DISTRIBUSI KONTINYU

Distribusi Probabilitas Kontinyu Variabel Random Kontinyu Distribusi Probabilitas Uniform Distribusi Probabilitas Eksponensial Distribusi Probabilitas Normal

Distribusi Kontinyu Interval waktu dapat dibagi menjadi: Interval 0.5 menit Interval 0.25 menit Interval 0.125 menit 6 . 5 4 3 2 1 M i n u t e s P ( x ) o C m p l T a k : B y H f - 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 M i n u t e s P ( x ) o C m p l T a k : F r h f M i n u t e s P ( x ) o C m p l T a k : E g h f 0 1 2 3 4 5 6 7 Interval kecil tak terbatas Jika sebuah variabel random diskrit dibagi menjadi interval kecil yang tidak terbatas, maka perhitungan probabilitasnya ditentukan oleh sebuah rentangnilai dan nilai probabilitas adalah luas area di bawah kurva dalam rentang tersebut. Untuk contoh di samping, dinyatakan dengan P(2<X<3). 7 6 5 4 3 2 1 Minutes f ( z )

Variabel Random Kontinyu Variabel Random Kontinyu adalah sebuah variabel random yang dapat berupa sembarang nilai pada suatu interval yang diamati. Probabilitas dari variabel random kontinyu X ditentukan oleh sebuah fungsi densitas, dinotasikan dengan f(x), dan memiliki beberapa sifat berikut.  f(x) > 0 untuk setiap nilai x.  Probabilitas bahwa X berada diantara dua nilai a dan b adalah sama dengan luas area dibawah f(x) yang dibatasi oleh a dan b.  Total luas area di bawah kurva f(x) adalah 1.00.

Fungsi Densitas dan Kumulatif F(x) 1 Fungsi kumulatif F(b) } P(a £ X £ b)=F(b) - F(a) F(a) a b x f(x) P(a < X < b) = Area di bawah f(x) yang dibatasi oleh a dan b = F(b) - F(a) Fungsi densitas x a b

Distribusi Uniform Kontinyu (1) Definisi: Jika variabel random X memiliki nilai (kontinyu) dengan kemungkinan kemunculan yang sama maka dikatakan bahwa variabel random (kontinyu) x mengikuti distribusi uniform dengan fungsi densitas probabilitas: 1/( - ), untuk  <x <  f(x)= 0 untuk x lainnya. Ekspektasi dan variansi: E(X)=(+)/2 dan Variansi(X)= ( - )2/12 {

Distribusi Uniform Kontinyu (2) Densitas uniform [0,5] : 1/5 for 0 < X < 5 f(x)= 0 lainnya E(X) = 2.5 { Distribusi Uniform . 5 Total luas area f(x) = 1/5 * 5 = 1.00 . 4 . 3 x ) f ( Luas area di bawah f(x) Interval 1 sampai 3 = P(1<X<3) = 2.(1/5) = 2/5 . 2 . 1 . 0.0 - 1 1 2 3 4 5 6 x

Distribusi Eksponensial (1) Distribusi eksponensial memiliki kaitan erat dengan distribusi Poisson (dari proses poisson) jika persoalan didekati dari variabel interval antar kedatangan.

Distribusi Eksponensial (2)

Distribusi Eksponensial (3) Sebuah peralatan dilengkapi dengan komponen pengaman untuk melindungi peralatan dari kegagalan. Berdasarkan data dan pengamatan yang panjang, komponen pengaman tersebut memiliki daya tahan yang dinyatakan oleh variabel random satuan waktu (minggu) T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter =1/5. Saat ini perusahaan memiliki 5 set peralatan terpisah (independent) dimana masing-masing dilengkapi dengan komponen pengaman yang diasumsikan identik. Dari perhitungan pesanan masuk yang harus dipenuhi, perusahaan menginkan peralatan tersebut tidak mengalami kegagalan total untuk memenuhi pesanan yang direncanakan akan dipenuhi dalam 8 minggu. Jika diinginkan paling sedikit dua peralatan dapat beroperasi untuk memenuhi pesanan tersebut, berapa besar kemungkinan tersebut terjadi?

Distribusi Eksponensial (4)

Distribusi Probabilitas Normal (1) Untuk p0,5 dan dengan meningkatnya n, distribusi binomial menjadi … n = 6 n = 10 n = 14 6 5 4 3 2 1 . x P ( ) B i n o m a l D s t r b u : = , p 1 9 8 7 6 5 4 3 2 . x P ( ) B i n o m a l D s t r b u : = , p 1 4 3 2 9 8 7 6 5 . x P ( ) B i n o m a l D s t r b u : = , p Distribusi yang berbentuk kurva seperti lonceng (bell) 5 - . 4 3 2 1 x f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = , 

Distribusi Probabilitas Normal (2) Distribusi kemungkinan variabel random kontinyu yang terpenting dalam statistika adalah distribusi normal, yang merupakan variabel random yang berasal dari proses random dengan satu titik pemusatan dan menyebar disekitar titik pemusatan tersebut secara simetris. Dikenal sebagai distribusi Gauss, sebagai orang pertama yang mempublikasikannya pada tahun 1809 (bentuk matematika pertama kali diturunkan dari distribusi binomial oleh DeMoivre 1733 dan Laplace 1775) dan selanjutnya dipromosikan sebagai sebuah dalil probabilitas untuk setiap variabel random kontinyu.

Distribusi Probabilitas Normal (3) 5 - . 4 3 2 1 x f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  Fungsi densitas probabilitas normal:

Distribusi Probabilitas Normal (4) Kurva normal membentuk: Kurva lonceng dan berdistribusi simetris, sehingga setengah (.50 or 50%) bagian akan berada di salah satu sisi dari rata-rata. Setiap kurva dicirikan oleh pasangan rata-rata, , dan variansi, , dan dintayakan dengan: [X~N()]. Setiap kurva bersifat asymptotik. Luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal dalam rantang k dari  adalah sama untuk setiap distribusi, berapapun besarnya nilai rata-rata dan variansi.

Distribusi Probabilitas Normal (5)

Distribusi Probabilitas Normal (6)

Distribusi Probabilitas Normal (7)

Distribusi Probabilitas Normal (8)

Distribusi Probabilitas Normal (9)

Distribusi Probabilitas Normal (10)

Distribusi Probabilitas Normal (11)

Distribusi Probabilitas Normal (12)

Distribusi Probabilitas Normal (13)

Distribusi Probabilitas Normal (14) Semua kurva di bawah ini mengikuti distribusi normal dengan nilai rata-rata dan variansi yang berbeda 4 5 3 . 2 1 w f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  6 5 4 3 2 1 . x f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  6 5 4 3 . 2 1 y f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  5 - . 4 3 2 1 z f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  Perhatikan bahwa: P(39  W  41) P(25  X  35) P(47  Y  53) P(-1  Z  1) Nilai probabilitas dari setiap interval adalah luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal.

Distribusi Probabilitas Normal (15) Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang satu deviasi standar dari rata-rata adalah 0.6826, atau sekitar 0.68. Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang dua deviasi standar dari rata-rata adalah 0.9544, atau sekitar 0.95. Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang tiga deviasi standar dari rata-rata adalah 0.9974. 5 4 3 2 1 - . Z f ( z ) S t a n d r N o m l D i s b u

Distribusi Normal Standar (1) Variabel random normal standar, Z, adalah variabel random normal dengan rata-rata  = 0 dan deviasi standar  = 1: Z~N(0,12). Standard Normal Distribution . 4 . 3 =1 { z ) ( f . 2 . 1 . - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 =0 Z

Distribusi Normal Standar (2) P(0 < Z < 1.56) Probabilitas Normal Standar 5 4 3 2 1 - . Z f ( z ) S t a n d r N o m l D i s b u 1.56 { z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 Lihat pada baris 1.5 dan kolom .06 untuk menemukan P(0<z<1.56) = 0.4406

Distribusi Normal Standar (3) P(Z < -2.47) Untuk P(Z<-2.47): Lihat tabel untuk 2.47 P(0 < Z < 2.47) = .4934 P(Z < -2.47) = .5 - P(0 < Z < 2.47) = .5 - .4934 = 0.0066 z ... .06 .07 .08 . . . . . . . . . . . . 2.3 ... 0.4909 0.4911 0.4913 2.4 ... 0.4931 0.4932 0.4934 2.5 ... 0.4948 0.4949 0.4951 . S t a n d a r d N o r m a l D i s t r i b u t i o n Area di sebelah kiri -2.47 P(Z < -2.47) = .5 - 0.4932 = 0.0068 . 4 Nilai tabel area 2.47 P(0 < Z < 2.47) = 0.4934 . 3 z ) f ( . 2 . 1 . - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 Z

Distribusi Normal Standar (4) P(1< Z < 2) Temukan P(1 < Z < 2): 1. Temukan nilai tabel 2.00 F(2) = P(Z < 2.00) = .5 + .4772 =.9772 2. Temukan nilai tabel 1.00 F(1) = P(Z < 1.00) = .5 + .3413 = .8413 3. P(1 < Z < 2.00) = P(Z < 2.00) - P(Z < 1.00) = .9772 - .8413 = .1359 z .00 ... . . 0.9 0.3159 ... 1.0 0.3413 ... 1.1 0.3643 ... 1.9 0.4713 ... 2.0 0.4772 ... 2.1 0.4821 ... S t a n d a r d N o r m a l D i s t r i b u t i o n . 4 Luas area diantara 1 dan 2 P(1 < Z < 2) = .4772 - .8413 = 0.1359 . 3 z ) f ( . 2 . 1 . - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 Z

Distribusi Normal Standar (5) P(0 < Z < z) = 0.40 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Temukan z sehingga P(0 < Z < z) = .40: Temukan nilai probabilitas sedekat mungkin dengan .40 dari tabel kemungkinan normal standar. Tentukan nilai z pada baris dan kolom yang sesuai. P(0<z<1.28) 0.40 Karena P(Z < 0) = .50 P(Z <1.28) .90 S t a n d a r d N o r m a l D i s t r i b u t i o n . 4 Luas area di kiri 0 = .50 P(z  0) = .50 Area = .40 (.3997) . 3 z ) f ( . 2 . 1 . - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 Z = 1.28 Z

Distribusi Normal Standar (6) P(-z.005< Z < z.005) = 0.99 Untuk memperoleh probabilitas 0.99 di tengah distribusi, akan ada (1/2)(1-.99) = (1/2)(.01) = .005 di ekor (tail) distribusi, dan (1/2)(.99) = .495 setengah dari interval .99, atau : P(0<Z<z.005) = .495 Dari tabel probabilitas normal standar: 2,57 < z.005 <  2,58 z.005   2,575 P(-.2575 < Z < 2,575) = .99 z .04 .05 .06 .07 .08 .09 . . . . . . . 2.4 ... 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 ... 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 ... 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 . . . . . . . 5 4 3 2 1 - . Z f ( z ) -z.005 z.005 Area di tengah = .99 Area di kiri = .495 Area di kanan = .495 Area di ekor kanan = .005 Area di ekor kiri = .005 -2.575 2.575

Transformasi Variabel Random Normal Luas area dalam interval k dari rata-rata untuk variabel random normal adalah sama. Jadi area di bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah kurna normal standar. Contoh: P(40  X  P(-1  Z     untuk m = 50 dan s = 10. Transformasi X menjadi Z: N o r m a l D i s t r i b u t i o n :  = 5 ,  = 1 . 7 . 6 Transformasi pada . 5 x ) ( . 4 (1) Pengurangan: (X - x) f . 3 . 2 =10 { S t a n d a r d N o r m a l D i s t r i b u t i o n . 1 . . 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 X . 3 z ) (2) Pembagian dengan x) f ( . 2 { Transformasi sebaliknya Z menjadi X: 1.0 . 1 . - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 Z

Transformasi Variabel Random Normal Contoh: X~N(160,302) Contoh X~N(127,222)

Transformasi Variabel Random Normal (Excel)

Transformasi Variabel Random Normal Transformasi X menjadi Z: Transformasi kebalikan Z menjadi X: Transformasi X menjadi Z, dengan nilai a dan b:

Transformasi Variabel Random Normal Untuk menemukan nilai probabilitas dengan interval tertentu untuk sembarang variabel random normal adalah dengan mengekspresikan interval tersebut dalam satuan deviasi standar dari rata-ratanya. Jika X~N(50,102), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi standar di atas rata-rata X: 70=+2. P(X > 70) ekuivalen dengan P(Z > 2), luas area di bawah kurva normal standar. z .07 .08 .09 . . . . . . . . . . 1.1 . . . 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 . . . 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 . . . 0.4147 0.4162 0.4177 . . . . . . . . . . Contoh: X~N(124,122) P(X > x) = 0.10 dan P(Z > 1.28)  0.10 x =  + z = 124 + (1.28)(12) = 139.36

Transformasi Variabel Random Normal Contoh: X~N(2450,4002) P(a<X<b)=0.95 dan P(-1.96<Z<1.96)0.95 x =   z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ±784=(1666,3234) P(1666 < X < 3234) = 0.95 Contoh: X~N(5.7,0.52) P(X > x)=0.01 dan P(Z > 2.33) 0.01 x =  + z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865 z .02 .03 .04 . . . . . . . . . . 2.2 . . . 0.4868 0.4871 0.4875 2.3 . . . 0.4898 0.4901 0.4904 2.4 . . . 0.4922 0.4925 0.4927 . . . . . . . . . . z .05 .06 .07 . . . . . . . . . . 1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.4693 1.9 . . . 0.4744 0.4750 0.4756 2.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808 . . . . . . . . . . N o r m a l D i s t r i b u t i o n :  = 5 . 7  = . 5 N o r m a l D i s t r i b u t i o n :  = 2 4 5  = 4 . . 8 8 Area = 0.49 . . 1 1 5 5 . . 7 7 . . 6 6 .4750 .4750 . . 5 5 . . 1 1 x ) ) f ( . . 4 4 x f ( . . 3 3 X.01 = +z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865 . . 5 5 . . 2 2 .0250 .0250 . . 1 1 Area = 0.01 . . . . 3 3 . . 2 2 4 4 . . 2 2 5 5 . . 2 2 6 6 . . 2 2 7 7 . . 2 2 8 8 . . 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 X X - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 z Z.01 = 2.33 -1.96 Z 1.96

Transformasi Variabel Random Normal 1. Gambarkan distribusi normal yang ingin diteliti dan distribusi normal standar. N o r m a l D i s t r i b u t i o n :  = 2 4 5 ,  = 4 . . 1 2 . . 1 . . 8 x ) f ( . . 6 . . 4 . . 2 . 2. Arsir daerah probabilitas yang diteliti. 1 2 3 4 X S t a n d a r d N o r m a l D i s t r i b u t i o n . 4 3. Dari tabel distribusi normal standar, temukan nilai z. . 3 z ) ( f . 2 . 1 4. Transformasikan nilai z menjadi x (nilai variabel random asal). . - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 Z

Transformasi Variabel Random Normal 4 3 2 1 . 8 6 X f ( x ) N o r a l D i s t b u n : = 5 ,  .4750 .9500 N o r m a l D i s t r i b u t i o n :  = 2 4 5 ,  = 4 3. Temukan nilai z dari tabel normal standar z=-1,96 dan z=1.96 1. Distribusi normal dan normal standar. 2. Arsir daerah 0.95 (masing-masing 0.475 di kiri dan kanan. 4. Transformasi nilai z ke nilai x 5 4 3 2 1 - . Z f ( z ) S t a n d r N o m l D i s b u .4750 .9500 z .05 .06 .07 . . . . . . . . . . 1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.4693 1.9 . . . 0.4744 0.4750 0.4756 2.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808 . . . . . . . . . . x =   z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ± 784 =(1666,3234) -1.96 1.96

Transformasi Variabel Random Normal Using EXCEL