PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Konsep Dasar Matematika Astuti Mahardika, M.Pd

PERSAMAAN Persamaan Linier adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan variabelnya berpangkat tertinggi satu  PL satu variabel  PL dua variabel, dst Persamaan Kuadrat adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan variabelnya berpangkat tertinggi dua  PK satu variabel  PK dua variabel, dst

Contoh x + 5 = 10 x + y = 4 2y – 10 = 20 3a + 27 = 12b

BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL a1 x + b1y = c1 a2 x + b2 y = c2 untuk

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Cara Substitusi Cara Eliminasi Cara Eliminasi dan Substitusi

Cara Substitusi Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier berikut 2x + y = 5 . . . . . . . ( i ) x + 3y = 10 . . . . . . . ( ii ) Penyelesaian : 2x + y = 5  y = 5 – 2x substitusi ke persamaan ( ii ) Diperoleh x + 3y = 10  x + 3 ( 5 – 2x ) = 10  x + 15 – 6x = 10  – 5x = – 5  x = 1 substitusi x = 1 ke persamaan ( i ) diperoleh 2x + y = 5  2 + y = 5  y = 3 Jadi penyelesaiannya adalah ( 1 , 3 )

Cara Eliminasi 2x + y = 10 . . . . . . . ( i ) Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier berikut 2x + y = 10 . . . . . . . ( i ) x + 3y = 15 . . . . . . . ( ii ) Penyelesaian : Samakan koefisien salah satu variabelnya 2x + y = 10| x 1| 2x + y = 10 2x + y = 10| x 3 | 6x + 3y = 30 x + 3y = 15| x 2| 2x + 6y = 30 x + 3y = 15| x 1 | x + 3y = 15 ------------- – ------------- – – 5y = – 20 5x = 15 y = 4 x = 3 Jadi penyelesaiannya adalah ( 3 , 4 )

Cara Eliminasi dan Substitusi Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier berikut 2x + 5y = 16 . . . . . . . ( i ) 3x + y = 11 . . . . . . . ( ii ) Penyelesaian : 2x + 5y = 16| x 3 | 6x + 15y = 48 3x + y = 11| x 2 | 6x + 2y = 22 -------------- - 13y = 26  y = 2 Substitusi y = 2 ke persamaan ( ii ) 3x + y = 11  3x + 2 = 11 3x = 9  x = 3 Jadi penyelesaiannya adalah ( 3 , 2 )

Contoh : Dua tahun yang lalu umur ayah 6 kali umur Adi, 18 tahun kemudian umur ayah menjadi 2 kali umur Adi. Tentukan persamaan linear dari permasalahan tersebut Penyelesaian : Permasalahan tersebut dapat dibuat dalam model matematika sebagai berikut : sekarang 2 tahun yg lalu 18 th kemudian Umur ayah x x - 2 x + 18 Umur adi y y - 2 y + 18 Perbandingan x – 2 = 6 (y – 2) x + 18 = 2 (y + 18)

Dua tahun yang lalu : ( x – 2 ) = 6 ( y – 2 )  x – 2 = 6y – 12  x – 6y = – 10 . . . . . . . . . . . . . . ( i ) 18 tahun kemudian : ( x + 18 ) = 2 ( y + 18 )  x + 18 = 2y + 36  x – 2y = 18 . . . . . . . . . . . . ( ii ) Kedua persamaan diselesaikan dengan eliminasi atau substitusi diperoleh x = 32 dan y = 7 Jadi umur ayah sekarang 32 tahun , sedang umur Adi sekarang 7 tahun.

Soal 1. a. 5x + 2y = 8 b. 3x – 2y = 8 2x + 3y = 1 6x + 5y = 7 c. 3x – y = 16 d. 4x – 3y – 10 = 0 4x – 3y = 23 2x – 5y + 2 = 0 2. Ani membeli 4 buku tulis dan 3 pensil seharga Rp. 6.300,- , sedangkan Adi membeli 5 buku tulis dan 2 pensil seharga Rp. 7.000,- Jika buku tulis dan pensil yang dibeli Ani dan Adi sama , maka hitung berapa harga buku tulis dan harga pensil tersebut !

3. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 22 cm 3.Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 22 cm. Jika panjangnya dibuat tiga kali semula dan lebarnya dibuat dua kali semula, maka keliling persegi panjang menjadi 58 cm. Tentukan panjang dan lebar persegi panjang semula. 4.Bilangan yang terdiri atas dua angka adalah 7 kali jumlah angka-angkanya. Jika kedua angka dipertukarkan, maka bilangan yang terjadi 18 lebih dari jumlah angka-angkanya. Tentukan bilangan itu

CONTOH SOAL Dua tahun yang lalu umur ayah 6 kali umur Adi, 18 tahun kemudian umur ayah menjadi 2 kali umur Adi. Tentukan persamaan linear dari permasalahan tersebut dan umur massing-masing! Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 22 cm. Jika panjangnya dibuat tiga kali semula dan lebarnya dibuat dua kali semula, maka keliling persegi panjang menjadi 58 cm. Tentukan panjang dan lebar persegi panjang semula

PERTIDAKSAMAAN Ditandai dengan <, >, , atau  Pertidaksamaan Linier  PtL satu variabel  PtL dua variabel, dst Persamaan Kuadrat  PtK satu variabel  PtK dua variabel, dst

Contoh x + 5 < 10 x + y > 4 2y – 10  20 3a + 27  12b

Cara Penyelesaian Menambah,mengurangi, mengali, dan membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama. Contoh : a. x + 3  7  x + 3 - 3  7 - 3  x  4 Jadi x  4 disebut penyelesaian dari x + 3  7

Contoh b. 3(x + 1)  18  3x + 3  18  3x + 3 – 3  18 - 3  3x  15  x  5 Jadi x  5 penyelesaian dari : 3(x + 1)  18

Contoh : c. x - 10 > 3x  x - 10 + 10 > 3x + 10  x > 3x + 10  x – 3x > 3x – 3x + 10  -2x > 10  ( - ½ ) . -2x > 10 . ( - ½ ) x < - 5 ( tanda ketidaksamaan dibalik karena dikalikan dengan bilangan negatif )

Cara Penyelesaian Grafik penyelesaian pertidaksamaan. Penyelesaian suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan dengan noktah-noktah ( titik ) pada garis bilangan yang disebut grafik penyelesaian

Contoh : Untuk variabel pada bilangan asli kurang dari 8, tentukan grafik penyelesaian dari : 3x – 1 > x + 5 Penyelesaian : 3x – 1 > x + 5 3x – 1 + 1 > x + 5 + 1 3x > x + 6 3x – x > 6 2x > 6 x > 3 Variabel x yang memenuhi adalah : 4, 5, 6, dan 7 Grafik penyelesaiannya adalah : ● 2 3 4 5 6 7 8 1 -3 -1 -4 -2

Contoh Soal Untuk x  { bilangan cacah }, himpunan penyelesaian dari 3x – 2 < 13 adalah…. a. { 0, 1, 2, 3, 4 } b. { 0,1, 2, 3, 4, 5 } c. { 3, 4, 5, 6, . . . } d. { 4, 5, 6, 7, . . . }

Pembahasan: 3x – 2 < 13, x  { bilangan cacah } 3x < 13 + 2  pakai cara cepat 3x < 15 x < 5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah : { 0, 1, 2, 3, 4 }.

Contoh Soal Penyelesaian pertidaksamaan 3x – 5 > x + 3 adalah. . . . a. x > 2 c. x < 2 b. x > 4 d. x < 4

Pembahasan: 3x - 5 > x + 3  pakai cara cepat. 3x - x > 3 + 5 Jadi, penyelesaiannya adalah x > 4.

Latihan Soal

LATIHAN SOAL Untuk x  { himpunan cacah }, himpunan penyelesaian dari 3x – 5 > x + 3 adalah. . . a. { 0, 1, 2, 3 } b. { 0, 1, 2, 3, 4 } c. { 4, 5, 6, 7, . . .} d. { 5, 6, 7, 8, . . .} 1.

Pembahasan: x  { himpunan cacah }, Hp dari 3x – 5 > x + 3 3x – 5 > x + 3  pakai cara cepat 3x – x > 3 + 5 2x > 8 x > 4 jadi, himpunan penyelesaiannya : = { 5, 6, 7, 8, . . .}

LATIHAN SOAL 2. a. x > 2 c. x > 4 b. x < 2 d. x < 4 Penyelesaian dari pertidaksamaan ⅔ ( 6 + 3x ) > 8, adalah. . . . a. x > 2 c. x > 4 b. x < 2 d. x < 4

Pembahasan: ⅔ ( 6 + 3x ) > 8  pakai cara cepat 4 + 2x > 8 Penyelesaian ⅔ ( 6 + 3x ) > 8 ⅔ ( 6 + 3x ) > 8  pakai cara cepat 4 + 2x > 8 2x > 8 - 4 2x > 4 x > 2

LATIHAN SOAL 3. Diketahui pertidaksamaan 13 – 2( y + 1) > ( y + 1 ) – 8 Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah . . . a. y > - 6 b. y < - 6 c. y > 6 d. y < 6

Pembahasan: 13 – 2( y + 1) > ( y + 1 ) – 8. 13 – 2y – 2 > y - 7

LATIHAN SOAL 4. 0 < x  7 x  7 x > 7 d. 7  x  9 Sebuah persegi panjang memiliki panjang 5 cm lebih dari lebarnya dan kelilingnya tidak lebih dari 38 cm. Jika lebarnya x cm, maka batas-batas nilai x adalah . . . 0 < x  7 x  7 x > 7 d. 7  x  9

Pembahasan: lebar ( l ) = x cm dan panjang (p) = x + 5 cm p + l = ½ keliling. x + 5 + x  ½ ( 38 ) 2x + 5  19 2x  19 – 5 2x  14 x  7

5. Himpunan penyelesaian dari : -6( a + 2) + 4a  - 6, adalah …. a  -3 a  -3 a  -6 a  -6

Pembahasan: Penyelesaian -6( a + 2) + 4a  - 6 -6( a + 2) + 4a  - 6 - 2a  6  kalikan dengan (-1) 2a  - 6 a  - 3

7. < 6 tahun > 6 tahun = 6 tahun = 4 tahun Bastian berusia 3 tahun lebih tua dari Diah. Jumlah usia mereka kurang dari 15 tahun, usia Diah sekarang adalah . . . < 6 tahun > 6 tahun = 6 tahun = 4 tahun

Pembahasan: Misal : Usia Diah = x tahun Usia Bastian = x + 3 tahun Jumlah usia keduanya < 15 tahun. x + x + 3 < 15 2x + 3 < 15 2x < 15 - 3 2x < 12 x < 6

8. Jumlah dua bilangan cacah genap berurutan kurang dari atau sama dengan 90. Bilangan itu adalah . . . a. x  42 dan y  48 b. x  40 dan y  50 c. x  44 dan y  46 d. x  44 dan y  46

Pembahasan: Misal : Bilangan pertama = x Bilangan kedua = x + 2 Jumlah keduanya  90 x + x + 2  90 2x + 2  90 2x  90 – 2 2x  88 x  44 Bilangan pertama  x  44 Bilangan kedua  y  44 + 2 y  46

4. Lebar sebuah persegi panjang lebih pendek 4 cm dari panjangnya. Jika keliling nya sama dengan 72 cm, panjang persegi panjang adalah . . . a. 16 cm c. 18 cm b. 20 cm d. 22 cm

Pembahasan: Misal : lebar = x panjang = x + 4 keliling = 72 panjang + lebar = ½ keliling. x + x + 4 = ½ ( 72 ) 2x + 4 = 36 2x = 36 – 4 x = 16 Persegipanjang memiliki lebar = 16 cm, maka panjang = 16 + 4 = 20 cm

5. Berat badan rata-rata 4 orang siswa 55 kg. Ketika datang seorang siswa lain, berat rata-ratanya menjadi 56 kg. Berat badan siswa yang baru datang adalah . . . 70 kg 68 kg 60 kg 56 kg

Pembahasan: Rata-rata 4 siswa = 55 kg Total berat 4 siswa = 4 x 55 kg = 220 kg Rata-rata 5 siswa = 56 kg Total berat 5 siswa = 5 x 56 kg = 280 kg Selisih total berat = 280 kg - 220 kg = 60 kg Jadi, berat siswa yang baru datang = 60 kg.

SOAL Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari 2x2 + 10x > 3x -3