Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI

Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan dan , ditulis Produk Cartesius

Misalkan maka:

Pengertian Relasi Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan seringkali terdapat suatu relasi atau hubungan tertentu. Misalnya : A = { 2, 3, 5 } dan B = { 1, 4, 7, 10, 14 } Akan kita tinjau relasi “ adalah faktor dari “ antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa : 2 adalah faktor dari 4 2 adalah faktor dari 10 2 adalah faktor dari 14 5 adalah faktor dari 10 Sedangkan 3  A tidak berrelasi dengan suatu elemenpun dari himpunan B.

2 3 5 1 4 7 10 14 Diagram panah A B

Relasi tersebut jugan dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut. Elemen dari himpunan A yang berrelasi dengan elemen dari himpunan B di susun menjadi suatu pasangan terurut, diman elemen dari A pada urutan pertama dan elemen dari B pada urutan yang kedua. Jadi kalau relasi “ adalah faktor dari “ tersebut diberi nama R, maka : R = { (2, 4), (2, 10), (2, 14), (5, 10) } Jelaslah bahwa R  A x B

Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu reelasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan himpunan bagian dari A X B ( produk Cartesius A dan B ). Definisi: R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B bhb R  A x B A disebut daerah asal (domain), B disebut daerah kawan (kodomain),

Bila A = B maka relasinya disebut sebagai relasi pada himpunan A. Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi refleksif bhb setiap elemen dari A berrelasi R dengan dirinya sendiri. R refleksif pada A bhb. ( xA). (x,x)R R non-refleksif pada A bhb. ( xA).( x,x)R R irrefleksif pada A bhb. ( xA).( x,x)R RELASI KHUSUS

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb. Untuk setiap dua elemen x dan y dalam A, bila x berrelasi R dengan y, maka y berrelasi R dengan x. R simetris pada A bhb (x,yA).(x,y)R(y,x)R R non- simetris pada A bhb (x,yA).(x,y)R(y,x) R R asimetris pada A bhb (x,yA).(x,y)R (y,x)  R R antisimetris pada A bhb (x,yA).(x,y)R  (y,x)R x=y RELASI KHUSUS

relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb. Untuk setiap tiga elemen x,y dan zA, bila x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z , maka x berrelasi R dengan z. R transitif pada A bhb. (x,y,zA).(x,y)R  ( y,z )R  (x,z) R R non-transitif pada A bhb : ( x,y,z A).(x,y)R  ( y,z )R  (x,z)R R intransitif pada A bhb : ( x,y,z A).(x,y)R  ( y,z )R  (x,z)R RELASI KHUSUS

Suatu relasi R pada himpunan A yang sekaligus bersifat refleksif,simetris dan transitif disebut relasi ekuivalensi pada A. RELASI KHUSUS

Definisi: Keluarga himpunan bagian yang tidak kosong dari suatu himpunan A disebut P a r t i s i dari A bhb. 1. Gabungan dari semua himpunan bagian itu adalah himpunan A sendiri. 2. Setiap dua himpunan bagian yang tidak sama merupakan dua himpunan yang saling lepas. Jadi suatu keluarga himpunan bagian yang tidak kosong dari himpunan A, misalnya {A1 , A2 , A3 , …..An }, adalah partisi dari A apabila 1. A1 A2  A3  …..  An = A 2. (Ai , Aj ). Ai  Aj  Ai  Aj = 

FUNGSI Suatu relasi antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B disebut Fungsi. (pemetaan) bhb relasi itu mengkaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. f : A  B bhb. ( x  A).( !y  B) . y = f (x)

Perhatikan bahwa suatu fungsi f dari A ke B adalah suatu relasi yang mempunyai dua sifat khusus, yaitu: Setiap anggota himpunan A (daerah asal) dikawankan dengan anggota himpunan B. (Seringkali dikatakan bahwa “ daerah asal dihabiskan “) Kawan dari anggota-anggota himpunan A (daerah asal) adalah tunggal. Sifat ini dapat dinyatakan secara simbolis: ( xi, xj  A). x1 = x2  f (x1) = f (x2) FUNGSI

2 3 5 1 4 7 10 14 Diagram panah A B FUNGSI

FUNGSI Contoh: Misalkan A : {1, 2, 3, 4} B : {a, b, c} Terdapat relasi f : AB f : {(1,a), (2,b), (3,c)} f : {(1,a), (1,b), (2,a), (3,b), (4,c)} f : {(1,a), (2,a), (3,b), (4,c)} FUNGSI

FUNGSI Contoh: Misalkan A : {1, 2, 3, 4} B : {a, b, c} Terdapat relasi f : AB f : {(1,a), (2,b), (3,c)}  bukan fungsi hanya relasi biasa f : {(1,a), (1,b), (2,a), (3,b), (4,c)}  bukan fungsi hanya relasi biasa f : {(1,a), (2,a), (3,b), (4,c)}  fungsi FUNGSI

FUNGSI Ada dua macam cara untuk menyajikan suatu fungsi, yaitu: 1. Cara aturan : fungsi itu disajikan dengan cara menyatakan aturan yang menentukan relasi antara angggota – anggota daerah asal dengan anggota – anggota daerah kawannya. Contoh : f: R R dimana f(x) = x R = himpunan semua bilangan nyata.

2. Cara himpunan : Seperti halnya relasi, maka fungsi f dari A ke B dapat dipandang sebagai himpunan bagian (khusus) dari A x B. Maka fungsi f : R R dimana f ( x ) = x dapat juga disajikan sebagai suatu himpunan, yaitu himpunan bagian dari R x R : F = { (x,y)x  R, y R, y = x } FUNGSI

FUNGSI Kesamaan dua buah fungsi. Dua buah fungsi f : A  B dan g : A  B dikatakan sama bila kedua fungsi itu mengkaitkan anggota-anggota dari daerah asalnya dengan anggota-anggota yang sama didaerah kawannya. f = g bhb (  x A).f(x) = g(x) Contoh : f : R R dimana f(x) = 2(x+1)(x-2) g : R R dimana g(x) = 2x2-2x-4 Karena f (x ) = 2(x+1)(x-2) = 2(x2-x-2) = 2x2-2x-4 = g(x) Maka f = g FUNGSI

FUNGSI-FUNGSI KHUSUS FUNGSI SURJEKTIF/ONTO FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU FUNGSI BIJEKTIF/KORESPONDENSI SATU-SATU FUNGSI KONSTAN FUNGSI IDENTITAS FUNGSI-FUNGSI KHUSUS

FUNGSI SURJEKTIF/ONTO Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif dari A kepada (onto) B bila setiap anggota B merupakan bayangan dari suatu anggota A. Jadi pada fungsi yang surjektif, daerah hasilnya berimpit dengan daerah kawan (atau daerah kawannya dihabiskan ). f : A  B adalah fungsi surjektif bhb ( yB) ( xA). y = f (x) bhb Rf = B bhb ( yB) f-1 (y) =  FUNGSI SURJEKTIF/ONTO

Contoh 2 3 5 7 10 Diagram panah A B FUNGSI SURJEKTIF

FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi injektif bila anggota – anggota dari B merupakan bayangan dari tepat satu anggota A. f : A  B adalah fungsi injektif bhb (  x1,x2  A ). x1  x2  f(x1)  f(x2) bhb (  x1,x2  A ). f(x1) = f(x2)  x1 = x2 FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU

contoh 2 3 5 1 4 7 10 14 Diagram panah A B FUNGSI INJEKTIF

Suatu fungsi f : AB merupakan fungsi bijektif apabila fungsi f adalah fungsi surjektif dan sekaligus injektif. Fungsi bijektif sering dikatakan fungsi korespondensi satu-satu. FUNGSI BIJEKTIF

Contoh 2 3 5 7 10 14 Diagram panah A B FUNGSI BIJEKTIF

Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi konstan bila bayangan semua anggota A adalah satu anggota yang sama di B. f : A  B adalah fungsi konstan bhb.( !c  B)(xA).f(x) = c Contoh: 1. f(x) = 2 2 3 5 7 10 14 2. Diagram panah A B FUNGSI KONSTAN

Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi indentitas bila bayangan dari setiap anggota dari A ialah dirinya sendiri. Daerah asal dan saerah kawan dari suatu fungsi identits adalah himpunan yang sama. f : A  A adalah fungsi indentitas bhb.( xA). f(x) = x FUNGSI IDENTITAS

CONTOH 2 3 5 Diagram panah A A FUNGSI IDENTITAS

LATIHAN Misalkan A : {a,b,c} B : {1,2,3} C: {x, y, z, w} D: {4,5,6} f: AB g: BC h: CD i: BD Tentukan apakah fungsi berikut surjektif, injektif atau bijektif? f: {(a,2), (b,1), (c,2)} g: {(1,y), (2,x), (3,w)} h: {(x,4), (y,6), (z,4), (w,5)} i: {(1,4), (2,6), (3,5)} LATIHAN

Dua buah fungsi yang memenuhi syarat tertentu dapat disusun (dikomposisikan) menjadi suatu fungsi baru yang disebut fungsi tersusun (fungsi komposisi). Misalnya kita mempunyai dua buah fungsi f : A  B dan g : C  D di mana Rg  A, C  A  B maka kedua fungsi tersebut dapat disusun menjadi fungsi baru, yang disajikan dengan lambang f o g : C  B Dengan aturan ( f o g ) ( x ) = f [ g ( x ) ] ( lambang “ f o g “ dibaca “ f bundaran g “ ) g f f o g FUNGSI TERSUSUN

FUNGSI TERSUSUN CONTOH: Modul halaman 81 Latihan: 1. Misalkan A : {a,b,c} B : {1,2} C: {1,2,3} D: {x, y, z, w} f: AB, f: {(a,2), (b,1), (c,2) g: CD, g: {(1,y), (2,x), (3,w)} Tentukan g o f! 2. Perhatikan fungsi f(x) = x2 + 3x + 1 dan g(x) = 2x -3. Tentukan g o f (x)! FUNGSI TERSUSUN

a . b . c . . 1 . 2 . 3 . x . y . z . w A C D f g g o f

FUNGSI TERSUSUN CONTOH: Modul halaman 81 Latihan: 1. Misalkan A : {a,b,c} B : {1,2} C: {1,2,3} D: {x, y, z, w} f: AB, f: {(a,2), (b,1), (c,2) g: CD, g: {(1,y), (2,x), (3,w)} Tentukan g o f : AD g o f (a) = g(f(a)) = g(2) = x g o f (b) = g (f(b)) = g (1) = y g o f ( c ) = g(f (c ) = g(2) = x FUNGSI TERSUSUN

Perhatikan fungsi f(x) = x2 + 3x + 1 dan g(x) = 2x -3. Tentukan g o f (x)! g o f (x) = g (f(x)) = g (x2 + 3x + 1) = 2 (x2 + 3x + 1) – 3 = 2x2 + 6x + 2 – 3 = 2x2 + 6x – 1

FUNGSI TERSUSUN Sifat-sifat Komposisi Fungsi. 1. Komposisi fungsi bersifat assosiatif, yaitu untuk tiap tiga buah fungsi f,g dan h yang dapat dikomposisikan berlakulah: (f o g ) o h=f o (g o h) 2. Bila i adalah fungsi identitas, yaitu i (x) = x untuk tiap x anggota domainnya, dan i dapat dikomposisikan dengan suatu fungsi f, maka i o f = f dan f o i = f. 3. Bila f adalah fungsi bijektif, maka f o f = f o f = i dimana i adalah fungsi identitas. FUNGSI TERSUSUN

Fungsi Nyata dan Grafik Fungsi Fungsi nyata ialah fungsi yang daerah asal dan daerah kawannya adalah himpunan bilangan – bilangan nyata. Fungsi Nyata dan Grafik Fungsi