Latihan Soal #1 1. Sebuah perusahaan membuat dua macam product, P dan Q, dari setiap dua tanaman, X dan Y. Polutan sulfur dioxide, nitric oxide, dan materi khusus juga dihasilkan dalam proses pembuatan product tersebut. Jumlah polutan – polutan yang dihasilkan tersebut diberikan (dalam kg) dalam bentuk matriks berikut : Sulfur dioxide Nitric oxide Materi khusus Product P Product Q Berikutnya …

apa interpretasi dari hasil perkalian AB bagi perusahaan ? Pemerintah setempat mensyaratkan polutan – polutan tersebut harus didaur ulang. Biaya untuk itu per kg adalah (dalam dollar) diberikan dalam matriks B berikut : apa interpretasi dari hasil perkalian AB bagi perusahaan ? Tanaman X Tanaman Y Sulfur dioxide Nitric oxide Materi khusus

Latihan Soal #2 2. a. Tunjukkan bahwa jika A mempunyai satu baris nol, maka AB juga mempunyai satu baris nol. b. Tunjukkan bahwa jika B mempunyai satu kolom nol, maka AB juga mempunyai satu kolom nol. 3. a. Tunjukkan bahwa hasil kali dua matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas. b. Tunjukkan bahwa hasil kali dua matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah

SIFAT - SIFAT OPERASI MATRIKS I. Sifat Penjumlahan Diberikan matriks A, B, dan C yang penjumlahannya terdefinisi. 1. A + B = B + A 2. A + (B + C) = (A + B) + C 3. Ada matriks nol, O, sedemikian hingga A + O = A Matriks O ini disebut dengan matriks identitas terhadap penjumlahan. 4. Untuk setiap matriks A, ada matriks -A sedemikian hingga A + (-A) = O. Matriks –A ini disebut dengan matriks invers terhadap penjumlahan

II. Sifat Perkalian Diberikan matriks A, B, dan C yang perkaliannya terdefinisi. 1. (AB)C = A(BC) 2. A(B + C) = AB + AC 3. (A + B)C = AC + BC 4. Ada matriks I sedemikian hingga AI = IA = A. Matriks I disebut matriks identitas terhadap perkalian.

Sifat – Sifat Operasi Matriks III. Sifat Perkalian Skalar & Matriks Jika r dan s adalah bilangan real, dan A dan B adalah matriks, maka 1. r(sA) = (rs)A 2. (r + s)A = rA + sA 3. r(A + B) = rA + rB 4. A(rB) = r(AB) = (rA)B

Sifat – Sifat Operasi Matriks IV. Sifat transpose Jika r adalah skalar, dan A dan B adalah matriks, maka 1. (At)t = A 2. (A + B)t = At + Bt 3. (AB)t = BtAt 4. (rA)t = rAt Suatu matriks A = [aij] dikatakan simetris jika At = A

Perpangkatan pada Matriks Misal A adalah matriks b.s. dan p adalah bil.bulat positif, maka : Jika A adalah matriks berukuran n x n, maka A0 = In Sifat Perpangkatan : Misal p dan q adalah bilangan bulat non negatif, dan A dan B adalah matriks, maka 1. ApAq = Ap+q 2. (Ap)q = Apq 3. (AB)p = ApBp jika dan hanya jika AB = BA

Latihan Soal #3 1. Diberikan matriks : Buktikan sifat perkalian matriks bagian 2. 2. Diberikan matriks : Buktikan sifat perkalian skalar dan matriks bagian 1, 2, dan 3 untuk r = 6 dan s = -2.

Latihan Soal #4 3. Diberikan matriks : Jika mungkin, hitunglah : a. (AB)t c. AtBt e. (Bt + A)C b. BtAt d. BtC + A

Latihan Soal #5 4. Jika , maka hitunglah a. A2 + 3A b. 2A3 + 3A2 + 4A + 5I2 5. Misal p dan q adalah bil.bulat non negatif dan A adalah matriks b.s. Tunjukkan bahwa : ApAq = Ap+q dan (Ap)q = Apq

Latihan Soal #6 6. Jika AB = BA, dan p adalah bil.bulat non negatif, maka tunjukkan (AB)p = ApBp 7. Tunjukkan bahwa jika A adalah matriks simetris maka At adalah juga matriks simetris. 8. Misalkan A dan B adalah matriks simetris. Tunjukkan a. (A + B) adalah matriks simetris b. AB simetris jika dan hanya jika AB = BA.

INVERS MATRIKS Definisi Matriks A berukuran n x n disebut invertible jika ada matriks B berukuran n x n sedemikian hingga : AB = BA = In Jika tidak demikian, maka dikatakan A tidak invertible. Matriks B disebut invers dari A, dinotasikan A-1 Contoh :

Teorema Invers suatu matriks adalah tunggal BUKTI Misalkan B dan C adalah invers dari A, maka AB = BA = In dan AC = CA = In Dari sini diperoleh B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC =C. Karena B = C, maka terbukti invers dari A adalah tunggal

Sifat invers matriks 1. Jika A invertible maka A-1 juga invertible, dan (A-1)-1 = A 2. Jika A dan B invertible, maka AB juga invertible dan (AB)-1 = B-1 A-1 3. Jika A invertible, maka (At)-1 = (A-1)t 4. Jika A1,A2,…,Ak adalah matriks – matriks invertible, maka A1A2…Ak juga invertible dan (A1 A2…Ak)-1 = Ak-1 Ak-1-1…A1-1