MATEMATIKA 3 TPP: 1202 Disusun oleh Dr. Ir. Dwiyati Pujimulyani,MP Program Studi Teknologi Hasil Pertanian Fakultas Agroindustri Universitas Mercu Buana Yogyakarta 2013

BILANGAN REAL/ RIIL Pecahan positif dan negatif Sistem bilangan Real/ riil terdiri dari suatu himpunan unsur yang dinamakan bilangan Riil, dinyatakan dengan R. Suatu bilangan riil dapat merupakan suatu bilangan positif, suatu bilangan negatif atau nol. Bilangan bulat (positif, negatif dan nol) ……, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…… Pecahan positif dan negatif Bentuk desimal positif dan negatif, seperti

Bentuk desimal berulang positif dan negatif Bilangan Riil yang bukan rasional dinamakan bilangan irasional, yang mempunyai bentuk desimal tak berulang seperti:

Suatu urutan untuk himpunan Riil, dan terdapat relasi yang dinyatakan dengan lambang < dibaca (lebih kecil dari pada) dan > (lebih besar dari pada) Teorema, Jika a, b R (i) a < b, jika dan hanya jika b-a positif (ii) a > b, jika dan hanya jika a-b positif

Ilustrasi : 3 < 5 karena 5-3= 2 ; 2 positif -10 < -6 karena -6 – (-10)= 4 ; dan 4 positif 7 > 2 karena 7-2= 5 ; dan 5 positif Sekarang kita mendefinisikan lambang ≤ (lebih kecil atau sama dengan) dan ≥ (lebih besar atau sama dengan) Jika a, b R a ≤ b, jika dan hanya jika a < b atau a = b a ≥ b, jika dan hanya jika a > b atau a = b Pernyataan a < b, a > b, a ≤ b, dan a ≥ b dinamakan ketaksamaan Contoh: 2 < 7; -5 < 6; -5 < -4, 14 > 8 dst Khususnya: a < b dan a > b dinamakan ketaksamaan murni a ≤ b dan a ≥ b dinamakan ketaksamaan tak murni

Teorema (i) a > 0 jika dan hanya jika a positif (ii) a < 0 jika dan hanya jika a negatif Suatu bilangan x terletak di antara a dan b, jika a < x dan x < b Cara menuliskan ketaksamaan bersambung adalah a < x < b Ketaksamaan bersambung lainnya: a ≤ x ≤ b Yang berarti bahwa a ≤ x dan x ≤ b Ketaksamaan bersambung lainnya= a ≤ x ≤ b dan a < x ≤ b Teorema (i) jika a > 0 dan b < 0, maka a + b > 0 (ii) jika a > 0 dan b > 0, maka ab > 0 Teorema: jika a, b, c R dan jika a > b, dan b > c, maka a > 0

Teorema Andaikan a, b, c, R Jika a > b,maka a + c > a + c Jika a > b, dan c > 0, maka ac > bc Jika a > b, dan c < 0, maka ac < bc Contoh: 9 > 3 jadi 9 + 4 > 3 + 4 atau setara dengan 13> 7 Jika x > y, maka x – 11 > y – 11 sebagai contoh: 9 > 3, jadi 9 – 11 > 3 – 11 atau setara dengan -2 > -8 Jika x > y, menurut teorema (ii) di atas langsung diperoleh 7x > 7y sebagai contoh: karena 8 > 5 maka 7.8 > 7.5 atau setara dengan 56 > 35 Jika 6 > 4 maka untuk z < 0, menurut teorema (iii) di atas langsung diperoleh 6z < 4z contoh: 6 > 4 maka 6 (-3) < 4 (-3) atau setara dengan -18 < -12

Teorema Serupa dengan teorema sebelumnya kecuali tanda ketidaksamaannya berlawanan. Teorema andaikan a, b, c R Jika a < b maka a + c < b + c Jika a < b dan c > a, maka ac < bc Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc Ilustrasi a). Jika x < y dari teorema (i) di atas jika mempunyai x + 5 < y + 5,sebagai contoh -8 < -2; jadi -8 + 5 < -2 + 5 atau setara dengan -3 < 3. Jika x < y maka x – 4 < y – 4 sebagai contoh -8 < -2 jadi -8 – 4 < -2 – 4 atau setara dengan -12 < -6 b). Jika x < y dari teorema (ii) di atas diperoleh 4x < 4y. Sebagai contoh -5 < 3 jadi 4 (-5) < 4 (3) atau setara dengan -20 < 12.

Jika -5 < 3, maka untuk z < 0, dari teorema di atas diperoleh -5z > 3z sebagai contoh karena -5 < 3, maka (-5) (-4) > 3 (-4) atau setara dengan 20 > -12. Teorema Jika a < b dan c < d maka a + c < b + d Ilustrasi: jika x < 8 dan y < -3, maka x + y < 8 + (-3) yaitu x + y < 5

SIFAT-SIFAT SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real a, b, c dan d berlaku sifat-sifat sebagai berikut: Sifat komutatif (i) a + b = b + a (ii) a.b = b.a 2. Sifat asosiatif (i) a + (b +c) = (a + b) + c = a + b + c (ii) a (b.c) = (a.b) c = a.b.c 3. Sifat distributif a (b + c) = (a.b) + (a.c) 4. (i) (ii) (iii)

(iv) a(-b)= (-a)b = -(a.b) (vi) -(-a)= a (vii) Jika a.c = b.c dan c ≠ 0 maka a = b (viii)Jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0

Tugas dikumpulkan di TU paling lambat Tanggal 14 Oktober 2013 1. Dalam suatu survey pemakaian sabun cuci pada 1.000 rumah tangga, diperoleh data sebagai berikut: 550 rumah tangga memakai sabun detergen A; 480 rumah tangga memakai sabun cuci cap B; 600 rumah tangga memakai sabun detergen C; 250 rumah tangga memakai sabun detergen A dan sabun cuci cap B; 380 rumah tangga memakai sabun detergen C dan sabun detergen A; 110 rumah tangga memakai sabun detergen C dan sabun cuci cap B; Berapa rumah tangga yang memakai ketiga macam sabun tersebut?

2. Dalam sebuah survai tentang penggunaan coklat bubuk untuk pembuatan roti kukus pada 99 industri rumah tangga diperoleh data sbb: 55 industri RT menggunakan bubuk Cendrawasih 48 Van Hoden 60 Win Molen 25 Cendrawasih dan Van Hoden 38 Cendrawasih dan Win Molen 11 Van Hoden dan Win Molen Ditanyakan: Berapa industri RT yang menggunakan ketiga merek coklat bubuk tersebut? Berapa industri RT yang tidak menggunakan Van Hoden tetapi menggunakan Cendrawasih dan Win Molen? Berapa industri RT yang tidak menggunakan Cendrawasih dan tidak menggunakan Van Hoden dan Win Molen?

TERIMAKASIH