Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Gorontalo

KELOMPOK 1 1. Isran K Hasan 2. Fatma Paudi 3. Nurhayati Hunowu 4. Rudianto 5. Sendy wulandari 6. Yulan Hanis 7. Astuti 8. Hasmawati

BAB VI BENTUK DISTRIBUSI FREKUENSI 6.2 UKURAN KEMENCENGAN 6.3 KURTOSIS

6.1 BENTUK DISTRIBUSI FREKUENSI Kita perhatikan sekarang bentuk-bentuk distribusi frekuensi. Berdasarkan kepada his-togram atau diagram distribusi frekuensi, suatu distribusi itu dapat berbentuk lonceng, berbentuk J, berbentuk L, dan berbentuk huruf U. histogram untuk bentuk distribusi itu seperti diagram berikut ini. Berbentuk lonceng Berbentuk J Berbentuk L Berbentuk U

6.2 UKURAN KEMENCENGAN Kita sudah mengetahui bahwa bila rerata dan devisiasi baku sekumpulan data diketahui, kita akan memperoleh cukup gambaran mengenai data tersebut. Meskipun demikian, sekumpuluan data yang rerata dan devisiasi bakunya masing-masing sama, mungkin bentuknya lain. Misalnya seperti nampak pada kedua histogram berikut. Kedua histogram itu mempunyai rerata ynag sama besar, yaitu 64,50. devisiasi bakunya pun sama besar, yaitu 14,83. tetapi bentuknya lain ; yang pertama simetris sedangkan yang sebuah lagi sedikit menceng ke sebelah kanan (berekor ke sebelah kanan). 2 10 41 5 19 21 94.50 64.50 35.50 26 5 11 21 35.50 64.50 94.50 Diagram 6.1 Diagram 6.2

Catatan : Mo = modus ; X = rerata ; Me = median Untuk membedakan bentuk-bentukdistribusi semacam itu kita menggunakan ukuran kemencengan (skewness) atau ukuran kesetangkupan (simetri). Kemencengan adalah derajat (tingkat) ketidaksimetrisan. simetrisnya atau kurang simetrisnya suatu distribusi ditentukan oleh perbedaan antara rerata dengan median atau rerata dengan modus. Suatu distribusi yang simetris sempurna akan mempunyai rerata, median, dan modus yang sama. Sedangkan untuk distribusi lainnya, kedudukan rerata, median, dan modusnya itu mungkin sebagai berikut. Mo = Me = X Mo Me X X Me Mo Catatan : Mo = modus ; X = rerata ; Me = median ukuran kemencengan pertama ialah yang disebut dengan Koefisien Kemencengan Pearson Pertama (KK) yang didefinisikan sebagai berikut. KK = ………………..(6.3)

Perlu diketahui mengenai pembagian oleh deviasi baku dalam rumus di atas. Pembagian oleh deviasi baku pada rumus 6.1 dimaksudkan agar rumus itu tidak tergantung dari satuan pengukuran. Sebab, di sini yang penting ialah mempelajari bentik, yang tidak boleh dipengaruhi oleh perubahan satuan pengukuran. untuk histogram pada gambar 6.1 KK = untuk histogram pada diagram 6.2 KK = Dari perhitungan di atas nampak bahwa untuk distribusi yang simetris sempurna, koefisien kemencengan Pearson harganya sama dengan nol. Dan koefisien kemencengan Pearson itu positif bila reratanya lebih besar dari pada modus dan mediannya. Kita dapat mengambil kesimpulan bahwa koefisien kemencengan Pearson itu negatif bila reratanya lebih kecil daripada modus atau mediannya. Dapat pula dikatakan bahwa distribusi itu kemencengannya positif bila ekor kurva halusnya yang di sebelah kanan lebih panjang dari pada yang disebelah kiri ; yang demekian itu disebut pula distribusi yang berat ke kiri. Dan sebaliknya distribusi itu kemencengannya negatif bila ekor kurva halusnya yang disebelah kiri lebih panjang daripada yang di sebelah kanan; distribusinya disebut pula berat ke sebelah kanan.

Rumus 6.1 memiliki kelemahan, yaitu bagi sekumpulan data yang bermodus lebih dari sebuah dan data tersusun ; karena datanya disusun, nilai modusnya bisa berubah. Di samping itu, pengaruh mediannya juga tidak ada. Mengingat hal itu, Rumus 6.1 diubah menjadi Rumus 6.2 melalui substitusi “Modus = 3Median – 2Rerata”. Dengan demikian Rumus 6.1 menjadi Rumus 6.2 berikut. KK ………………..(6.2) Rumus 6.2 disebut Koefisien Kemencengan Pearson Kedua. Dengan rumus itu nilai KK untuk Diagram 6.1 dan 6.2 adalah sebagai berikut. KK

Ukuran kemencengan yang banyak dipakai ialah a3 (alpha 3) yang didefinisikan sebagai rerata dari pangkat tiga. Dengan rumus dapat dinyatakan oleh Rumus 6.3 untuk sampel dan Rumus 6.4 untuk populasi. α3 = ………………..(6.3) α3 = ………………..(6.4) Untuk data tersusun, Rumus 6.3 dan 6.4 berturut-turut menjadi Rumus 6.5 dan Rumus 6.6 berikut. Untuk sampel data tersusun α3 = ………………..(6.5) Untuk populasi tersusun α3 = ………………..(6.7) Bila kita substitusikan Xi = pUi + M ke dalam Rumus 6.6, maka a3 menjadi α3 = ………………..(6.7)

Koefisien kemencengan kuartil adalah Kurva yang menceng positif, a3 biasanya positif, sedangkan yang menceng negatif, a3 biasanya negatif. Ukuran kemencengan lainnya dibuat berdasarkan kepada kuartil dan presentil (peringkat persen). Yang berdasarkan kuartil disebut koefisien kemencengan kuartil dan yang berdasarkan kepada persentil disebut koefisien kemencengan persentil. Koefisien kemencengan kuartil adalah ………………..(6.8) Koefisien kemencengan prsentil adalah ………………..(6.9)

6.3 KURTOSIS Kurtosis adalah tingkat menggunungnya suatu distribusi, yang umumnya dibandingakan dengan distribusi normal. Suatu distribusi yang berpuncak tinggi dan ekor-ekornya relatif panjang disebut leptokurtis. Distribusi yang puncaknya agak mendatar dan ekor-ekornya relatif pendek disebut platikurtis. Dan, distribusi normal yang puncaknya tidak begitu tinggi dan tidak begitu mendatar disebut mesokurtis. Perhatikan gambar berikut ini. LEPTOKURSIS MESOKURTIS PLATIKURTIS

Untuk sampel data tak tersusun Ukuran kurtosis yang biasa dipergunakan adalah a4 (alpha 4) yang didefinisikan sebagai rerata dari pangkat empat simpanganterhadap rerata dibagi deviasi baku pangkat empat. Untuk sampel data tak tersusun α4 = ………………..(6.10) Untuk populasi data tak tersusun α4 = ………………..(6.11)

α4 = α4 = α4 = K = Untuk sampel data tersusun ……………(6.12) Untuk populasi data tersusun α4 = ……………..(6.13) Bila kita substitusikan Xi = pUi + M ke dalam Rumus 6.6, maka a3 menjadi α4 = ………………..(6.14) Ukuran lain kurtosis adalah ukuran yang berdasarkan kuartil dan sentil yaitu: K =