan elemen B: A-B = {x | xA  xB} Contoh: A = {a, b}, B = {b, c, d}, A-B = {a} Matematika Diskrit Kuliah-2 17

Operasi terhadap himpunan Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang mengandung semua elemen dalam semesta pembicaraan yang tidak ada di dalam A : A = U - A Contoh: U = N, B = {250, 251, 252, …} B = {0, 1, 2, …, 248, 249} _ _ Matematika Diskrit Kuliah-2 18

Operasi terhadap himpunan Bagaimana membuktikan A(BC) = (AB)(AC)? Cara I: xA(BC) xA  x(BC) xA  (xB  xC) (xA  xB)  (xA  xC) (hukum distributif untuk logika matematika) x(AB)  x(AC) x(AB)(AC) Matematika Diskrit Kuliah-2 19

Operasi terhadap himpunan Cara II: Menggunakan tabel keanggotaan 1 berarti “x adalah anggota dari himpunan ini” 0 berarti “x adalah bukan anggota dari himpunan ini” A B C BC A(BC) AB AC (AB) (AC) 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Matematika Diskrit Kuliah-2 20

Operasi terhadap himpunan Dari contoh-contoh yang diberikan, maka dapat kita simpulkan bahwa: Setiap ekspresi logis dapat ditransformasikan ke dalam ekspresi ekivalen dalam teori himpunan dan begitu pula sebaliknya. Matematika Diskrit Kuliah-2 21