KALKULUS PREDIKAT/ KALIMAT BERKUANTOR Ramos Somya, S.Kom., M.Cs.

Pendahuluan Telah dibahas kalimat-kalimat yang dihubungkan dengan kata penghubung tertentu. Akan tetapi, kalimat yang dibicarakan tidak memandang banyaknya obyek yang terlibat di dalamnya. Akan dibahas konsep logika yang diperluas dengan cara menyertakan jumlah (kuantitas) obyek yang terlibat di dalamnya.

Predikat (1) Dalam tata bahasa, predikat menunjuk pada bagian kalimat yang memberi informasi tentang subjek. Contoh: “… terbang ke bulan” “… lebih tebal dari kamus” kedua contoh kalimat tersebut merupakan kalimat tidak lengkap. Agar menjadi suatu kalimat yang lengkap, haruslah disubstitusikan subyek di bagian depan kalimat. Misalnya, subyek “Buku ini” disubstitusikan pada kalimat “… lebih tebal dari kamus”, menjadi “Buku ini lebih tebal dari kamus”.

Predikat (2) Dalam ilmu logika, kalimat-kalimat yang memerlukan subyek disebut predikat. Jadi, misalkan : p : “terbang ke bulan” q : “lebih tebal dari kamus”, maka baik p maupun q adalah predikat. Untuk menyatakan perlunya substitusi subyek (yang tidak diketahui), maka dituliskan p(x) dan q(y). Salah satu cara untuk mengubah predikat menjadi suatu kalimat adalah dengan mensubstitusi semua variabelnya dengan nilai-nilai tertentu.

Predikat (3) Misalkan : p(x) : “x habis dibagi 5” dan x disubstitusikan dengan 35, maka p(x) menjadi kalimat benar karena : 35 habis dibagi 5. Cara lain adalah dengan menambahkan kuantor pada kalimat. Kuantor adalah kata-kata seperti “beberapa”, “semua”, dan lain-lain yang menunjukkan berapa banyak elemen yang dibutuhkan agar predikat menjadi benar.

Kuantor Ada 2 (dua) macam kuantor untuk menyatakan jumlah obyek yang terlibat yaitu Kuantor Universal (simbol ) Kuantor Eksistensial (simbol ).

Kuantor Universal Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap obyek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Kata yang digunakan: semua atau setiap Misalnya: p(x) : “x dapat mati”. Karena semua manusia dapat mati, maka hal tersebut dinyatakan dengan : (x) x  manusia, x  p(x). Kalau semesta sudah jelas, maka dapat dihilangkan. Jadi, jika semesta pembicaraannya sudah jelas, yaitu himpunan manusia-manusia di bumi, maka dituliskan: ( x) p(x).

Kuantor Eksistensial Kuantor Eksistensial menunjukkan bahwa di antara obyek-obyek dalam semestanya, paling sedikit ada satu obyek (atau lebih, asal tidak semua) yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya. Kata yang digunakan: terdapat, ada, beberapa, paling sedikit satu Contoh: (x  D) q(x), disingkat (x) q(x) : bernilai T jika paling sedikit ada satu x dalam D yang menyebabkan q(x) benar hanya bernilai salah jika untuk semua x  D, q(x) bernilai salah.

Contoh (1a) Misalkan D adalah himpunan bilangan bulat. Buktikan bahwa : kalimat (m  D) m2 = m bernilai benar. Penyelesaian: Kalimat (x) p(x) bernilai benar bila dapat ditunjukkan bahwa ada satu x (atau lebih) yang memenuhi sifat p. Untuk m = 1  D, m2 = 12 = 1 = m. Jadi, kalimat (mD) m2 = m benar untuk m = 1 Terbukti bahwa kalimat ( m  D) m2 = m benar.

Contoh (1b) Misalkan E adalah himpunan bilangan bulat antara 5 dan 10. Buktikan bahwa : kalimat ( m  E) m2 = m bernilai salah. Penyelesaian: Untuk 5  m  10, 52 = 25  5 ; 62 = 36  6 ; . . . ; 102 = 100  10 Berarti tidak ada satupun m  E yang memenuhi relasi m2 = m. Jadi, kalimat ( m  E) m2 = m salah

Contoh (2a) Berikut ini diberikan beberapa cara untuk menyatakannya : Nyatakan bilangan berkuantor di bawah ini dalam bahasa sehari-hari ( bilangan riil x) x2  0 Penyelesaian: Berikut ini diberikan beberapa cara untuk menyatakannya : Semua bilangan riil mempunyai kuadrat tak negatif Setiap bilangan riil mempunyai kuadrat tak negatif Sembarang bilangan riil mempunyai kuadrat tak negatif x mempunyai kuadrat tak negatif untuk setiap bilangan riil x Kuadrat dari sembarang bilangan riil tidaklah negatif.

Contoh (2b) Berikut ini diberikan beberapa cara untuk menyatakannya : Nyatakan bilangan berkuantor di bawah ini dalam bahasa sehari-hari ( bilangan bulat m) m2 = m Penyelesaian: Berikut ini diberikan beberapa cara untuk menyatakannya : Ada bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri Beberapa bilangan bulat sama dengan kuadratnya sendiri Terdapat bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri.

Contoh (3a) Penyelesaian: Tentukan kebenaran kalimat di bawah ini (Semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan bulat) (x) x2 – 2  0 Penyelesaian: a. Jika x = 1 maka x2 – 2 = 12 – 2 = -1 < 0 Jadi, tidak semua x memenuhi x2 – 2  0 sehingga kalimat (x) x2 – 2  0 bernilai salah.

x2 – 10x + 21 = 0 Contoh (3b) Penyelesaian: Tentukan kebenaran kalimat di bawah ini (Semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan bulat) (x) x2 – 10x + 21 = 0 Penyelesaian: x2 – 10x + 21 = 0 (x – 3)(x – 7) = 0 x1 = 3 ; x2 = 7 Memang benar ada x yang memenuhi relasi x2 – 10x + 21 = 0 (yaitu 3 dan 7) sehingga kalimat (x) x2 – 10x + 21 = 0 bernilai benar.

Contoh (4a-b) a. Jika p(x) : “x rajin beribadah” Penyelesaian: Terjemahkan kalimat di bawah ini dengan menggunakan kuantor  dan  Beberapa orang rajin beribadah. Setiap bilangan adalah negatif atau mempunyai akar riil. Penyelesaian: a. Jika p(x) : “x rajin beribadah” maka kalimat (a) dapat ditulis (x) p(x). b. Jika p(x) : “x adalah bilangan negatif” q(x) : “x mempunyai akar riil” Maka kalimat (b) dapat ditulis (x)(p(x)  q(x)).

Contoh (4c-d) Terjemahkan kalimat di bawah ini dengan menggunakan kuantor  dan  Ada bilangan yang tidak riil. Tidak semua mobil mempunyai karburator. Penyelesaian: c. Jika p(x) : “x adalah bilangan riil” maka kalimat (c) dapat ditulis sebagai (x)  p(x). d. Jika q(y) = “mobil mempunyai karburator” Maka kalimat (d) dapat ditulis sebagai ((y) q(y)). atau kalimat (d) dapat ditulis sebagai (y)  q(y).

Ingkaran Kalimat Berkuantor Secara umum: Ingkaran kalimat “Semua x bersifat p(x)” adalah : “Ada x yang tidak bersifat p(x)” Dalam simbol:  ((x  D) p(x))  (x  D)  p(x) Ingkaran kalimat : “Ada x yang bersifat q(x)” adalah : “Semua x tidak bersifat q(x)”. Dalam simbol :  ((x  D) q(x))  (x  D)  q(x)

Contoh (5a) Terdapatlah bilangan bulat x sedemikian hingga x2 = 9 Tulislah ingkaran kalimat berikut ini : Terdapatlah bilangan bulat x sedemikian hingga x2 = 9 Penyelesaian: Untuk lebih memudahkan penyelesaian, terlebih dahulu kalimat ditulis ulang dengan menggunakan kuantor, kemudian barulah dituliskan ingkarannya. Kalimat mula-mula : (x  bulat) x2 = 9 Ingkaran : (x  bulat) x2  9 Atau : Kuadrat semua bilangan bulat tidak sama dengan 9

Tulislah ingkaran kalimat berikut ini : Contoh (5b) Tulislah ingkaran kalimat berikut ini : Semua program COBOL mempunyai panjang lebih dari 20 baris. Penyelesaian: Kalimat mula-mula : (x  program COBOL) panjang x > 20 baris) Ingkaran : (x  program COBOL) (panjang x  20 baris) Atau : Ada program COBOL yang panjangnya kurang dari atau sama dengan 20 baris

Contoh (6a) Tulislah kalimat di bawah ini dalam simbol logika berkuantor, kemudian tulislah ingkarannya (semestanya adalah himpunan bilangan bulat) Untuk setiap x, jika x bilangan genap maka x2 + x genap Penyelesaian: Misalkan Z : himpunan bilangan bulat Misal p(x) : x bilangan genap q(x) : x2 + x bilangan genap Kalimat mula-mula : (x  z) (p(x)  q(x)) Ingkaran : (x  Z) (p(x)  q(x)) = (x  Z) (p(x)  q(x)) = (x  Z) (p(x)   q(x)) Atau : “Ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan genap tetapi x2 + x bukan genap”

Contoh (6b) (x  Z) (p(x)  q(x)) = (x  Z) {(p(x)  q(x))} Tulislah kalimat-kalimat di bawah ini dalam simbol logika berkuantor, kemudian tulislah ingkarannya (semestanya adalah himpunan bilangan bulat) Tidak ada x sedemikian sehingga x bilangan prima dan (x+6) bilangan prima Penyelesaian: Kalimat : “Tidak ada x yang bersifat P” ekuivalen dengan kalimat : “Semua x tidak bersifat P” Misal p(x) : x bilangan prima q(x) : x + 6 bilangan prima Kalimat mula-mula : (x  Z) (p(x)  q(x)) Ingkaran : (x  Z) {(p(x)  q(x))} = (x  Z) (p(x)  q(x)) “Terdapatlah suatu bilangan bulat x sedemikian sehingga x bilangan prima dan x + 6 bilangan prima” (x  Z) (p(x)  q(x)) = (x  Z) {(p(x)  q(x))} = (x  Z) {p(x)   q(x)} = (x  Z) (p(x)  q(x))

Kalimat Berkuantor Ganda Menambahkan beberapa kuantor sekaligus pada kalimat yang sama.

Contoh (7a) Nyatakan kalimat di bawah ini dengan menggunakan kuantor ! Ada bintang film yang disukai oleh semua orang Misalkan : semestanya adalah himpunan semua manusia p(x,y) = y menyukai x. Maka kalimat tersebut dapat dituliskan sebagai (x)(y) p(x,y).

Contoh (7b) Nyatakan kalimat di bawah ini dengan menggunakan kuantor ! Untuk setiap bilangan positif, terdapatlah bilangan positif lain yang lebih kecil darinya Penyelesaian : Kalimat mula-mula bisa dinyatakan sebagai : “Untuk setiap bilangan positif x, terdapatlah bilangan positif y sedemikian hingga y < x”. Dalam simbolik logika : ( bilangan positif x)( bilangan positif y) y < x.

Penggunaan Kuantor Ganda Ada 8 cara berbeda dalam menggunakan 2 kuantor  dan  dalam 2 variabel x dan y, masing-masing adalah : (x)(y), (y)(x), (x)(y), (y)(x), (x)(y), (y)(x), (y)(x), (x)(y). Jika semua kuantornya sama, maka urutan penulisan kuantor-kuantor itu bisa dibalik. Akan tetapi, jika kuantornya berbeda, urutan penulisannya tidak selalu dapat dibalik.

Contoh (8) Misalkan p(x,y) : “y adalah ibu dari x” Nyatakan arti simbol logika di bawah ini dalam bahasa sehari-hari dan tentukan nilai kebenarannya. (x) (y) p(x,y) Untuk setiap orang x, terdapatlah seorang y, sedemikan hingga y adalah ibu dari x. Dengan kata lain : setiap orang mempunyai ibu. (nilai kebenarannya : benar) (y) (x) p(x,y) Terdapatlah seorang y sehingga untuk semua orang x, y adalah ibu dari x. Dengan kata lain : Ada seseorang yang merupakan ibu dari semua orang di dunia ini. (nilai kebenarannya: salah)

Ingkaran Kalimat Berkuantor Ganda Secara formal:  { (x)(y) p(x,y) }  (x)(y) p(x,y)  { (x)(y) p(x,y) }  (x)(y) p(x,y)

Contoh (9) Apakah ingkaran kalimat berikut ini ? ( bilangan bulat n) ( bilangan bulat k) n = 2k Atau : Semua bilangan bulat adalah bilangan genap. Penyelesaian : Ingkaran : ( bilangan bulat n) ( bilangan bulat k) n  2k. Ada bilangan bulat yang tidak sama dengan 2 kali bilangan bulat lain. Dengan kata lain : Ada bilangan bulat yang tidak genap

END OF TOPIC 1 LOGIKA