Statistik dan Probabilitas Kuliah 3 Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskret & Kontinyu Prodi Teknik Sipil Unsoed

Distribusi Probabilitas Model Probabilitas suatu variabel random X adalah suatu bentuk distribusi probabilitas tertentu yang dianggap mencerminkan tingkah laku X. Harga-harga probabilitas dinyatakan dalam bentuk parameter yang tidak diketahui, yang berkaitan dengan karakteristik populasi dan cara pengambilan sampelnya Variabel random: Diskret & Kontinyu

Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskret: Probabilitas Geometri Probabilitas Hipergeometrik Probabilitas Poisson Variabel Random Kontinyu: Probabilitas Normal

Distribusi Geometri Dalam sebuah seri percobaan Bernoulli (percobaan bersifat independen dengan peluang keberhasilan konstan), variabel acak X menyatakan jumlah percobaan sampai didapatkan sukses/keberhasilan yang pertama. Lalu X adalah sebuah variabel acak geometri dengan parameter 0 < p < 1 dan f(x) = (1-p)x-1p x=1,2,… Jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian, maka satu syarat “Bernauli Trias” yakni independensi tidak dipenuhi. Tetapi apabila ukuran populasinya sangat besar relatif terhadap ukuran sampelnya, maka model “bernauli trias” dapat diambil sebagai model pendekatan. Sifat bernauli trias: Tiap trial menghasilkan satu dari dua hasil yang mungkin, yaitu sukses atau tidak sukses. P(S)=p tetap dari trial ke trial Trial-trial independen satu dengan yang lain.

Contoh Probabilitas bahwa sebuah sampel beton akan terdapat retakan adalah 0,01. Jika diasumsikan bahwa sampel beton adalah independen, berapakah probabilitas bahwa tepat 125 sample perlu dianalisa sebelum sebuah retakan ditemukan? Jawab: X menyatakan jumlah sampel yang dianalisa sampai sebuah retakan ditemukan. Sehingga X adalah sebuah variabel acak geometrik dengan p = 0,01. Probabilitas yang diminta adalah P(X=125) = (0,99)124.0,01 = 0,0029

Rata-rata & variansi variabel acak geometri Jika X adalah sebuah variabel acak geometri dengan parameter p,  = E(X) = 1/p 2 = V(X) = (1-p)/p2

Disribusi Binomial Negatif Dalam sebuah seri percobaan Bernoulli (percobaan bersifat independen dengan peluang keberhasilan konstan), variabel acak X menyatakan jumlah percobaan sampai didapatkan r buah sukses/keberhasilan. Lalu X adalah sebuah variabel acak binomial negatif dengan parameter 0 < p < 1 dan r = 1,2,3,…, dan

Contoh Misalkan bahwa probabilitas sebuah bit yang ditransmisikan pada sebuah saluran digital akan diterima dalam keadaan error adalah 0,1. Asumsikan transmisi bit adalah kejadian independen, dan variabel acak X menyatakan jumlah bit yang ditransmisikan sampai dengan error ke empat. P(X=10) adalah probabilitas akan didapatkan empat error dalam 10 percobaan.

Rata-rata dan variansi variabel acak binomial negative Jika X adalah sebuah variabel acak binomial negative dengan parameter p dan r,  = E(X) = r/p 2 = V(X) = r(1-p)/p2

Distribusi Hypergeometri Sekumpulan N buah objek meliputi: K buah objek dikelompokkan sebagai keberhasilan/sukses N-K buah objek dikelompokkan sebagai kegagalan Sebuah sampel berukuran n buah objek di pilih secara acak (tanpa pengembalian) dari N buah objek, dimana K  N dan n  N. Variabel X menyatakan jumlah keberhasilan dalam sampel. Maka X adalah variabel acak hypergeometri

Contoh Diantara 850 balok beton pracetak hasil produksi terdapat 50 balok beton yang tidak memenuhi syarat kuat tekan rencana. Dua buah balok dipilih secara acak tanpa mengembalikan lagi, yaitu balok yang telah dipilih tidak dikembalikan lagi sebelum pemilihan berikutnya dilakukan. Kita misalkan A dan B masing-masing adalah kejadian-kejadian yang menyatakan bahwa balok pertama dan kedua tidak memenuhi syarat kuat tekan. Maka Kedua balok memenuhi syarat kuat tekan, adalah

Contoh Balok pertama memenuhi syarat balok kedua tidak, atau balok pertama tidak memenuhi balok kedua memenuhi Kedua balok tidak memenuhi syarat kuat tekan

Rata-rata dan variansi variabel acak hypergeometrik Jika X adalah sebuah variabel acak hypergeometrik dengan parameter N, K, dan n, maka  = E(X) = np 2 = V(X) = np(1-p)(N-n)/(N-1) dimana p=K/N

Distribusi Poisson Diberikan interval dari suatu bilangan real, asumsikan kejadian acak sepanjang interval. Jika interval dapat dibagi ke dalam subinterval-subinterval pendek sehingga 1. probabilitas lebih dari satu kejadian dalam sebuah interval = 0 2. probabilitas satu kejadian dalam sebuah subinterval adalah sama untuk semua subinterval dan proporsional terhadap panjang subinterval, dan 3. kejadian dalam setiap subinterval adalah independen terhadap subinterval-subinterval yang lain, percobaan acak tersebut disebut sebuah Proses Poisson.

Distribusi Poisson Variabel acak X yang sama dengan jumlah kejadian di dalam interval tersebut adalah sebuah variabel acak Poisson dengan parameter 0 < , dan probabilitas fungsi massa dari X adalah

Probability Density Function Sebuah fungsi kepadatan probabilitas (probability density function) f(x) dapat digunakan untuk menggambarkan distribusi probabilitas dari sebuah variable acak kontinu X.

Contoh Misalkan variable acak kontinu X melambangkan arus yang diukur dalam sebuah kabel tembaga (miliamper). Asumsikan rentang nilai X adalah [0, 20 mA], dan asumsikan bahwa probability density function (pdf) dari X adalah untuk Berapakan probabilitas bahwa sebuah pengukuran arus adalah kurang dari 10 mA. Jawab:

Contoh 2 Misalkan variable acak kontinu X melambangkan diameter dari sebuah hasil pengeboran lubang pada sebuah lempeng logam. Target diameter adalah 12,5 mm. Gangguan pada proses pengeboran menghasilkan lubang berdiameter lebih besar. Data historis menunjukkan bahwa distribusi X dapat dimodelkan dengan a fungsi kepadatan probabilitas (pdf) Jika lempeng dengan diameter lubang lebih besar dari 12.60 dibuang, berapa bagian yang dibuang? Jawab:

Cumulative Distribution Function Untuk

Contoh Pada contoh sebelumnya untuk arus pada tembaga, fungsi distribusi kumulatif untuk variable acak kontinu X terdiri dari tiga bagian: Sehingga

Contoh Pada contoh sebelumnya untuk lubang pengeboran pada lempeng logam, fungsi distribusi kumulatif untuk variable acak kontinu X terdiri dari dua bagian: Sehingga

Hubungan antara probability density function dan cumulative distribution function Sehingga

Contoh Waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan sebuah reaksi kimia didekati dengan sebuah fungsi distribusi kumulatif Tentukan probability density function (pdf) dari X. Berapa bagian reaksi yang selesai dalam waktu kurang dari 200 ms. Jawab: Pdf adalah turunan pertama dari CDF sehingga: Probabilitas bahwa sebuah reaksi akan selesai kurang dari 200 milliseconds adalah

Rata-rata dan varians variable acak kontinyu Standar deviasi:

Contoh Pada contoh sebelumnya untuk arus pada tembaga, harga-harga rata-rata dan variansnya adalah: Rata-rata: Varians:

Distribusi Seragam Kontinu Sebuah variable acak kontinu X dengan fungsi kepadatan probabilitas Adalah sebuah variable acak seragam kontinu Harga rata-ratanya Harga variansnya

Contoh Misalkan variable acak kontinu X menyatakan arus yang diukur pada sebuah kawat tembaga tipis dalam miliamper. Asumsikan rentang nilai X adalah [0, 20 mA], dan asumsikan fungsi kepadatan probabilitasnya adalah Berapakah probabilitas pengukuran adalah antara 5 dan 10 miliampere? Rumus-rumus harga rata-rata, varians, dan standar deviasi diterapkan pada a=0 dan b=20 Standar deviasinya adalah

Cumulatif Distribution Function Variable acak Seragam Kontinu Jika CDF didapatkan dengan melakukan integrasi PDF

Distribusi Normal Adalah variable acak normal dengan parameter-parameter dimana dan Untuk menyatakan distribusi digunakan notasi

Contoh Asumsikan bahwa pengukuran arus pada sepotong kabel mengikuti sebuah distribusi normal dengan rata-rata 10 mA dan variansi 4 mA. Berapakah probabilitas bahwa sebuah pengukuran melampaui 13 mA. Probabilitas yg diminta dapat dinyatakan Untuk menghitung integral dari pdf harus menggunakan cara numerik atau bisa ditemukan dari tabel.

Tugas Kelompok Satu kelompok 4-5 orang (maksimal 5 orang). Buat resume tentang penggunaan distribusi probabilitas , dan berikan masing-masing satu contoh aplikasinya di bidang teknik sipil. Geometri Binomial negatif Hipergeometri Poisson Normal Tugas dikirim via email ke nikosiameva@yahoo.com Date line : Besok, Pukul 00.00 30 Mei 2012