Permutasi dan Kombinasi By Gisoesilo Abudi, S.Pd Gisoesilo_wp@yahoo.com Soesilongeblog.wordpress.com

Harapan setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan Permutasi dan kombinasi serta dapat menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari

Permutasi Jika terdapat suatu himpunan dengan n unsur yang berlainan, maka banyaknya susunan (cara pengurutan*) dari semua atau sebagian unsur tersebut dinamakan permutasi. *) Terurut artinya susunan (a, b) berbeda dengan (b, a)

Permutasi n unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Pnn atau nPn) Permutasi n unsur dari n unsur yang berbeda Permutasi n unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Pnn atau nPn) adalah banyak cara menyusun n unsur yang berbeda diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia. Rumus: nPn = n!

Tentukan banyak cara untuk menyusun huruf-huruf H, A, T, dan I …. Contoh 1 Tentukan banyak cara untuk menyusun huruf-huruf H, A, T, dan I ….

Penyelesaian  n = 4, maka :  4P4 = 4 ! = 4. 3. 2 = 24 cara Misal susunan huruf yang mungkin HATI ATIH TAIH ITAH HAIT ATHI TAHI ... HITA AITH HIAT HTAI HTIA

Contoh 2 Tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dari angka 5, 7, dan 9, jika tidak boleh ada angka yang sama ….

Penyelesaian  n = 3, maka :  3P3 = 3 ! = 3. 2 = 6 cara Misal susunan angka yang mungkin 579 759 975 597 795 957

Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Prn atau nPr) Permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Prn atau nPr) adalah banyak cara menyusun r unsur yang berbeda diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia. Rumus: nPr = 𝒏! 𝒏 −𝒓 !

Contoh 1 Banyak cara menyusun pengurus yang terdiri dari Ketua, Sekretaris, dan Bendahara yang diambil dari 5 orang calon adalah….

Penyelesaian Banyak calon pengurus 5  n = 5 Banyak pengurus yang akan dipilih 3, jadi r = 3 5P3 = 𝒏! 𝒏 −𝒓 ! = 𝟓! 𝟓 −𝟑 ! 5P3 = 𝟓! 𝟐! = 𝟓 . 𝟒. 𝟑. 𝟐! 𝟐! = 5. 4. 3 5P3 = 60 cara

Contoh 2 Banyak bilangan yang terdiri dari tiga angka yang dibentuk dari angka-angka 3, 4, 5, 6, 7, dan 8, di mana setiap angka hanya boleh digunakan satu kali adalah….

Penyelesaian Banyak angka = 6  n = 6 Bilangan terdiri dari 3 angka, jadi r = 3 5P3 = 𝒏! 𝒏 −𝒓 ! = 𝟔! 𝟔 −𝟑 ! 5P3 = 𝟔! 𝟑! = 𝟔. 𝟓. 𝟒. 𝟑! 𝟑! 6P3 = 6. 5. 4 = 120 cara

Aktivitas Kelas Coba anda kerjakan aktivitas kelas halaman 6 no 1 – 3 buku paket Erlangga Matematika SMK Teknologi Coba anda kerjakan aktivitas kelas halaman 7 no 1 – 3 buku paket Erlangga Matematika SMK Teknologi

Permutasi n unsur dari n unsur Permutasi yang memuat unsur yang sama Permutasi n unsur dari n unsur yang sama. Banyaknya permutasi n unsur yang memuat K1 unsur yang sama, K2 unsur yang sama, dan seterusnya hingga K1 maka dapat disimpulkan Rumus: nP(K1, K2, K3, … , Kn) = 𝒏 ! 𝒌 𝟏 ! 𝒌 𝟐 ! 𝒌 𝟑 ! … 𝒌 𝒏 !

Berapa kata dapat disusun dengan semua huruf pada kata “ADA” …. Contoh 1 Berapa kata dapat disusun dengan semua huruf pada kata “ADA” ….

Penyelesaian Jika digunakan rumus permutasi dengan n = 3, maka 4P4 = 3! = 6 kata. Padahal kata yang terbentuk hanya ada 3, yaitu ADA, AAD, dan DAA. Hal ini karena ada huruf yang sama, yaitu huruf A, maka gunakan rumus : 3P(2!) = 𝟑 ! 𝟐! =𝟑 Dengan K1 = A = 2

Berapa kata dapat disusun dengan semua huruf pada kata “MATEMATIKA” …. Contoh 2 Berapa kata dapat disusun dengan semua huruf pada kata “MATEMATIKA” ….

Penyelesaian Tentukan huruf yang sama : M = 2; A = 3; T = 2 dan n = 10 Rumus : 10P(2!, 3!, 2!) = 𝟏𝟎 ! 𝟐!. 𝟑!. 𝟐! = 𝟏𝟎.𝟗.𝟖.𝟕.𝟔.𝟓.𝟒.𝟑! 𝟐!.𝟐!.𝟑! 10P(2!, 3!, 2!) = 𝟏𝟎.𝟗.𝟖.𝟕.𝟔.𝟓.𝟒. 𝟒 10P(2!, 3!, 2!) = 10.9.8.7.6.5 = 151.200

Rumus: nP(siklis) = (n – 1)! Permutasi siklis Permutasi siklis dari n unsur yang berbeda mempertimbangkan tempat kedudukan unsur di lingkaran terhadap unsur lainnya sebab n unsur tersebut ditempatkan secara melingkar. Banyak permutasi siklis dari n unsur adalah sebagai berikut : Rumus: nP(siklis) = (n – 1)!

Contoh 1 Suatu rapat dihadiri oleh 5 orang peserta yang duduk melingkar. Dengan berapa cara mereka dapat duduk dengan urutan yang berbeda ….

Penyelesaian n = 5 Banyaknya cara mereka duduk adalah 5P(siklis) = (5 – 1) ! 5P(siklis) = 4 ! = 4. 3. 2 = 24 cara

Contoh 2 Tujuh orang termasuk si A, B, dan C duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa formasi duduk berbeda jika A, B, dan C selalu duduk berdampingan ….

Sketsa tempat duduk B C A Meja X X X X

Penyelesaian A, B, dan C dianggap sebagai satu elemen dan ditambah 4 orang lainnya, sehingga n = 5 Oleh karena A, B, dan C berdampingan, maka mereka bertiga hanya bisa bertukar posisi dengan sesamanya = 3 ! = 6

Penyelesaian Banyaknya formasi mereka duduk yang mungkin adalah : (5 – 1)!. 3! = 4! . 3! 4!. 3! = (4. 3. 2).(3. 2) = 24. 6 = 414 cara

Aktivitas Kelas Coba anda kerjakan aktivitas kelas halaman 8 no 1 – 3 buku paket Erlangga Matematika SMK Teknologi Coba anda kerjakan aktivitas kelas halaman 9 no 1 – 3 buku paket Erlangga Matematika SMK Teknologi

Rumus: P(berulang) = nr Permutasi berulang Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut : Rumus: P(berulang) = nr

Contoh Berapa banyak susunan 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf K, A, M, I, dan S, jika unsur-unsur yang tersedia itu boleh ditulis ulang …. Berapa banyak bilangan terdiri 2 angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 6, 7, 8, dan 9, jika angka-angka yang tersedia boleh ditulis ulang ….

Penyelesaian untuk no. 1 P(berulang) = nr = 53 = 125 susunan P(berulang) = nr = 62 = 36 bilangan

Aktivitas Kelas dan Latihan Coba anda kerjakan aktivitas kelas halaman 10 no 1 – 2 buku paket Erlangga Matematika SMK Teknologi Coba anda kerjakan latihan halaman 10 no 1 – 10 buku paket Erlangga Matematika SMK Teknologi

Kombinasi Suatu kombinasi dari anggota suatu himpunan adalah sembarang pemilihan dari satu atau lebih anggota himpunan itu tanpa memperhatikan urutannya.

Kombinasi r unsur dari n unsur yang berbeda yang tersedia (ditulis Crn atau nCr) adalah banyak cara mengelompokan r unsur yang diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia. Rumus: nCr = 𝒏! 𝒏 −𝒓 !.𝒓!

Contoh 1 Seorang siswa diharuskan mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan . Banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa adalah….

Penyelesaian mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan berarti tinggal memilih 2 soal lagi dari soal nomor 5 sampai 8 r = 2 dan n = 4 4C2 = 4! 4 −2 !.2! = 4! 2!. 2! =6 𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛

Contoh 2 Berapa banyak cara memilih 4 anggota dari 9 anggota suatu himpunan, jika : (a). Tanpa syarat apapun (b). Salah seorang harus selalu terpilih

Penyelesaian Penyelesaian (a) Banyak cara pemilihan 4 orang dari 9 orang : 9C4 = 9! 9 −4 !.4! = 9! 5!. 4! =126 𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛

Penyelesaian Penyelesaian (b) Dari 9 orang akan dipilh 4 orang, tetapi seorang harus selalu terpilih, hanya akan dipilih 3 orang lagi dari 8 orang, sehingga banyak cara pemilihan adalah : 8C3 = 8! 8 −3 !.3! = 8! 5!. 3! =56 𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛

Kombinasi r unsur dari n unsur dengan beberapa unsur yang sama Misal terdapat n unsur yang terdiri dari ….Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Crn atau nCr) adalah banyak cara mengelompokan r unsur yang diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia. Rumus: nCr = 𝒏! 𝒏 −𝒓 !.𝒓!

Contoh 1 Dari sebuah kantong yang berisi 10 bola merah dan 8 bola putih akan diambil 6 bola sekaligus secara acak. Banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih adalah….

Penyelesaian mengambil 4 bola merah dari 10 bola merah  r = 4, n = 10, maka : 10C4 = 10! 10−4 !.4! = 10! 4!.6! = 10.9.8.7.6! 6!. 4.3.2 = 10.3.7 = 210 3

mengambil 2 bola putih dari 8 bola putih  r = 2, n = 8, sehingga Penyelesaian mengambil 2 bola putih dari 8 bola putih  r = 2, n = 8, sehingga 8C2 = 8! 8 −2 !. 2! = 8! 6!. 2! = 8.7.6! 6!. 2 =4. 7 = 28 4

Penyelesaian Jadi banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih adalah : 10C4 x 8C2 = 210 x 28 = 5880 cara

Catatan Analisah masalah terlebih dahulu sebelum menentukan masalah tersebut merupakan masalah permutasi atau kombinasi. Dalam permutasi urutan diperhatikan, sedangkan dalam kombinasi urutan tidak diperhatikan. Agar lebih mudah dalam menentukan apakah itu masalah permutasi atau masalah kombinasi cobalah untuk belajar lebih banyak dari soal-soal permutasi dan kombinasi.

blog : soesilongeblog.wordpress.com Kunjungi A-ku TERIMA KASIH email : gisoesilo_wp@yahoo.com blog : soesilongeblog.wordpress.com 03172687730