ANALISA RANGKAIAN Minggu, 22 April 2018

ANALISA RANGKAIAN Pada sub bab ini akan dibahas penyelesaian persoalan yang muncul pada Rangkaian Listrik dengan menggunakan suatu teorema tertentu. Ada beberapa teorema yang dibahas pada sub bab ini , yaitu : Teorema Superposisi Teorema Substitusi Teorema Thevenin Teorema Norton Teorema Transformasi Sumber Teorema Transfer Daya Maksimum

1. TEOREMA SUPERPOSISI

TEOREMA SUPERPOSISI Jika ada sejumlah sumber tegangan atau arus dalam suatu rangkaian yang masing-masing sumber bebas dari pengaruh sumber yang lain. Minggu, 22 April 2018

Ada 4 prosedur perhitungan superposisi : Salah satu sumber dibuang, rangkaian terbuka. Sehingga dapat dihitung R internal. I1’ I2’ I’ 2. Arus pada R dan sumber tegangan V yang dibuang, dapat dihitung. Minggu, 22 April 2018

Ada 4 prosedur perhitungan superposisi (Contd.): 3. Proses dapat diulang lagi dengan sumber lain. Jumlah arus secara aljabar akan memberikan nilai yang valid. Kombinasi kedua gambar yang terhubung buka : Minggu, 22 April 2018

Teorema Superposisi (Contd.) Teorema superposisi ini hanya berlaku untuk rangkaian yang bersifat linier. Rangkaian linier adalah suatu rangkaian dimana persamaan yang muncul akan memenuhi jika y = kx, k = konstanta dan x = variabel. Pada setiap rangkaian linier dengan beberapa buah sumber tegangan/ sumber arus dapat dihitung dengan cara : Menjumlah aljabarkan tegangan/ arus yang disebabkan tiap sumber independent/ bebas yang bekerja sendiri, dengan semua sumber tegangan/ arus independent/ bebas lainnya diganti dengan tahanan dalamnya. Pengertian dari teorema diatas bahwa jika terdapat n buah sumber bebas maka dengan teorema superposisi sama dengan n buah keadaan rangkaian yang dianalisis, dimana nantinya n buah keadaan tersebut akan dijumlahkan.

Teorema Superposisi (Contd.) Jika terdapat beberapa buah sumber tak bebas maka tetap saja teorema superposisi menghitung untuk n buah keadaan dari n buah sumber yang bebasnya. Rangkaian linier tentu tidak terlepas dari gabungan rangkaian yang mempunyai sumber independent atau sumber bebas, sumber dependent / sumber tak bebas linier (sumber dependent arus/ tegangan sebanding dengan pangkat satu dari tegangan/ arus lain, atau sebanding dengan jumlah pangkat satu besaran-besaran tersebut) dan elemen resistor ( R ), induktor ( L ), dan kapasitor ( C ).

Analisa rangkaian dengan teorema superposisi Rangkaian berikut ini dapat dianalisa dengan mengkondisikan sumber tegangan aktif/bekerja sehingga sumber arusnya menjadi tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit). Oleh sebab itu arus i dalam kondisi sumber arus OC yang mengalir di R10Ω dapat ditentukan. Kemudian dengan mengkondisikan sumber arus aktif/bekerja maka sumber tegangan tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit). Disini arus i dalam kondisi sumber tegangan SC yang mengalir di R10Ω dapat ditentukan juga. Akhirnya dengan penjumlahan aljabar kedua kondisi tersebut maka arus total akan diperoleh.

Contoh 1: Hitunglah arus I yang melewati R3 dan potensial V yang terukur pada hambatan tersebut Minggu, 22 April 2018

Contoh 2: Tentukan I0 dengan menggunakan superposisi (-0.4706 A)

Contoh 3: Tentukan vx dengan menggunakan superposisi (12.5 V)

2. TEOREMA SUBSTITUSI

Teorema Substitusi Pada teorema ini berlaku bahwa : Suatu komponen atau elemen pasif yang dilalui oleh sebuah arus yang mengalir (sebesar i) maka pada komponen pasif tersebut dapat digantikan dengan sumber tegangan Vs yang mempunyai nilai yang sama saat arus tersebut melalui komponen pasif tersebut. Jika pada komponen pasifnya adalah sebuah resistor sebesar R, maka sumber tegangan penggantinya bernilai Vs = i.R dengan tahanan dalam dari sumber tegangan tersebut samadengan nol.

Analisa rangkaian dengan teorema substitusi Rangkaian berikut dapat dianalisa dengan teorema substitusi untuk menentukan arus yang mengalir pada resistor 2Ω. Harus diingat bahwa elemen pasif yang dilalui oleh sebuah arus yang mengalir (sebesar i) maka pada elemen pasif tersebut dapat digantikan dengan sumber tegangan Vs yang mempunyai nilai yang sama saat arus tersebut melaluinya. Kemudian untuk mendapatkan hasil akhirnya analisa dapat dilakukan dengan analisis mesh atau arus loop.

3. TEOREMA THEVENIN

Dalil2 Thevenin dan Norton : digunakan untuk penyerderhanaan rangkaian

Dalil2 Thevenin dan Norton Dalil2 Thevenin dan Norton sering digunakan utk penyederhanaan rangk. Perhatikan rangk N dg 2 terminal yg menghubungkannya ke rangk N* sbb : Analisis sistem ini akan menghasilkan suatu set persamaan dlm bentuk pers linier : aV+bI-c = 0, dg a, b dan c independen thd V dan I.

Terdapat 2 kasus : Kasus 1 : Jika a ≠ 0, kita dpt menyatakan V dlm I : V = -bI/a + c/a = -RTI + VT Kasus 2 : Jika b ≠ 0, kita dpt menyatakan I dlm V : I = -aV/b + c/b = -V/RN + IN Utk kasus 1, kita dpt menemukan sebuah rangkaian yg memberikan pers linier : V = -RTI + VT. Rumus ini menyatakan hub seri antara tahanan RT dg sumber teg VT sbb :

Karena rangkaian ini memiliki sifat yg sama dg sifat rangk N dari sudut pandang N*, maka biasa disebut rangk setara utk rangk N. Hasil ini disebut dalil Thevenin : setiap rangk berterminal 2 yg memp tahanan2 linier, sumber2 linier dpt direpresentasikan dg kombinasi seri antara sebuah tahanan dg sumber teg independen.

Rangkaian Setara Thevenin Beberapa sumber tegangan dan beberapa hambatan, diganti dengan sebuah sumber tegangan tetap (tegangan Thevenin, ETH) atau suatu gaya gerak listrik (ggl) dan suatu hambatan seri (hambatan Thevenin, RTH ) dengan ggl tersebut. Dengan teorema ini, rangkaian yang sangat kompleks dapat disederhanakan dengan sumber tegangan ideal terhubung seri dengan hambatan thevenin Minggu, 22 April 2018

Rangkaian ekivalen Thevenin VTH dan RTH terhubung seri VTH = Voc (open-circuit voltage) RTH = R ekivalen (R total) dalam rangkaian

Contoh Prosedur : 1. RL terhubung singkat 2. Titik AB terbuka, hitung VOC Vth atau VOC D I Minggu, 22 April 2018

Jika diberi beban (RL) seperti gambar di bawah : Terlihat dari rumusan di atas, bahwa jatuh tegangan terjadi oleh adanya arus beban pada RL sebesar ILRL   Mengukur Eth dan Rth Suatu pengukuran yang sekaligus menentukan Eth dan Rth adalah dari lengkung pembebanan. Yaitu membuat grafik yang menunjukkan hubungan antara VO dengan arus beban IL. Kemiringan = Minggu, 22 April 2018

Teorema Thevenin Rangkaian ekivalen

Rangkaian dengan beban Teorema Thevenin Rangkaian dengan beban

Contoh : Tentukan rangkaian ekivalen Thevenin dan arus yang melalui RL = 1Ω

Tentukan VTH 0V 10V 6V

Tentukan RTH Sumber terhubung singkat RTH

Rangkaian ekivalen Thevenin Arus yang melalui RL = 1Ω adalah :

Contoh : Tentukan rangkaian ekivalen Thevenin

Tentukan VTH 0V 5V 3V

Tentukan RTH Sumber arus terhubung buka RTH

Rangkaian ekivalen Thevenin

Contoh: Rangkaian Jembatan Rangkaian ekivalen Thevenin

Tentukan VTH 0V 10V 8V 2V VTH = 8-2 = 6V

Tentukan RTH RTH

Rangkaian ekivalen Thevenin

Contoh Thevenin : Tentukan ekivalen Thevenin pada terminal a-b (RTh=6Ω, VTh=20 V)

Latihan Thevenin Tentukan ekivalen Thevenin pada terminal a-b (RTh=0.44Ω, VTh=5.33 V)

4. TEOREMA NORTON

Utk kasus 2, kita dpt menemukan sebuah rangk yg memberikan pers linier : I = -V/RN + IN. Rumus ini menyatakan hub pararel antara tahanan RN dg sumber arus IN sbb :

Karena rangkaian ini memiliki sifat yg sama dg sifat rangk N dari sudut pandang N*, maka biasa disebut rangk setara utk rangk N. Hasil ini disebut dalil Norton : setiap rangk berterminal 2 yg memp tahanan2 linier, sumber2 linier dpt direpresentasikan dg kombinasi pararel antara sebuah tahanan dg sumber arus independen.

Rangkaian Setara Norton Jika RO >>RL , maka (arus tetap). Nilai VO akan berubah jika nilai RL juga berubah dimana Suatu sumber arus akan bernilai tetap jika Setiap rangkaian yang terdiri dari beberapa sumber tegangan dan beberapa hambatan, dapat diganti dengan sebuah sumber arus tetap (disebut sumber arus Norton, IN) dan sebuah hambatan (disebut hambatan Norton, RO) paralel dengan IN. Minggu, 22 April 2018

Apa hubungan antara IN dengan Eth ? Minggu, 22 April 2018

Teorema Norton

Teorema Norton Cari arus Norton IN ?

Ekivalen Tevenin dan Norton

Rangkaian Ekivalen Norton IN= ISC (short circuit current) RN = RTH …R ekivalen (Rtotal) dalam rangkaian

Contoh : Tentukan rangkaian ekivalen Norton dan arus yang melalui RL jika RL = 1Ω

Tentukan IN Tentukan R total Tentukan I total Pembagi arus

Tentukan Rn Sumber tegangan terhubung singkat RTH

Rangkaian ekivalen Norton Arus yang melalui RL = 1Ω adalah

Hubungan antara Rangkaian Thevenin dan Norton VOC ISC Kemiringan = - 1/RTH

Rangkaian ekivalen Norton Rangkaian ekivalen Thevenin Nilai R sama

Contoh : Tentukan Rangkaian ekivalen norton

Tentukan IN Pembagi arus

Tentukan RTH Sumber arus terhubung buka RTH

Rangkaian ekivalen Norton

Rangkaian ekivalen Thevenin Rangkaian ekivalen Norton 0.2 x 15 = 3

Rangkaian ekivalen dengan sumber yang tidak bebas Kita tidak dapat mencari RTH dalam suatu rangkaian Dengan sumber yang tidak bebas menggunakan metoda resistansi total Tapi kita dapat memakai

Contoh : Tentukan Rangkaian ekivalen Thevenin dan Norton ?

Tentukan Voc I1 I2 HTK loop1 HTK loop2

I1 I2 Penyelesaian persamaan I1 = 3.697mA I2 = 3.678mA

I1 I2 I3 Tentukan Isc HTK loop1 loop2 loop3

I1 = 0.632mA I2 = 0.421mA I3 = -1.052 A Isc = I3 = -1.052 A Tentukan Isc I1 I2 I3 I1 = 0.632mA I2 = 0.421mA I3 = -1.052 A Isc = I3 = -1.052 A

Rangkaian ekivalen Thevenin Rangkaian ekivalen Norton

Contoh Norton : Tentukan ekivalen Norton pada terminal a-b (RN=5Ω, IN=7 A)

Latihan Norton : Tentukan ekivalen Norton pada terminal a-b (RN=1Ω, IN=10 A)

Penentuan rangkaian setara Thevenin dan Norton Prosedur formal Masalah pd penentuan rangk2 setara Thevenin dan Norton adalah mencari VT, RT, IN dan RN. Karena V = -RTI + VT, maka kita menentukan VT dg mengukur teg terminal V dg I = 0. Ini sama seperti pengukuran teg V rangkaian-terbuka.

Demikian pula karena I = -V/RN + IN, maka kita dpt menentukan IN dg mengukur arus I dg V = 0. Ini sama dg pengukuran arus I hub-singkat . IN = iS/C. Kita tuliskan lagi pers utk pengukuran rangk-terbuka dan hub-singkat : -vO/C/RN+IN=0 & -RTiS/C+VT=0. Karena VT=vO/C & IN=iS/C, maka RN=RT=vO/C/iS/C.

Jadi prosedur penentuan rangk2 setara Thevenin & Norton : Cari teg rangk-terbuka vO/C, Cari arus hub-singkat iS/C, Nilai2 RT & VT diberikan oleh : RT=vO/C/iS/C, VT=vO/C, Nilai2 RN & IN diberikan oleh : RN=vO/C/iS/C, IN=iS/C. Jadi bila rangk setara Thevenin telah ditemukan, maka kita dpt menyelesaikan rangk setara Norton, dan sebaliknya. Pers2 yg digunakan : IN = VT/RT, VT = INRN, dan RN = RT.

Contoh : Mencari rangk setara Thevenin & Norton Dari rumus pembagian teg : vO/C=2x1/(1+1)= 1V. Dari rumus pembagian arus : iS/C=2/(1+½)x½= 2/3A. Jadi : VT = vO/C = 1V dan IN = iS/C = 2/3A. RT = RN = vO/C / iS/C = 3/2 Ohm.

Rangkaian setaranya diberikan sbb :

Pertukaran berurutan rangk Thevenin & Norton Penyederhanaan rangk dpt dilakukan dg dalil2 Thevenin & Norton. Bila bag rangk yg cocok diisola-si diganti dg rangk Thevenin, maka sebuah simpul dpt dihilangkan. Demikian pula bila bag rangk yg cocok diisolasi diganti dg rangk Norton, maka sebuah simpul dpt dihilangkan. Contoh :

Isolasi bag kiri dan ganti dg rangk Thevenin, maka : Tahanan 0,5 Ω diseri dg 2 Ω, lalu konversikan menjadi rangkaian Norton. Maka diperoleh :

Sumber arus 1 A dan 2/5 A digabung, maka diperoleh :

Konversikan ke rangk Thevenin dan gabungkan dg sumber 3 V, maka diperoleh :

Resistansi setara berdasarkan inspeksi Kadang2 kita hanya perlu mencari RT atau RN saja, tetapi VT dan IN tdk diperlukan. Caranya : menghubung-singkatkan semua sumber teg dan merangkai-terbukakan semua sumber arus sehingga yg tersisa rangk resistif. Maka RT dan RN adalah sama dg resistansi setara dilihat dari terminal2. Contohnya lihat rangk berikut :

Hubung-singkatkan sumber teg dan buka sumber arus dari gbr a, maka diperoleh gbr b. Resistansi setara gbr b adalah : 1+1/(1+1) = 1½ Ω. Jadi RT = RN = 1½ Ω.

Bila diinginkan juga menghitung IN dan VT, maka kita lihat bentuk rangk hampir sama spt contoh terdahulu hanya ditambahkan sumber arus 3 A. Pd contoh tsb kita dptkan iS/C = 2/3 A. Dg memperhitungkan arah arus yg berlawanan, maka iS/C = 2/3 – 3 = -7/3 A. Jadi IN = iS/C = -7/3 A. VT = RNIN = 1,5x(-7/3) = -3,5 A Jadi rangk setara Thevenin dan Nortonnya :

Contoh : Diberikan rangk spt pd gbr berikut Carilah arus pd R5 ! Cari rangk-terbuka melintasi A & B dg menyingkirkan R5. vO/S = V{R4/(R1+R4)- R3/(R2+R3) = VT. Resistansi setara RT : (R1//R4)+(R2//R3) = (G1+G2+G3+G4)/ {(G1+G4)(G2+G3)}

Rangk setara diperlihatkan pd gbr berikut : Jadi arus pd R5 = VT/(RT+R5)

5. TEOREMA TRANSFORMASI SUMBER

Teorema Transformasi Sumber Sumber tegangan yang dihubungserikan dengan resistansi dapat diganti dengan sumber arus yang dihubungparalelkan dengan resistansi yang sama atau sebaliknya. Teorema ini berguna untuk menyederhanakan rangkaian dengan multi sumber tegangan atau multi sumber arus menjadi satu sumber pengganti (Teorema Millman)

Langkah-langkah analisa Ubah semua sumber tegangan ke sumber arus Jumlahkan semua sumber arus paralel dan tahanan paralel Konversikan hasil akhir sumber arus ke sumber tegangan

Sumber tegangan secara praktis

Sumber arus secara praktis

Secara praktis kedua sumber ekivalen Arus kepalanya = +

Contoh : Gunakan transformasi sumber untuk mencari nilai Ix

6. TRANSFER DAYA MAKSIMUM

TRANSFER DAYA MAKSIMUM Daya maksimum : telah tertransferkan terhadap beban ketika hambatan beban sama dengan hambatan Thevenin (RL = RTh)

TRANSFER DAYA MAKSIMUM

Contoh (RL=9Ω, pmax=13.44 W) Tentukan a) Nilai RL saat terjadinya transfer daya maksimum b) Nilai transfer daya maksimum (RL=9Ω, pmax=13.44 W)

Latihan (RL=4.22Ω, pmax=2.901 W) Tentukan a) Nilai RL saat terjadinya transfer daya maksimum b) Nilai transfer daya maksimum (RL=4.22Ω, pmax=2.901 W)

Buktikan dan

Untuk transfer daya maksimum

Contoh Carilah nilai RL untuk transfer daya maksimum dan cari daya nya

Rangkaian ekivalen Thevenin RL seharusnya di set 13.2Ω untuk mendapatkan transfer daya maks Daya maksimum :

Dalil transfer daya maksimum Perhatikan rangk yg dinyatakan dg rangk Thevenin yg ujung2-nya diberi tahanan RL spt gbr berikut : Arus pd RL : I = VT/(RT+RL) Daya pd RL : PL = I2RL = VT2RL/(RT+RL)2

PL adalah fungsi dari RL spt pd gbr berikut : Pertanyaan menarik : Brp daya maks pd RL jika RL dpt di-ubah2 ? Diferensiasikan PL thd RL : dPL/dRL = VT2{(RT-RL)/(RT+RL)3} Daya maks bila dPL/dRL = 0, Jadi didptkan : RL = RT. Hasil ini dikenal sbg dalil transfer daya maks, yg

Menyatakan bhw utk sumber yg tetap yg diberikan dg tahanan internal RT, transfer daya maks terjadi ketika RL sama dg RT yg diberikan. Contoh : Misal diberikan VT = 10 V, RT = 100 Ω dan kita coba hitung daya pd RL bila RL divariasikan. Kita gunakan rumus : PL = VT2RL/(RT+RL)2. Hasilnya Daya maks terjadi pd RL = 100 Ω = RT. RL (Ω) 20 40 60 80 100 120 140 PL (W) 0, 139 204 234 247 250 248 243

Teorema Transfer Daya Maksimum Teorema ini menyatakan bahwa : Transfer daya maksimum terjadi jika nilai resistansi beban samadengan nilai resistansi sumber, baik dipasang seri dengan sumber tegangan ataupun dipasang paralel dengan sumber arus. Hal ini dapat dibuktikan dengan penurunan rumus sebagai berikut :

Dengan asumsi Vg dan Rg tetap, dan PL merupakan fungsi RL, maka untuk mencari nilai maksimum PL adalah : Teorema transfer daya maksimum adalah daya maksimum yang dikirimkan ketika beban RL sama dengan beban intern sumber Rg. Maka didapatkan daya maksimumnya :

PEKERJAAN RUMAH 2 1.Buatlah rangkaian ekivalen Thevenin dari rangkaian d bawah ini jika R = dan E = 6 volt ? 2.Hitunglah berapa jatuh tegangan suatu rangkaian setara Thevenin jika hambatan R1 dan R2 diberi 100 ohm dengan hambatan beban 1 Kohm. 3.Buatlah rangkaian setara Thevenin untuk rangkaian di bawah ini. Hitung tegangan keluaran bila diambil arus 3 mA. Berapa nilai hambatan beban RL yang harus dipasang ? 4. Dari contoh soal pada rangkaian ekivalen Thevenin di atas, susunlah rangkaian ekivalen Nortonnya. Dari keduanya manakah yang lebih baik ? Minggu, 22 April 2018

5.Tentukanlah rangkaian setara Norton Minggu, 22 April 2018