Probabilitas dan Statistika (Teori Kemungkinan)

Pengertian Ditinjau dari objek yang diambil, setiap objek mempunyai kemungkinan terambil dan tidak terambil. Jika kita mengambil 10 orang mahasiswa dari 100 orang mahasiswa (50 orang laki-laki dan 50 orang perempuan) secara random (acak), kemungkinan yang terajadi : 1. Semuanya laki-laki 2. Semuanya perempuan 3. Beberapa laki-laki 4. Beberapa perempuan 5. Perbandingan laki-laki dan perempuan 1 : 1

Teori probabilitas didasarkan pada konsep dari suatu eksperimen random (acak). Secara sederhana, setiap tebakan mengandung unsur kemungkinan keluar maupun tidak. Persoalannya terletak pada pilihan kita itu mengandung kemungkinan keluar lebih besar daripada kemungkinan tidak keluar.

Contoh 1: Mata uang Rp.500,- mempunyai dua sisi yang berbeda, yaitu bunga melati (BM) dan burung garuda (BG). Jika koin dilempar ke atas satu kali, maka kemungkinan keluar BM = BG. Setiap sisi mempunyai probabilitas keluar ½. Jumlah probabilitas BM = 1, dan BG = 1. Hal ini merupakan hukum probabilitas, yaitu : Jumlah probabilitas dari masing-masing elemen adalah pasti.

Contoh 2 : Jika dadu yang mempunyai 6 sisi dilemparkan satu kali, maka setiap bidang memiliki probabilitas akan muncul = 1/6. Secara umum, probabilitas satu perlakuan atas N objek adalah 1/N. Bagaimana jika perlakuan yang diberikan lebih dari satu kali?

Contoh 3 : Jika kita menghadapi dua orang mahasiswa (A dan B), kemudian kita ingin menentukan siswa mana yang akan maju untuk mengerjakan soal di papan tulis. Jika kita ingin mengambil tiga kali secara acak, maka akan muncul : AAA BBB AAB BBA ABA BAB ABB BAA

Dengan demikian probabilitas A : Tidak tertunjuk = 1/8 Tertunjuk sekali = 3/8 Tertunjuk dua kali = 3/8 Tertunjuk tiga kali = 1/8   Probabilitas B :

Contoh 4 : Jika kita berhadapan dengan 100 orang mahasiswa, dan kita ingin mengambil 5 orang secara random tanpa pengembalian, maka probabilitasnya adalah : Pengambilan I : setiap siswa mempunyai probabilitas terpilih 1/100 Pengambilan II : 1/99 (karena 1 orang telah terambil) Pengambilan III : 1/98 Pengambilan IV : 1/97 Pengambilan V : 1/96

Hukum Probabilitas Ada dua peraturan umum dalam probabilitas : penjumlahan dan perkalian Aturan Penjumlahan akan terjadi jika dua kejadian akan mungkin muncul dalam satu pengambilan. Contoh : Dalam pelemparan dadu, setiap bidang memiliki probabilitas akan muncul = 1/6. Sekarang kita akan menghitung : Probabilitas munculnya bidang 3 atau 6 Probabilitas munculnya bidang 2 atau 4

P (X atau Y) = P (X) + P(Y) – P (X dan Y bersama) Rumus yang digunakan : P (X atau Y) = P (X) + P(Y) – P (X dan Y bersama)       Oleh karena bidang-bidang dalam dadu tidak bisa muncul serentak, maka : Untuk kejadian-kejadian variabel independen digunakan rumus : P (X atau Y) = P (X) + P(Y) – P (X dan Y bersama) P (X atau Y) = P (X) + P(Y)

Maka pada soal di atas : P (3 atau 6) = P (3) + P (6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 P (3 atau 6) = P (2) + P (4)

Aturan perkalian akan terjadi jika ada dua atau lebih kejadian yang terjadi secara beruntun atau simultan.  Jika X dan Y merupakan dua kemungkinan hasil, maka probabilitas X dan probabilitas Y merupakan hasil perkalian X dengan Y. P (X dan Y) = P (X) x P(Y)     Jadi : P (3 dan 6) = P (3) x P (6) = 1/6 x 1/6 = 1/36 P (X dan Y) = P (X) x P(Y)

Probabilitas dalam Distribusi Frekuensi Contoh : Dalam pengumpulan nilai probabilitas dan statistika mahasiswa jurusan Teknik Elektro FT UNP diperoleh daftar nilai sebagai berikut : X 40 50 60 70 80 90 100 Y 3 4 5 8 2 1

N = 25 Jika kita mengambil 1 skor dari populasi secara random, berapa probabilitas keluar nilai di atas 70? Mahasiswa yang memperoleh nilai >70 = 5 orang Maka : P (X=70) = 5/25 atau 1/5 Jika diinginkan X=60 dan X<80 : P (X=60) = 5/25 atau 1/5 P (X<80) = 20/25 = 4/5 Dan sebagainya

Probabilitas dalam Distribusi Normal Data populasi yang berdistribusi normal : rata-rata (mean) = median = mode Contoh 1: Jika rata-rata nilai statistik = 8, simpangan baku = 10. Berapakah probabilitas seorang mahasiswa untuk memperoleh nilai >88?

Jawab : X > 88 Tentukan Z skor dari batas bawah nilai yang kita inginkan. Z = (88-80) : 10 = 0,8 Tentukan posisi untuk Z >88 dalam distribusi normal, untuk itu perlu bantuan tabel Z. Lihat tabel Z (tabel distribusi normal) pada kolom A yang bernilai 0,80. Kemudian lihat kolom C = 0,2119. P(X>88) = 0,2119 = 21,19% Kita menginginkan X > Z (0,80) : maka lihat kolom C

Contoh : Jika rata-rata nilai statistik = 8, simpangan baku = 10. Berapakah probabilitas seorang mahasiswa untuk memperoleh nilai <80? Jawab : (70<X<80) atau Z (0,88) adalah 0,3106 (lihat kolom B Harus diketahui : µ (rata-rata populasi) membagi kurva normal menjadi dua bagian yang sama besar, sehingga probabilitas di bawah µ adalah 0,5 Maka : P (x<80) adalah = 0,5 + 0,3106 = 0,8106.

Probabilitas dalam Distribusi Binomial Distribusi binomial : distribusi yang biasa diterapkan dalam beberapa peristiwa. Biasanya dipakai pada satu eksperimen yang bertujuan tertentu. Hasil eksperimen ada dua : berhasil atau tidak.

Keterangan : ! : (baca faktorial) adalah perhitungan kelipatan, misalnya : 4! = 4x3x2x1 = 24 0! = 1 1! = 1 X = banyaknya kejadian yang ingin kita cari n = banyaknya perlakuan p = probabilitas keberhasilan dalam sekali perlakuan q = probabilitas kegagalan dalam sekali perlakuan

Contoh : Pada pelemparan koin Rp.500 sebanyak 3 kali. Berapa probabilitas akan keluar 2 kali gambar bunga melati (BM) tanpa memperhatikan letak (kapan keluarnya)  Jawab : n = 3; x = 2; p = ½; q = ½;

Secara sederhana, perhitungan di atas dapat dibuktikan kebenarannya Secara sederhana, perhitungan di atas dapat dibuktikan kebenarannya. Yaitu dengan mengurutkan beberapa kombinasi yang mungkin muncul : BM BM BM BG BG BG BM BM BG BG BG BM BM BG BM BG BM BG BM BG BG BG BM BM Berdasarkan kemungkinan tersebut, maka kombinasi yang mengandung BM dua kali adalah : BM BM BG BM BG BM BG BM BM

Maka jumlah kombinasi keluar BM dua kali adalah 3 Maka jumlah kombinasi keluar BM dua kali adalah 3. Jumlah kombinasi keluar BM dua kali dalam tiga kali lemparan : C (2 dalam 3) = 3! : [(3-2)! 2!] = 6 : 2 = 3

Jika dihubungkan dengan probabilitas yang telah dipelajari terdahulu : P (BM) = ½ dan P (BG) = ½. Maka : P (BM BM BG) = P (BM) x P (BM) x P (BG) = ½ x ½ x ½ = 1/8 Secara umum rumus di atas dapat diubah menjadi :

Keterangan : p = P (BM) q = P (BG) x = banyaknya keluar BM   dengan demikian maka :

Oleh karena kita ingin mengetahui probabilitas kombinasi yang mengandung dua BM dalam tiga kali lemparan, maka : P = n x P (BM BM BG) atau = C (2BM dalam 3) x P (BM BM BG) atau

Rata-rata dalam distribusi binomial merupakan hasil kali banyak percobaan (n) dengan probabilitas keberhasilan percobaan (p). Dengan demikian maka rata-ratanya dapat dihitung dengan rumus : Sedangkan simpangan baku dalam distribusi binomial dapat dihitung dengan rumus :

Contoh : Dari pelemparan koin sebanyak empat kali, akan menghasilkan :

Fungsi perhitungan rata-rata dan simpangan baku disini adalah untuk melakukan transformasi ke distribusi normal. Jika kita ingin mencari probabilitas keluar BM sebanyak tiga kali dalam empat lemparan, maka kita lebih baik melakukan transformasi ke Z skor :

Baru kemudian cari dalam tabel Z(+) = 0,1587 Baru kemudian cari dalam tabel Z(+) = 0,1587. Dengan demikian maka probabilitas keluar BM sebanyak tiga kali dalam empat kali lemparan adalah 15,87%.