COUNTER EXAMPLE & KUANTOR DUA-VARIABEL ATAU LEBIH

Tujuan Mahasiswa akan dapat memberikan contoh-contoh kuantor dua variabel dan negasinya.

Cakupan Counter Example Kuantor dua variabel Negasi kuantor dua variabel atau lebih Tabel Kebenaran Kuantor Dua Variabel

Counter Example Banyak teorema dalam matematika, khususnya teori bilangan, dimulai dengan “Untuk setiap n bilangan bulat, berlaku ..... “. Untuk membuktikan bahwa suatu kuantor universal adalah BENAR, biasanya digunakan metode induksi lengkap. Yakni: buktikan benar untuk n=1; anggap benar untuk n=k; dan akhirnya buktikan benar untuk n=k+1. Untuk membuktikan bahwa suatu kuantor universal adalah SALAH, cukup diberikan sebuah contoh yang menyangkal pernyataan tersebut. Contoh penyangkalan ini disebut counter example.

Contoh Contoh: Benarkah pernyataan berikut: Untuk setiap n bilangan bulat, berlaku n2>n ? Untuk setiap n bilangan bulat, berlaku

Kuantor Dua Variabel atau lebih Kerap kali ditemukan suatu pernyataan berkuantor yang melibatkan beberapa variabel. Contoh: xy, x+y=y+x identik dengan yx, x+y=y+x xy, xy=yx identik dengan yx, xy=yx xyz, x+(y+z)=(x+y)+z xy bilangan bulat, x+y=6, identik dengan yx bilangan bulat, x+y=6

Hati-hati Pertukaran letak kuantor tidak selalu identik. Soal: Benarkah yang berikut, apakah identik? xy bilangan bulat, x+y=17 yx bilangan bulat, x+y=17

Contoh Misalkan himpunan semesta adalah {1,2,3}. Periksa kebenaran setiap pernyataan berikut: x y, x2 < y + 1 x y, x2 + y2 < 12 x y, x2 + y2 < 12 x y z, x2 + y2 < 2z2 x y z, x2 + y2 < 2z2

Negasi Kuantor Carilah negasi dari: 1.  > 0, n0 n (n > n0  an < ) 2. x y [(p(x,y)  q(x,y))r(x,y)] 3. >0 >0 x [(0 < x – a <)  (f(x) – L < )]

Tabel Kebenaran Kuantor 2 Var Pernyataan Bilamana benar? Bilamana salah? xy P(x,y) P(x,y) benar untuk setiap pasang x,y Ada sepasang x,y yang menyebabkan P(x,y) salah xy P(x,y) Untuk setiap x ada y sehingga P(x,y) benar Ada x sedemikian sehingga P(x,y) salah untuk setiap y xy P(x,y) Ada x sehingga P(x,y) benar untuk setiap y Untuk setiap x ada y sehingga P(x,y) salah xy P(x,y) yx P(x,y) Ada sepasang x,y sehingga P(x,y) benar P(x,y) salah untuk setiap pasang x,y

Penutup Counter Example: contoh penyangkalan kuantor universal Urutan kuantor dua variabel atau lebih pada beberapa hal tidak dapat ditukar Negasi kuantor dua variabel atau lebih dilakukan satu per satu Ingat Tabel Kebenaran Kuantor Dua Variabel