BAB II HIMPUNAN

2.1 Definisi Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek- objek yang berbeda dan tidak memperhatikan urutan penulisan 2.2 Penyajian himpunan Tabulasi atau enumerasi Notasi pembentuk himpunan (set builder) Diagram Venn

a. Tabulasi atau enumerasi Contoh 2.1 Misal B adalah himpunan bilangan genap positif yang tidak lebih dari seribu. B = { 0, 2, 4, … , 1000} Contoh 2.2 Misal C adalah himpunan bilangan ganjil positif yang lebih kecil dari 100. C = { 1, 3, 5, … , 97, 99} b. Notasi pembentuk himpunan (set builder) Contoh 2.3 A adalah himpunan bilanganb ril lebih kecil dari 100 dan lebih besar dari 1. A = { x | x  R, 1 < x < 100}

c. Diagram Venn Misal A = {1, 2, 3, 4} B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8} 5 6 7 8 9 10 A B

2.3 Kardinalitas Kardinalitas menunjukkan jumlah anggota himpunan. Jika terdapat himpunan A, maka kardinalitas A ditulis n(A) atau |A| Contoh 2.4 Jika A = { x | x bilangan prima, x  10} Maka dapat ditulis A = {2, 3, 5, 7} Jadi |A| = 4 Contoh 2.5 Jika B = {x|x2 – 6x + 9 = 0 } Maka dapat ditulis B = { 3 } Jadi |B| = 1

2.4 Himpunan kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Jadi untuk hiompunan kosong |A| = 0. Himpunan kosong dilambangkan dengan Ø atau { }. Contoh 2.6 K = { x | x bilangan ril, x2 + 1 = 0 } Maka |K| = Ø atau { }.

2. 5. Himpunan bagian (subset) Misal terdapat himpunan A dan B. Jika seluruh anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, maka dikatakan bahwa A merupakan himpunan bagian B, dan ditulis A ⊆ B. Jika setidak-tidaknya terdapat satu anggota himpunan B tidak termasuk anggota himpunan A, maka ditulis A ⊂ B Lambang ⊆ adalah lambang himpunan bagian tak sebenarnya (improper set). Sedangkan lambang ⊂ adalah lambang himpunan bagian sebenarnya (proper set) Jika A ⊆ B dan B ⊆ A, maka A = B

2.6 Kesamaan himpunan Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika A adalah himpunan bagian B dan B merupakan himpunan bagian A. Dengan menggunakan lambang matematika kita dapat menulisnya dalam bentuk A = B  A ⊆ B dan B ⊆ A. Contoh 2.7 L = { x | x bilangan prima, x < 5} dan M = { x | x2 – 5x + 6 = 0 } Agar lebih jelas, tulis kedua himpunan tersebut diatas dalam bentuk enumerasi. L = { 2,3} M = { 2,3} Jadi L = M

Contoh 2.8 A = { 2 } B = { x | x2 = 4 } Karena B = { -2 , 2 } Maka A ≠ B. 2.7. Ekivalensi himpunan Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal A = kardinal B. Dalam bentuk lambang matematika dapat ditulis menjadi A ~ B  |A| = |B| Contoh 2.9 Jika A = { x | x = P , 1  x  5} dan B = { Ani, Ali, Badu, Hasan, Wati } Karena |A| = |B|, maka A ~ B .

2.8. Himpunan saling lepas Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak mempunyai anggota yang sama. Dalam bentuk lambang dapat ditulis dengan A//B. Jika digambarkan dengan diagram Venn maka bentuknya seperti gambar berikut. S A B Contoh 2.10 A = { x | 1  x  5} dan B = { Ani, Ali, Badu, Hasan, Wati } Karena anggota A tidak ada satupun yang sama dengan anggota B, maka A // B.

2.9. Himpunan kuasa Himpunan kuasa (power set) adalah suatu himpunan A yang anggota-anggotanya merupakan semua himpunan bagian A, termasuk himpunan kosong dan dan himpunan A itu sendiri. Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan P(A) atau 2A. Contoh 2.11 Jika M = { 1,2,3 }, maka himpunan kuasa dari M adalah 2A = { Ø, {1} , {2} , {3} , {1,2} , {1,3} , {2,3} , {1,2,3}}

2.10. Operasi himpunan 2.10.1 Irisan Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A dan himpunan B. Dalam bentuk notasi A  B = { x | x  A dan x  B}. Diagram Venn operasi irisan adalah seperti gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah irisan A dan B atau A  B. A B S

Contoh 2.12 Jika A = { 2 , 3 , 6 , 7 } B = { 2 , 7 , 9 , 10 } Maka A  B = { 2 , 7 } S A B 2 7 3 6 9 10 Contoh 2.13 Jika K = { x ,y | x + y = 4, x,y  R } L = { x ,y | x  y = 2, x,y  R } Maka K  L = { 3 , 1 } S K L 3 1

2.10.2 Gabungan Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau B. Dalam bentuk notasi ditulis sebagai A  B = { x | x  A atau x  B}. Diagram Venn operasi gabungan adalah seperti gambar berikut. Bidang yang diwarnai adalah gabungan A dan B atau A  B A B S

Contoh 2.14 Jika A = { 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 9 } B = { 2 , 3 , 4 , 7 , 9 , 10 } Maka A  B = { 2 , 3 , 7 , 9 }. S A B 2 3 7 9 1 6 4 10

Komplemen suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan semesta tapi bukan anggota himpunan A. Dalam bentuk notasi ditulis Ā = { x | x  S dan x  A}. Diagram Venn untuk Ā seperti gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah Ā. S A

Contoh 2.15 Jika S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } A = { 2 , 3 , 4 , 5 } Maka Ā = { 1 , 6 , 7 , 8 , 9 }. 2 3 4 5 S A 6 8 9

2.10.4 Selisih Jika terdapat himpunan A dan himpunan B, maka A – B adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja. Dalam bentuk notasi ditulis sebagai , A – B = { x | x  A dan x  B}. Diagram Venn dari operasi ini adalah bidang yang diarsir pada gambar berikut. A B S

Contoh 2.16 Jika A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } B = { 3 , 4 , 5, 10 } Maka A – B = { 6 , 7 , 8 , 9 }. S A B 3 4 5 7 8 9 10

2.10.5 Beda setangkup Beda setangkup (symmetric difference) himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggota- anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja atau himpunan B saja. A  B = (A  B) – ( A B) = ( A – B )  ( B – A ) . Diagram Venn dari operasi ini adalah bidang yang diarsir pada gambar berikut. S A B

Contoh 2.17 Jika A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } Maka A  B = { 1 , 9 , 10 }. S A B 3 5 7 8 9 10 1

2.10.6 Perkalian Kartesian Jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalian Kartesian A x B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan pasangan terurut (ordered pairs) dengan komponen pertama berasal dari himpunan A dan komponen kedua berasal dari himpunan B. Dalam bentuk notasi dapat ditulis sebagai , A x B = { (a,b) | a  A dan b  B}. Hal yang perlu diingat : Jika A dan B  Ø, maka A x B  B x A Jika A = Ø atau B = Ø maka A x B = B x A = Ø |A x B| = |A| . |B|

Contoh 2.18 Misal C = { 1 , 2 , 3 } D = { a , b } C x D = { (1,a) , (1,b) , ( 2,a) , (2,b) , (3,a) , (3,b)} 2.10.7 Prinsip Inklusi-Eksklusi | AB| = |A| + |B| - |AB| |ABC| = |A| + |B| + |C| – |AB| – |BC| – |AC| + |ABC| |A  B| = |A| + |B| - 2|AB|

2.10.8 Sifat-sifat operasi himpunan dan prinsip dualitas Misal F adalah suatu sifat yang melibatkan sejumlah himpunan dan operasinya, maka kita akan mendapatkan dual dari sifat F (ditulis dengan lambang F*) dengan cara mengganti:  dengan   dengan  Ø dengan S S dengan Ø Berikut disajikan beberapa sifat dari operasi himpunan dan dualnya.

Hukum Dual 1. Identitas : A  Ø = A A  S = A 2. Null : A  Ø = Ø A  S = S 3. Komplemen : A  Ā = S A  Ā = Ø 4. Idempoten : A  A = A A  A = A 5. Penyerapan : A  ( A  B) = A A  ( A  B) = A 6. Komutatif : A  B = B  A A  B = B  A 7. Asosiatif : A  ( B  C ) = (A  B)  C A  ( B  C ) = (A  B)  C 8. Distributif : A  ( B  C) = ( A  B)  (A  C) A  ( B C) = ( A  B)  (A  C) 9. De Morgan : 10. 0/1 : Ø = S S = Ø A  B = A  B A  B = A  B

2.11. Himpunan ganda (multiset) dan operasinya Pada himpunan ganda, setidak-tidaknya terdapat satu anggota yang muncul lebih dari satu kali. Selain itu kita juga mengenal istilah multiplisitas, yaitu jumlah kemunculan anggota dari suatu himpunan ganda. Sebagai contoh, jika Q = { 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 4 , 7 , 8 , 8 , 9 }, maka multiplisitas 2 adalah 3, sedangkan multipilisitas 8 adalah 2 dst.

2.11.1 Operasi Gabungan Misal S dan T adalah multiset. Operasi gabungan antara keduanya akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas maksimum anggota-anggota pada himpunan ganda S dan T. Contoh 2.19 Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani } S  T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani }

2.11.2 Operasi Irisan Misal S dan T adalah multiset. Operasi irisan antara keduanya akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas minimum anggota-anggota pada himpunan ganda S dan T. Contoh 2.20 Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani } S  T = { Ani, Ani, Karim, Karim, Ali }

2.11.3 Operasi selisih Misal S dan T adalah multiset. Operasi selisih S – T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota- anggotanya ditentukan dengan cara: - Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada S, maka cari S–T Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada T, maka multiplisitas anggota yang sama tersebut sama dengan 0. Contoh 2.21 Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani } S – T = { Karim, Karim }

2.11.4 Operasi jumlah Misal S dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S + T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota- anggotanya merupakan jumlah dari multiplisitas masing- masing anggota yang sama. Contoh 2.21 Jika S = { Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani, Karim, Ali, Ali, Gani } S+T= {Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Karim, Ali, Ali, Ali, Gani } 2.12. Pembuktian pernyataan himpunan Pernyataan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan diagram Venn, tabel keanggotaan, sifat operasi himpunan atau definisi.

2.12.1 Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan dengan menggunakan diagram Venn, pertama-tama Gambarkan diagram Venn untuk ruas kiri dan ruas kanan kesamaan. Jika ternyata kedua gambar dari diagram Venn tersebut sama maka kesamaan tersebut terbukti benar. Contoh 2.21 Buktikan bahwa : A  ( B  C) = ( A  B)  (A  C) Penyelesaian

= = ( A  B)  (A  C) A  ( B  C) S S A A B B C C Terbuktikan bahwa A  ( B  C) = ( A  B)  (A  C)

2.12.2 Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan Selain diagram Venn kita juga dapat menggunakan tabel keanggotaan untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan. Contoh 2.22 Buktikan bahwa A  ( B  C) = ( A  B)  (A  C) Bukti

A B C AB AC BC A(BC) (AB)  ( AC)

A B C AB AC BC A(BC) (AB)  ( AC)

A B C AB AC BC A(BC) (AB)  ( AC) 1

A B C AB AC BC A(BC) (AB)  ( AC) 1

A B C AB AC BC A(BC) (AB)  ( AC) 1

A B C AB AC BC A(BC) (AB)  ( AC) 1

A B C AB AC BC A(BC) (AB)  ( AC) 1

A B C AB AC BC A(BC) (AB)  ( AC) 1

A B C AB AC BC A(BC) (AB)  ( AC) 1

A B C AB AC BC A(BC) (AB)  ( AC) 1 Perhatikan bahwa kolom 7 dan 8 sama, artinya A(BC) = (AB)(AC) (terbukti).

2.12.3 Pembuktian dengan menggunakan sifat operasi himpunan Cara lain untuk membuktikan kebenaran pernyataan himpunan adalah dengan menggunkan sifat operasi himpunan. Contoh 2.23 Buktikan bahwa : (Ā  B)  (A  B) = B Bukti (Ā  B)  (A  B) gunakan hukum distributif B  (Ā  A) gunakan hukum komplemen B   gunakan hukum identitas B