Grace Lusiana Beeh, S. Kom. lezzz.mail@gmail.com IT 105 Matematika Diskrit Kalkulus Predikat/ Kalimat Berkuantor Grace Lusiana Beeh, S. Kom. lezzz.mail@gmail.com Selasa, 21 Feb 2012

Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011 Kuantor Universal x.P(x)  negasi : x.P(x) Untuk semua (setiap) x berlaku P(x) Eksistensensial x.P(x)  negasi : x.P(x) Ada (beberapa) x berlaku P(x)

…contoh kuantor universal… Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011 …contoh kuantor universal… x.P(x) Semua mahasiwa masuk kuliah. Negasinya: x.P(x) Ada/beberapa mahasiswa tidak masuk kuliah. Setiap mahasiwa memakai pakaian rapi dan sepatu. Ada/beberapa mahasiswa yang tidak memakai pakaian rapi atau tidak memakai sepatu.

…contoh kuantor eksistensial… Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011 …contoh kuantor eksistensial… x.P(x) Ada mahasiwa yang sakit. Negasinya: x.P(x) Semua mahasiswa tidak sakit. Ada x yang berlaku x>0 atau x genap. Semua x berlaku x<0 atau x=0 dan x tidak genap.

Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011 Kuantor Ganda Ada 8 cara berbeda dalam menggunakan 2 kuantor  dan  dalam 2 variabel x dan y, masing-masing adalah : (x)(y), (y)(x), (x)(y), (y)(x), (x)(y), (y)(x), (y)(x), (x)(y). Jika semua kuantornya sama, maka urutan penulisan kuantor-kuantor itu bisa dibalik. Akan tetapi, jika kuantornya berbeda, urutan penulisannya tidak selalu dapat dibalik.

Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011 … Misalkan p(x,y) : “y adalah ibu dari x” Nyatakan arti simbol logika di bawah ini dalam bahasa sehari-hari dan tentukan nilai kebenarannya. (x) (y) p(x,y) Untuk setiap orang x, terdapatlah seorang y, sedemikan hingga y adalah ibu dari x. Dengan kata lain : setiap orang mempunyai ibu. (nilai kebenarannya : benar) (y) (x) p(x,y) Terdapatlah seorang y sehingga untuk semua orang x, y adalah ibu dari x. Dengan kata lain : Ada seseorang yang merupakan ibu dari semua orang di dunia ini. (nilai kebenarannya: salah)

Ingkaran Kuantor Ganda Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011 Ingkaran Kuantor Ganda Secara formal:  { (x)(y) p(x,y) }  (x)(y) p(x,y)  { (x)(y) p(x,y) }  (x)(y) p(x,y)

Contoh ingkaran kuantor ganda… Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011 Contoh ingkaran kuantor ganda… Apakah ingkaran kalimat berikut ini ? ( bilangan bulat n) ( bilangan bulat k) n = 2k Atau : Semua bilangan bulat adalah bilangan genap. Penyelesaian : Ingkaran : ( bilangan bulat n) ( bilangan bulat k) n  2k. Ada bilangan bulat yang tidak sama dengan 2 kali bilangan bulat lain. Dengan kata lain : Ada bilangan bulat yang tidak genap

Materi Kuantor tambahan… Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011 Materi Kuantor tambahan…

Kuantor Universal Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap obyek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Kata yang digunakan: semua atau setiap Misalnya: p(x) : “x dapat mati”. Karena semua manusia dapat mati, maka hal tersebut dinyatakan dengan : (x) x  manusia, x  p(x). Kalau semesta sudah jelas, maka dapat dihilangkan. Jadi, jika semesta pembicaraannya sudah jelas, yaitu himpunan manusia-manusia di bumi, maka dituliskan: ( x) p(x).

Kuantor Eksistensial Kuantor Eksistensial menunjukkan bahwa di antara obyek-obyek dalam semestanya, paling sedikit ada satu obyek (atau lebih, asal tidak semua) yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya. Kata yang digunakan: terdapat, ada, beberapa, paling sedikit satu Contoh: (x  D) q(x), disingkat (x) q(x) : bernilai T jhj paling sedikit ada satu x dalam D yang menyebabkan q(x) benar hanya bernilai salah jika untuk semua x  D, q(x) bernilai salah.

Contoh (1a) Misalkan D adalah himpunan bilangan bulat. Buktikan bahwa : kalimat (m  D) m2 = m bernilai benar. Penyelesaian: Kalimat (x) p(x) bernilai benar bila dapat ditunjukkan bahwa ada satu x (atau lebih) yang memenuhi sifat p. Untuk m = 1  D, m2 = 12 = 1 = m. Jadi, kalimat (mD) m2 = m benar untuk m = 1 Terbukti bahwa kalimat ( m  D) m2 = m benar.

Contoh (1b) Misalkan E adalah himpunan bilangan bulat antara 5 dan 10. Buktikan bahwa : kalimat ( m  E) m2 = m bernilai benar. Penyelesaian: Untuk 5  m  10, 52 = 25  5 ; 62 = 36  6 ; . . . ; 102 = 100  10 Berarti tidak ada satupun m  E yang memenuhi relasi m2 = m. Jadi, kalimat ( m  E) m2 = m salah

Contoh (2b) Nyatakan bilangan berkuantor di bawah ini dalam bahasa sehari-hari ( bilangan bulat m) m2 = m Penyelesaian: Berikut ini diberikan beberapa cara untuk menyatakannya : Ada bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri Beberapa bilangan bulat sama dengan kuadratnya sendiri Terdapat bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri.

Contoh (3a) Penyelesaian: Tentukan kebenaran kalimat di bawah ini (Semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan bulat) (x) x2 – 2  0 Penyelesaian: a. Jika x = 1 maka x2 – 2 = 12 – 2 = -1 < 0 Jadi, tidak semua x memenuhi x2 – 2  0 sehingga kalimat (x) x2 – 2  0 bernilai salah.

x2 – 10x + 21 = 0 Contoh (3b) Penyelesaian: (x – 3)(x – 7) = 0 Tentukan kebenaran kalimat di bawah ini (Semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan bulat) (x) x2 – 10x + 21 = 0 Penyelesaian: x2 – 10x + 21 = 0 (x – 3)(x – 7) = 0 x1 = 3 ; x2 = 7 Memang benar ada x yang memenuhi relasi x2 – 10x + 21 = 0 (yaitu 3 dan 7) sehingga kalimat (x) x2 – 10x + 21 = 0 bernilai benar.

a. Jika p(x) : “x rajin beribadah” Contoh (4a-b) Terjemahkan kalimat di bawah ini dengan menggunakan kuantor  dan  Beberapa orang rajin beribadah. Setiap bilangan adalah negatif atau mempunyai akar riil. Penyelesaian: a. Jika p(x) : “x rajin beribadah” maka kalimat (a) dapat ditulis (x) p(x). b. Jika p(x) : “x adalah bilangan negatif” q(x) : “x mempunyai akar riil” Maka kalimat (b) dapat ditulis (x)(p(x)  q(x)).

Contoh (4c-d) Terjemahkan kalimat di bawah ini dengan menggunakan kuantor  dan  Ada bilangan yang tidak riil. Tidak semua mobil mempunyai karburator. Penyelesaian: c. Jika p(x) : “x adalah bilangan riil” maka kalimat (c) dapat ditulis sebagai (x)  p(x). d. Jika q(y) = “mobil mempunyai karburator” Maka kalimat (d) dapat ditulis sebagai ((y) q(y)). atau kalimat (d) dapat ditulis sebagai (y)  q(y).

Ingkaran Kalimat Berkuantor Secara umum: Ingkaran kalimat “Semua x bersifat p(x)” adalah : “Ada x yang tidak bersifat p(x)” Dalam simbol:  ((x  D) p(x))  (x  D)  p(x) Ingkaran kalimat : “Ada x yang bersifat q(x)” adalah : “Semua x tidak bersifat q(x)”. Dalam simbol :  ((x  D) q(x))  (x  D)  q(x)

Contoh (5a) Terdapatlah bilangan bulat x sedemikian hingga x2 = 9 Tulislah ingkaran kalimat berikut ini : Terdapatlah bilangan bulat x sedemikian hingga x2 = 9 Penyelesaian: Untuk lebih memudahkan penyelesaian, terlebih dahulu kalimat ditulis ulang dengan menggunakan kuantor, kemudian barulah dituliskan ingkarannya. Kalimat mula-mula : (x  bulat) x2 = 9 Ingkaran : (x  bulat) x2  9 Atau : Kuadrat semua bilangan bulat tidak sama dengan 9

Contoh (5b) Semua program COBOL mempunyai panjang lebih dari 20 baris. Tulislah ingkaran kalimat berikut ini : Semua program COBOL mempunyai panjang lebih dari 20 baris. Penyelesaian: Kalimat mula-mula : (x  program COBOL) panjang x > 20 baris) Ingkaran : (x  program COBOL) (panjang x  20 baris) Atau : Ada program COBOL yang panjangnya kurang dari atau sama dengan 20 baris

Contoh (6a) Tulislah kalimat di bawah ini dalam simbol logika berkuantor, kemudian tulislah ingkarannya (semestanya adalah himpunan bilangan bulat) Untuk setiap x, jika x bilangan genap maka x2 + x genap Penyelesaian: Misalkan Z : himpunan bilangan bulat Misal p(x) : x bilangan genap q(x) : x2 + x bilangan genap Kalimat mula-mula : (x  z) (p(x)  q(x)) Ingkaran: (x  Z) (p(x)  q(x)) = (x  Z) (p(x)  q(x)) = (x  Z) (p(x)   q(x)) Atau : “Ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan genap tetapi x2 + x bukan genap”

Usai nb: Minggu Depan TTS MatDis Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011 Usai nb: Minggu Depan TTS MatDis